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ラヨ数に関するメモ

Hex347 2016年6月26日 User blog:Hex347

メモ。正しいかどうかは分からないので注意してください。

偽ラヨ数

ユーザーブログ:Kyodaisuu/偽ラヨ数という物があることを初めて知った。最初はなぜラヨ数と違いがあるのか分からなかったが、偽ラヨ数、ラヨ数でいう「グーゴル個以内の記号で表現できる正の整数」の分布は連続的ではなく隙間があると考えると納得できた。

一階集合理論

自分は、ラヨ数でいう一階集合理論(FOST)は単にZFC集合論の事だと思っていたが、本当は一階述語理論によって定義された、述語関数「\( = \)」「\( \in \)」を含む理論の事であった。

それを聞いて、「空集合などが含まれていると保障されていないといけないのでは?」と思ったが、答えがラヨ数の記事に書いてあった。説明2の節に「FOSTはフォン・ノイマン宇宙を領域(domain)とする一階述語論理の体系である。」とある。体系と書いてあることから、ZFC集合論のようなただ一つの理論に限定されたものではないことが分かる。また、「フォン・ノイマン宇宙を領域とする」と書かれていることから、FOSTは少なくとも、フォン・ノイマン宇宙に含まれる必要がある集合の存在が保障されていることになる。

ハイパー演算子

ユーザーブログ:Hex347/アッカーマン関数の簡潔な表記でだらだら書いていたハイパー演算子の拡張(今は削除済)が、自分で納得できるものになったのでメモしておく。配列表記などで既に実現されたアイデアの気もするが気にしないでおく。

ハイパー演算子のペア数列的表現。ある数xを取り、括弧を使ってスタック的な記法で表す。

スタックがない場合の値の取り出し(=零変数版)
[a]=a

ここから括弧の連続を...で表す。

一変数版
...()[a]=...[a+x]

二変数版
...(1)[a]=...[a+x]
...(y)[1]=...[x]
...(y)[a]=...(y-1)(y)[a-1]

ここまではすでに定義されている。次の拡張が問題。

三変数版
...(1,1)[a]=...[a+x]
...(1,y)[1]=...[x]
...(1,y)[a]=...(1,y-1)(1,y)[a]
...(z,1)[a]=...???(1)
...(z,y)[1]=...???(2)
...(z,y)[a]=...???(3)

まず???(3)は、zを取り除いた時に2変数版と等しくなるのが美しいと思うので、(z,y-1)(z,y)[a-1]とする。すると三番目の定義はいらないので、削除する。次に、???(1)と???(2)は難しいので実際に計算してみて決める。

xを3として、
(2,3)[3]
(2,2)(2,2)(2,3)[1] //ここで、???(2)が問題となる。最初は(z-1,y)[x]としていたが、それだとzもyも同じ立場となり、zがyを支配しないので、[x]とした。二番目の定義と被るので一緒にする。
(2,2)(2,2)[3]
(2,2)(2,1)(2,1)(2,2)[1]
(2,2)(2,1)(2,1)[3]
(2,2)(2,1)[6] //ここで、???(1)が問題となる。最初は多重帰納の力を借りるためになんとなく(z-1,a)[a]としていて、おそらくそれでも増加速度はおおざっぱに見て変わらないだろうが、6という中途半端な数が出てくるのが許せないので、(z-1,a+x)[a+x]とする。
(2,2)(1,9)[9]
(2,2)(1,8)(1,8)(1,8)(1,8)(1,8)(1,8)(1,8)(1,8)(1,9)[1]

最終的に、下のようになる。
...(1,1)[a]=...[a+x]
...(z,y)[1]=...[x]
...(z,1)[a]=...(z-1,a+x)[a+x]
...(z,y)[a]=...(z,y-1)(z,y)[a-1]

3変数版を乗り越えれば4変数版も簡単に定義できる。
...(1,1,1)[a]=...[a+x]
...(w,z,y)[1]=...[x]
...(w,1,1)[a]=...(w-1,a+x,a+x)[a+x] //ここは3変数版に現れない形だが、もう一つの候補...(w,1,y)[a]=...(w-1,y,y)[a]とすると、計算が終了しないように見える(下に計算結果がある)ので、これにする。
...(w,z,1)[a]=...(w,z-1,a+x)[a+x]
...(w,z,y)[a]=...(w,z,y-1)(w,z,y)[a-1]

もう一つの定義での計算(x=2)
(1,2,2)[2]
(1,2,1)(1,2,2)[1]
(1,2,1)[2]
(1,1,4)[4]
(0,4,4)[4]?
 
正確だと思われる定義での計算(x=2)
(1,2,2)[2]
(1,2,1)(1,2,2)[1]
(1,2,1)[2]
(1,1,4)[4]
(1,1,3)(1,1,3)(1,1,3)(1,1,4)[1]

ここで、振り返ってみると、
...()[a]=...[a+x]
...(1)[a]=...[a+x]
...(1,1)[a]=...[a+x]
...(1,1,1)[a]=...[a+x]

このことから、...(3,2,4)という並びを、...((3)(2)(4))という数の並びの並びで表すようにすると、,,,という新しい括弧の並びを表す記号を導入して、...((1),,,)[a]=...(,,,)[a]という法則が見て取れる。さらにその他の法則も一般化することが出来る。ある数xを取り、
[a]=a
...()[a]=[a+x]
...((1),,,)[a]=...(,,,)[a]
...(,,,)[1]=...[x]
...(,,,(y)###)[a]=...(,,,(y-1)%%%)[a] //###は一つ以上の(1)の並びであり、%%%は###の全ての1がa+xに置き換えられた並び。この法則は...(z,1)[a]=...(z-1,a+x)[a+x]や、...(w,z,1)[a]=...(w,z-1,a+x)[a+x]や、...(w,1,1)[a]=...(w-1,a+x,a+x)[a+x]を一つにまとめる
...(,,,(y))[a]=...(,,,(y-1))(,,,(y))[a-1]

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