「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。
0～ω
\(f_0({\beta})={\beta+1}\)
\(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)
\(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)
\(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)
\(f_0({\omega})={\omega+1}\)
\(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)
\(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)
\(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)
\(f_2({\omega})={\omega^2}\)
\(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)
\(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)
\(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)
\(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)
\(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega×2}}\)
\(f^{\omega^2×2}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega×3}}\)
\(f^{\omega^3}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega^2}}\)
\(f_2(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\(f_3({\omega})={\epsilon_0}={\psi}_0(0)\)
\(f^{\omega}_2(f_3({\omega}))={\epsilon_1}\)
\(f_3(f_3({\omega}))={\epsilon_{\epsilon_0}}\)
\(f_4({\omega})={\zeta_0}={\psi}_0({\Omega})\)
\(f_5({\omega})={\psi}_0({\Omega^2})\)
\(f_6({\omega})={\psi}_0({\Omega^3})\)
\(f_{n+3}({\omega})={\psi}_0({\Omega^n})\)
ここまでは英語版のブログ記事やBEAFの解析結果などと一致する。
ω～
βが有限なら極限順序数αに対して\(f_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha[{\beta}]}({\beta})\)とできるが、βが超限順序数の場合は\({\alpha[{\beta}]}\)という表記は定義されていない。そこで、そのような表記を形式的に導入するときにどういった性質が求められるか考える（これを考えずに\(f_{\alpha}({\beta})[n]=f_{\alpha[n]}({\beta})\)といった風に定義してしまうと\(f_{\alpha}({\omega})={\psi}_0({\Omega^{\alpha}})\)となってしまい\({\Gamma_0}\)が限界となる）。
まず、α＝ωの時から考える。\({\omega[n]}=n\)とすると\({\omega[n+1]}={\omega[n]+1}\)が成り立つ。そこで、後続順序数にも成り立つとする。超限順序数の場合は\(({\omega[{\beta}]})[n]={\omega[{\beta[n]}]}\)とする。 このように定義した場合、大小関係がめちゃくちゃになってしまうので、\({\omega[{\beta}]}\)を\([{\omega},{\beta}]\)と書き換えて順序数と区別することにする。
\(f_{[{\omega},0]}({\omega})={\omega+1}\)
\(f_{[{\omega},1]}({\omega})={\omega×2}\)
\(f_{[{\omega},2]}({\omega})={\omega^2}\)
\(f_{[{\omega},3]}({\omega})={\epsilon_0}={\psi}_0(0)\)
\(f_{[{\omega},4]}({\omega})={\zeta_0}={\psi}_0({\Omega})\)
\(f_{[{\omega},5]}({\omega})={\psi}_0({\Omega^2})\)
\(f_{[{\omega},0]}({\omega})=f_{[{\omega},{\omega}]}({\omega})={\psi}_0({\Omega^{\omega}})\)
\(f_{[{\omega},{\omega+1}]}({\omega})=f_{[{\omega+1},{\omega}]}({\omega})={\psi}_0({\Omega^{\omega}}×{\omega})\)
\(f_{[{\omega},0]}({\omega+1})=f_{[{\omega},{\omega+1}]}({\omega+1})={\psi}_0({\Omega^{\omega}}×({\omega+1}))\)
\(f_{[{\omega},{\omega}]}(f_{\omega}({\omega+1}))={\psi}_0({\Omega^{\omega}}×({\omega+2}))\)
\(f_{[{\omega},{\omega+1}]}(f_{\omega}({\omega+1}))={\psi}_0({\Omega^{\omega}}×{\psi}_0({\Omega^{\omega}×({\omega+1})}))\)
\(f^{\omega}_{[{\omega},{\omega+1}]}({\omega+1})={\psi}_0({\Omega^{\omega+1}})\)
\(f_{[{\omega},0]}({\omega+2})={\psi}_0({\Omega^{\omega+1}}+{\Omega^{\omega}}×{\psi}_0({\Omega^{\omega+1}}+{\Omega^{\omega}}×{\psi}_0({\Omega^{\omega+1}}+{\Omega^{\omega}})))\)
\(f_{[{\omega},0]}({\omega×2})={\psi}_0({\Omega^{\omega×2}})\)
\(f_{[{\omega},0]}(f_{[{\omega},0]}({\omega}))={\psi}_0({\Omega^{{\psi}_0({\Omega^{\omega}})}})\)
\(f_{[{\omega+1},0]}({\omega})={\psi}_0({\Omega^{\Omega}})\)
ω×2以上の極限順序数を扱うには、α[β]が定義できたときにα[β+1]も定義できていればよい。この条件をクリアするためには、順序数をすべてFGHで表記すればよい。
\([{\beta},n]=[{\beta[n]},0]\)※\({\beta}\)は極限順序数
\([{\omega},{\gamma+1}]=[{\omega+1},{\gamma}]\)
\([f^{[{\delta},0]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha}),{\epsilon}]=[f^{[{\delta},{\epsilon}]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha}),0]\)※\({\delta}\)は極限順序数
\(f^{[0,0]}_{[0,0]}({\alpha})={\alpha+1}\)
\(f^{[{\delta+1},{\epsilon}]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})=f^{[0,0]}_{[{\beta},{\gamma}]}(f^{[{\delta},{\epsilon}]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha}))\)
\(f^{[{\delta},0]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})[n]=f^{[{\delta}[n],0]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})\)※\({\delta}\)は極限順序数
\(f^{[0,0]}_{[{\beta+1},{\gamma}]}({\alpha})=f^{[{\alpha},0]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})\)
\(f^{[0,0]}_{[{\beta},0]}({\alpha})=f^{[0,0]}_{[{\beta},{\alpha}]}({\alpha})\)
\(f^{[0,0]}_{[f^{[{\delta},{\epsilon}]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})]}({\zeta})[n]=f^{[0,0]}_{[f^{[{\delta},{\epsilon}[n]]}_{[{\beta},{\gamma}]}({\alpha})]}({\zeta})\)※\({\epsilon}\)は極限順序数
ハーディー階層使えばもうちょっときれいになるかも。