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  • プレイヤーは前のプレイヤーが言った順序数より小さい順序数を言う
  • 0を言ったら終了

というルールのゲームは、必ず有限回で終了し、各ターンにてプレイヤーが言える順序数にをうまく制限すればターン数の上限が生まれる。

例​:2変数関数ゲーム

プレイヤーは下の3つの関数を組み合わせて表せる順序数を言うことができる。

ただし、kターン目で使用可能な関数の個数は合計k+n個までで、変数は1~k+nまでの自然数と\({\omega}\)である。

\(A({\alpha},{\beta})={\alpha+{\beta}}\)

\(B({\alpha},{\beta})={\alpha×{\beta}}\)

\(C({\alpha},{\beta})={\alpha^{\beta}}\)

例(n=1)

\(C({\omega},C({\omega},{\omega}))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)・・・1ターン目なので、1+1個の関数を使える

\(C({\omega},C({\omega},C(3,3)))={\omega^{\omega^{27}}}\)・・・2ターン目なので、2+1個の関数と2+1以下の自然数を使える

\(C({\omega},C({\omega},B(4,B(3,2))))={\omega^{\omega^{24}}}\)・・・3ターン目なので、3+1個の関数と3+1以下の自然数を使える

\(C({\omega},B(C({\omega},A(B(5,4),3),5)))={\omega^{\omega^{23}×5}}\)・・・4ターン目なので、4+1個の関数と4+1以下の自然数を使える

nに対するターン数の上限を\(g(n)\)とすると\(g(n)≒f_{\epsilon_0}(n)\)程度になる。


ツリー数列やサブキュービックグラフ数は「位相同型的埋め込み可能」という概念でグラフの大小関係を定義し、順序数に対応させている。

サブツリー関数

以下の性質を満たすグラフを「サブツリー」と命名する。

・すべての変に向きがある有効グラフである。

・辺とその向きに従って頂点間を移動するとき、1回以上の移動で元の頂点に戻ってこられる頂点は1つもない。

・辺とその向きに従って頂点間を移動するとき、まったく移動できない頂点がただ一つ存在する。

\(ST(n)\)を以下の性質を満たすサブツリーの列\(T_k\)の最大長とする。

・\(T_k\)の頂点の個数と次数は\(n+k\)以下である。

・列の中には位相同型的埋め込み可能 である組は1つもない。

関数として成立しているかは不明だが、成立しているならシンプルサブキュービックグラフはすべて使えるので \(ST(n)>SSCG(n)\)となるはず。 

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