編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。
関数の表記
計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。
そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。
- NFO型
例：超階乗配列表記、ドル関数、R関数
- FON型
例：FGH、SGH、ハーディー階層
- ON型
例：原始数列システム、バシク行列システム
- FNO型
例：ハイパーE表記
構造公理
文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧（今回は角括弧に統一）による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。
※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。
- 空構造(E)
"\([]\)"はA型である
- 代入構造(S)
数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である
- 係数構造(C)
A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である
- 結合構造(U)
A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である
A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である
- ネスト構造(N)
A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある
A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である
- 配列構造(A)
数はC型である
C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である
C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ
- 有限レベル構造(fL)
数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である
- 拡張レベル構造(eL)
数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である
A型文字列\(a\)とA型文字列\({\alpha}\)について、"\(a_{\alpha}\)"はA型である
A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)について、"\(a_b\)"はA型である
例：ドル関数の角括弧表記→E＋S＋C＋U＋N
ヒドラゲームのヒドラ→E＋U＋N
超階乗配列表記→E＋S＋N＋A
ドル関数の拡張角括弧表記→E＋S＋C＋U＋N＋eL
バシク行列システム（数列表記）→U＋A
配列システム
角括弧演算子
概要
上矢印表記の簡単な拡張
表記
・自然数\(n\)に対して、\([n]\)は演算子である。
・演算子\(A,B\)に対して、\(AB\)は演算子である。
例：\(3[5][2][2][2][1]4\)
計算法
・\(□\)：０個以上の演算子
・\(■\)：１個以上の演算子
・\(A,B,C\)：自然数
(1)\(A[1]B=A^B\)
(2)\(A■[1]B=f^B(A)\) ただし、\(f(C)=A■C\)
(3)\(A□[C+1]B=A□[C][C]…([C]がB個)…[C]B\)
評価
\(n[n]n\approx f_{\omega^\omega}(n)\)
混合チェーン表記
概要
チェーン表記の簡単な拡張
表記
自然数\(n\)に対して\(→_n\)をチェーン演算子とする。
※2項演算子ではない
計算法
・\(\#\):０個以上のチェーンからなる式
・\(a,b,n\):自然数
(1)\(a→_1b=a^b\)
(2)\(\#(a+1)→_1(b+1)=\#(\#a→_1b+1)→_1b\)
(3)\(\#1→_nb=\#\)
(4)\(\#a→_n1=\#a\)
(5)\(\#a→_{n+1}(b+1)=\#a→_na→_{n+1}b\)
例
\(3→_33\)
\(=3→_23→_32\)
\(=3→_23→_23→_31\)
\(=3→_23→_23\)
\(=3→_23→_13→_22\)
\(=3→_23→_13→_13→_21\)
\(=3→_23→_13→_13\)
\(=3→_23→_1(3→_23→_12→_13)→_12\)
評価
\(n→_2n\approx f_{\omega^2}(n)\)
\(n→_2n→_12\approx f_{\omega^2+1}(n)\)
\(n→_2n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega}}(n)\)
\(n→_2n→_1n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega×2}}(n)\)
\(n→_2n→_21\approx f_{\omega^2×2}(n)\)
\(n→_3n\approx f_{\omega^3}(n)\)
\(n→_nn\approx f_{\omega^{\omega}}(n)\)
数列システム
N→Z変換
項を0の列に、セパレータを1に変換。
計算例
\((3,3,0,2,1)→(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0)\)
前例（推測）
・巨大数探索スレッド10の>>638
・巨大数探索スレッド11.75の>>1
S→Z変換
セパレータを0に変換。
計算例
\((1,2,1,4)→(1,0,2,0,1,0,4)\)
前例
不明
S→Z/N→O変換
セパレータを0に、項を１の列に変換。
計算例
\((2,2,1,1,1,0,3)→(1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1)\)
前例
不明
・たぶん小一次数列にSZNO変換を適用するとベクレミシェフの虫になる。
階差表記
初項と階差を使って数列を書き表す。
\((1,2,3,5,6,8,11)=(1[1,1,2,1,2,4])\)
数列システムを作るのに使う場合、０以下の項を含めないほうが便利である。
\((1,2,4,5,5,7,10)=(1[1,2,1],5[2,3])\)
\((1[1[1[・・・]]])\)の極限は\((1,2,4,8,・・・2^{n-1})\)
極限
\(Max(A)\)を\(A\)の最大の要素とし、\(Row(A)\)を\(A\)の行数とする。
- 数極限
システム\(X\)の標準形の列\(A\)と\(B\)について\(Max(A)>Max(B)⇒A>B\)が成り立つとき、
\(X\)は数極限である。
- 行極限
システム\(X\)の標準形の行列\(A\)と\(B\)について\(Row(A)>Row(B)⇒A>B\)が成り立つとき、
\(X\)は行極限である。
例
数極限のシステム：ベクレミシェフの虫、原始数列
数極限でないシステム：大1次数列、バシク行列
行極限のシステム：バシク行列
RN変換
行極限の行列から数極限の行列への変換
\((a_1,a_2,...a_k)→(1,...(a_1個)...1)+(1,...(a_2個)...1)+...(1,...(a_k個)...1)\)
\((0)(1)(2)(3)→\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&1&1&1\end{pmatrix}→\begin{pmatrix}0&2&2&2\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{pmatrix}→\begin{pmatrix}0&2&2&2\\0&0&2&2\\0&0&0&2\end{pmatrix}\)
\(RN^{-1}=RN?\)
小偽原始数列システム
表記
\((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)
計算法
(1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)
(2) 数列の中で一番右にある\(0\)を\(a_m\)とする。
\(A=(a_1,a_2,・・・a_{m-1})\)
\(B=(a_m,a_{m+1},・・・a_{k-1})\)
\((a_1,a_2,a_k)[n]=\{A\frown B\frown B・・・(Bがn個)・・・B\}[n+1]\)
評価
\((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\omega}(n)\)
大偽原始数列システム
表記
\((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)
計算法
(1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)
(2)\(a_{i-1}≥a_i\)かつ\(a_i<a_k\)を満たす最大の\(i\)を\(j\)とする（iが存在しない場合、j=1とする。）。
- \(A=(a_1,a_2,・・・a_{j-1})\)
- \(B_0=(a_j,a_{j+1},・・・a_{k-1})\)
- \(x=a_k-a_j-1\)
- \(B_m=B_0+(x×m)\) (\(B_0\)のすべての項に足す)
\((a_1,a_2,・・・a_k)[n]=\{A\frown B_0\frown B_1\frown・・・B_n\}[n+1]\)
評価
\((0,1)={\omega}\)
\((0,1,0,1)={\omega×2}\)
\((0,1,1)={\omega^2}\)
\((0,1,1,2)={\omega^{\omega}}\)
\((0,1,1,2,1)={\omega^{\omega+1}}\)
\((0,1,1,2,1,2)={\omega^{\omega×2}}\)
\((0,1,1,2,2)={\omega^{\omega^2}}\)
\((0,1,1,2,2,3)={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((0,1,2)={\varepsilon_0}\)
\((0,1,2,1)={\varepsilon_0×{\omega}}\)
\((0,1,2,1,2,3)={\varepsilon_0^2}\)
\((0,1,2,1,2,3,2)={\varepsilon_0^{\omega}}\)
\((0,1,2,1,2,3,2,3,4)={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)
\((0,1,2,2)={\varepsilon_1}\)
\((0,1,2,2,3)={\varepsilon_{\omega}}\)
\((0,1,2,2,3,4)={\varepsilon_{\varepsilon_0}}\)
\((0,1,2,2,3,4,4,5,6)={\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}\)
\((0,1,2,3)={\zeta_0}\)
\((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},0)}(n)\)
※限界は\((0,2,3,4,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},1)}(n)\)だと思われる。
カードゲーム
- プレーヤーは二人、カードは3種類（\(c_1,c_2,c_3\)とする）。
- カードの強さは\(c_1<c_2<c_3<c_1\)である（推移律は成り立たない）。
- カードごとに分けられた山札を用意し、プレイヤーは有限枚の手札をもってゲームを始める。
- 各ターンにおいてプレイヤーは自分の手札から１枚カードを選んで出し強いカードを出したプレイヤーを勝ちとする。
- 勝ったプレイヤーは自分が出したカードを山札に入れ、相手が出したカードを手札に加える。
- 勝敗がつかないときは、各プレイヤーは自分が出したカードを手札に戻し、
そのカードに負けるカードを山札からとって手札に加える。
このゲームをもとに、関数\(G(n)\)を以下のように定義する。
- 各プレーヤーはカードを１列に並べる。カードを出すときは先頭のカードを出し、加えるときは末尾に加える。
- 山札の枚数は無限とする。
- 手札がなくなったら負けとする。
- 両プレイヤーがｎ枚のカードをもってゲームを開始して、ゲームが終了したときのターン数の最大値を\(G(n)\)とする。
例（ｃは省略)
(1,3,1)(2,3,2)[0]→(3,1)(3,2,1)[1]→(1,3,2)(2,1,3,2)[2]→(2,3)(1,3,2,1)[3]→(2)(3,2,1,3)[4]→()(2,1,3,2)[5]
\(G(1)=1\)
\(G(2)≥120\)…(1,2)(1,3)は１２０ターンで終わるが、(1,3)(1,1)は今のところ終わるかどうかわかっていない（手動で調べたら１０００ターン超えた）。
バリエーション
・プレイヤーを増やす
・カードの種類を増やす
ちなみにカードゲームとして面白いかは不明。「勝ったほうが次のターンで先手」「任意のタイミングで相手のカードを見てもよい」みたいなルールを追加したら割と遊べるかもしれない。
Pz関数とPmax関数
以下の演算記号と自然数\(a_1,a_2,・・・\)を使って表現できない最小の自然数を\(Pz(a_1,a_2,・・・)\)とする。
- 四則演算 ＋－×÷
- 冪乗 ^
- 階乗 ！
- 根号 √
- 総和 Σ （Σｎ＝\(\frac{n(n+1)}{2}\)）
例：
\(4-{\sqrt9}=1\)
\({\sqrt9}!-4=2\)
\({\sqrt{\sqrt{\sqrt{9^4}}}}=3\)
\({\sqrt9}!-{\sqrt4}=4\)
\({\sqrt9}+{\sqrt4}=5\)
\({\sqrt4×9}=6\)
\(4+{\sqrt9}=7\)
\({\sqrt4}^{\sqrt9}=8\)
\({\sqrt{\sqrt{9^4}}}=9\)
\(4+{\sqrt9}!=10\)
\({\sqrt4}+9=11\)
\(4×{\sqrt9}=12\)
\(4+9=13\)
\(??=14\)
よって、\(Pz(4,9)≥14\)
| \(1=1^{16+81}\) | \(2=1^{81}×{\sqrt{\sqrt{16}}}\) | \(3=1^{16}×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) | \(4=1^{81}×{\sqrt{16}}\) | \(5=1^{81}+{\sqrt{16}}\) | \(6=1×{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) | \(7=1+{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) | \(8={\sqrt{81}-1^{16}}\) | \(9=1^{16}×{\sqrt{81}}\) | \(10=1^16+{\sqrt{81}}\) |
| \(11={\sqrt{16×{\sqrt{81}}}}-1\) | \(12=1×{\sqrt{16×81}}\) | \(13=1+{\sqrt{16×81}}\) | \(14=16+1-{\sqrt{\sqrt{81}}}\) | \(15=16-1^{81}\) | \(16=16×1^{81}\) | \(17=16+1^{81}\) | \(18=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) | \(19=16+1×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) | \(20=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) |
| \(21={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) | \(22={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(23={\sqrt{16}}!-1^{81}\) | \(24={\sqrt{16}}!×1^{81}\) | \(25={\sqrt{16}}!+1^{81}\) | \(26={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) | \(27={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) | \(28={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(29={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\) | \(30={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\) |
| \(31={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) | \(32={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}-1\) | \(33={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}×1\) | \(34={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}+1\) | \(35={\sqrt{16×81}}-1\) | \(36={\sqrt{16×81}}×1\) | \(37={\sqrt{16×81}}+1\) | \(38={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}-1\) | \(39={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) | \(40={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}-1\) |
| \(41={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}×1\) | \(42={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) | \(43={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) | \(44={\Sigma{\sqrt{81}}}-1^{16}\) | \(45={\Sigma{\sqrt{81}}}×1^{16}\) | \(46={\Sigma{\sqrt{81}}}+1^{16}\) | \(47={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) | \(48={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}-1\) | \(49={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}×1\) | \(50={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}+1\) |
| \(51={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) | \(52={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) | \(53={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(54={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-1^{81}\) | \(55={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}×1^{81}\) | \(56={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+1^{81}\) | \(57={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) | \(58={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) | \(59={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(60={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\) |
| \(61={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\) | \(62={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) | \(63={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) | \(64={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) | \(65={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(66=81-16+1\) | \(67={\Sigma({\sqrt{\sqrt{16}}}+{\sqrt{81}})}+1\) | \(68={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!-1\) | \(69={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!×1\) | \(70={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!+1\) |
| \(71={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) | \(72={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) | \(73={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) | \(74=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}-1\) | \(75=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}×\) | \(76=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}+1\) | \(77=81-{\sqrt{16}}-1\) | \(78=81-{\sqrt{16}}×1\) | \(79=81-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) | \(80=81-1^{16}\) |
| \(81=81×1^{16}\) | \(82=81+1^{16}\) | \(83=81+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) | \(84=81+{\sqrt{16}}-1\) | \(85=81+{\sqrt{16}}×1\) | \(86=81+{\sqrt{16}}+1\) | \(87=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) | \(88=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) | \(89={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) | \(90={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) |
| \(91={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}+1\) | \(92={\Sigma(16-{\sqrt{\sqrt{81}}})}+1\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) |
よって、\(Pz(1,16,81)≥93\)
ｎ変数のPz関数の最大値を\(Pmax(n)\)とする。
例：\(Pmax(1)=2 (Pz(1)=2)\)
\(Pmax(2)≥14 (Pz(4,9)≥14)\)
\(Pmax(3)≥93 (Pz(1,16,81)≥93)\)
\(Pmax(m)\)と\(Pmax(n)\)で使う数と\(Pmax(m)\)を使えば\(1～Pmax(m)×Pmax(n)-1\)
までの数を作れるので、\(Pmax(m+n+1)≥Pmax(m)×Pmax(n)\)が成り立つ。
例：\(m=n=2\)とし、\(Pmax(2)=Pz(4,9)=14\)とする。
| 14-13×1=1 | 14-12×1=2 | 14-11×1=3 | … | 14-1×1=13 |
| 14×1×1=14 | 14×1+1=15 | 14×1+2=16 | … | 14×1+13=27 |
| 14×2×1=28 | 14×2+1=29 | 14×2+2=30 | … | 14×2+13=42 |
| 14×13×1=182 | 14×13+1=183 | 14×13+2=184 | … | 14×13+13=195 |
よって、\(Pmax(5)≥196\)
また、\(Pmax(3n-1)≥14^n\)
\(Pmax(3)=93\)とすると、\(Pmax(4n-1)≥93^n\)
さらに、\(Pmax(n)\)の組を2つずつ使うことにより\({\Sigma}1～({\Sigma}Pmax(n))-1\)までの数を作ることができる。よって\(Pmax(2n)≥{\Sigma}Pmax(n)\)が成り立つ。