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編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。

​関数の表記

計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

  • NFO型

  例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

  • FON型

  例:FGH、SGH、ハーディー階層

  • ON型

  例:原始数列システム、バシク行列システム

  • FNO型

  例:ハイパーE表記

​順序数部分の構造

文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

  • 空構造

   "\([]\)"はA型である

  • 代入構造

   数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

  • 係数構造

   A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

  • 結合構造

   A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

  • ネスト構造

   A型文字列はC型文字列でもある

   A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

  • 配列構造

   数はC型である

   C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

   C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ。

  • レベル構造

   ???

例:ドル関数の角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造

  ヒドラゲームのヒドラ→空構造+結合構造+ネスト構造

  超階乗配列表記→空構造+代入構造+ネスト構造+配列構造

  ドル関数の拡張角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造+レベル構造

  バシク行列システム(数列表記)→結合構造+配列構造

配列システム

第1配列システム

​  概要

   最も単純な構造の配列。

  表記

  ・NFO型(F=\("L"\))

  ・配列構造

   例:\(3L[2,3,0]\)

  計算法

  ・\(Z\):0個以上の0

  ・\(\#\):0個以上の非負整数

   (1) \(nL[\#,a]=(n+a)L[\#,0]\)

   (2) \(nL[Z]=n\)

   (3) \(nL[\#,a+1,0,Z]=nL[\#,a,n,Z]\)

  評価

   \(nL[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)

第2配列システム​

   概要

    結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。

   表記

   ・NFO型(F=\("L"\))

   ・配列構造+結合構造

    例:\(2L[1,0,5][2,1][1,4][3]\)

   計算法

   ・\(Z\):0個以上の0

   ・\(\#\):0個以上の非負整数

   ・\(□\):1個以上の配列

   ・\(n\):変数

   ・右端の配列から計算を行う。

    (1) \(nL□[Z]=(n+1)L□\)

    (2) \(nL[Z]=n+1\)

    (3) \([\#,a+1]=[\#,a][#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

    (4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)

   評価

    第1配列システム\(\approx nL[1,0]\)

    \(nL[1,0,…0]\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

第3配列システム​

   概要

    ネスト構造を導入。超階乗配列表記とほぼ同じ?

   表記

   ・係数構造+結合構造+配列構造+ネスト構造

   ・NFO型(F="L")

    例:\(5L[1,1,[2,3]3][2,[1,[2,3]],5][3,[[1]2]2]\)

   計算法

   ・\(Z\):0個以上の0

   ・\(\#\):0個以上の要素

   ・\(□\):1個以上の要素

   ・\(n\):変数

    (1)\(nLa=n+a\)

    (2)\(nL□a=(n+a)L□\)

    (3)\([Z]=n\) ただし\([Z]\)の右側には自然数も0だけを含む配列も無い。

   ・以降の規則は要素の中で一番右側にある自然数が含まれる配列に対して適用する。

    (4)\([\#,a+1]=[\#,a][\#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

    (5)\([\#_1,\#_2a+1,0,Z]=f^n(0)\) ただし\(f(b)=[\#_1,\#_2a,b,Z]\)とする。

   評価

    第1配列システム\(\approx nL[[0]]\)

    第2配列システム\(\approx nL[[[0]]]\)

    \(nL[1,0,0,…0]\approx f_{\phi(\omega,0)}(n)\)

第4配列システム​

   概要

    配列の中での位置を表す「ランク」という概念を導入し、ψ関数の構造を表現。

   表記

    ・第3配列システムと同じ

   計算法

   ・未完成

   評価

    第1配列システム\(\approx nL[[0]]\)

    第2配列システム\(\approx nL[[[0]]]\)

    第3配列システム\(\approx nL[[[[0],0],0]\)

    \(nL[1,0,0,…0]\approx f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(n)\)

    \([1,0]={\epsilon}_0\)

    \([1,[1,0]]={\epsilon}_0^2\)

    \([2,0]={\epsilon}_1\)

    \([[[1,0]],0]={\epsilon}_{\epsilon_0}\)

    \([[1,0],0]={\zeta}_0={\psi}_0(\Omega)\)

    \([[[1,0],0],0]={\psi}_0(\Omega^{\Omega})\)

    \([1,0,0]={\psi}_0(\epsilon_{\Omega+1})={\psi}_0({\psi}_1(0))\)

​角括弧演算子

​   概要

    上矢印表記の簡単な拡張

   表記

   ・自然数\(n\)に対して、\([n]\)は演算子である。

   ・演算子\(A,B\)に対して、\(AB\)は演算子である。

    例:\(3[5][2][2][2][1]4\)

   計算法

   ・\(□\):0個以上の演算子

   ・\(■\):1個以上の演算子

   ・\(A,B,C\):自然数

   (1)\(A[1]B=A^B\)

   (2)\(A■[1]B=f^B(A)\) ただし、\(f(C)=A■C\)

   (3)\(A□[C+1]B=A□[C][C]…([C]がB個)…[C]B\)

   評価

    \(n[n]n\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

拡張チェーン表記

概要

チェーン表記の簡単な拡張

表記

自然数\(n\)に対して\([n]\)をチェーン演算子とする。

計算法

・\(\#\):0個以上のチェーンからなる式

・\(a,b,n\):自然数

(1)\(a[1]b=a^b\)

(2)\(\#(a+1)[1](b+1)=\#(\#a[1]b+1)[1]b\)

(3)\(\#1[n]b=\#\)

(4)\(\#a[n]1=\#a\)

(5)\(\#a[n+1](b+1)=\#a[n]a[n+1]b\)

評価

\(n[2]n\approx f_{\omega^2}(n)\)

\(n[2]n[1]2\approx f_{\omega^2+1}(n)\)

\(n[2]n[1]n\approx f_{\omega^2+{\omega}}\)

\(n[2]n[1]n[1]n\approx f_{\omega^2+{\omega×2}}\)

\(n[2]n[2]n\approx f_{\omega^2×2}\)

\(n[3]n\approx f_{\omega^3}(n)\)

\(n[n]n\approx f_{\omega^{\omega}}(n)\)

写像システム

概要

B型Comakky数 の解析をしてたら作りたくなった。

定義

\(Y:\)0個以上の1

\(X:\)0個以上の自然数(0は含まない)

\(a,b,n:\)1個の自然数(0は含まない)

\({\beta}_1[Y]f(n)=f^n(n)\)

\({\beta}_{a+1}[Y]f(n)={\beta}_a[n,n,…(nがn個)…n]f(n)\)

\({\beta}_a[X,b+1,1,Y]f(n)={\beta}_a[X,b,n,Y]f(n)\)

\({\beta}_a[X,b+1]f(n)={\beta}_a[X,b]^nf(n)\)

評価

\({\beta}_n[1]f(n)\approx f_{\omega^{\omega^{\omega+1}}}(n)\)

※\(f(n)=n+1\)

​\({\rho}\)関数

概要

ψ関数を拡張した順序数崩壊関数。

定義は未完成。

\({\rho}_0(0)={\psi}_0(0)\)

\({\rho}_0({\Omega})={\psi}_0({\Omega})\)

\({\rho}_0({\rho}_1(0))={\psi}_0({\psi}_1(0))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)+1))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2+1))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)^{{\rho}_1({\Omega}_2)}))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2^{{\Omega}_2}))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2+1)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2(0)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2+{\rho}_1({\Omega}_2×2)))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3+{\psi}_2({\Omega}_3))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2×2))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3×2)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2×2+1))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\psi}_3(0))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×3)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\psi}_3({\Omega}_4))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×{\omega})))={\psi}_0({\Omega}_{\omega})\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×{\Omega})))={\psi}_0({\psi}_{\Omega}({\Omega}_{\Omega}))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2^2)))={\psi}_0({\psi}_I(0))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2^{{\Omega}_2^{{\Omega}_2^{.^{.^.}}}})))={\rho_0({\rho}_1({\rho}_1({\rho}_2(0))))}\)

\({\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2(…{\rho}_2(0)…)))))={\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2({\Omega}_3)))\)

数列システム

​NZ変換

 項を0の列に、セパレータを1に変換。

 計算例

  \((3,3,0,2,1)→(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0)\)

 前例(推測)

 ・巨大数探索スレッド10の>>638

 ・巨大数探索スレッド11.75の>>1

SZ変換

 セパレータを0に変換。

 計算例

  \((1,2,1,4)→(1,0,2,0,1,0,4)\)

 前例

  不明

階差表記

初項と階差を使って数列を書き表す。

\((1,2,3,5,6,8,11)=(1[1,1,2,1,2,4])\)

​ 数列システムを作るのに使う場合、0以下の項を含めないほうが便利である。

\((1,2,4,5,5,7,10)=(1[1,2,1],5[2,3])\)

\((1[1[1[・・・]]])\)の極限は\((1,2,4,8,・・・2^{n-1})\)

小偽原始数列システム

​ 表記

  \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)

​ 計算法

 (1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

 (2) 数列の中で一番小さい項のうち一番右にある項を\(a_m\)とする。

   \(A=(a_1,a_2,・・・a_{m-1})\)

   \(B=(a_m,a_{m+1},・・・a_{k-1})\)

   \((a_1,a_2,a_k)[n]=\{A\frown B\frown B・・・(Bがn個)・・・B\}[n+1]\)

​ 評価

  \((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\omega}(n)\)

​大偽原始数列システム

​ 表記

  \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)

​ 計算法

 (1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

 (2) \(a_i≤a_{i-1}\)が成り立つ最大の\(i\)を\(j\)とする。

  ① \(j=k\)のとき、\(a_i>a_{i-1}\)が成り立つ最大の\(iをl\)とする。

    \(A=(a_1,a_2,・・・a_{l-1})\)

    \(B=(a_l,a_{l+1},・・・a_{k-1})\)

    \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]=\{A\frown B\frown B・・・(Bがn個)・・・B\}[n+1]\)

  ② \(j<k\)のとき、\(x=a_k-a_j-1\)とする。(jが存在しないときはj=1とする。)

    \(A=(a_1,a_2,・・・a_{j-1})\)

    \(B_m=(a_j,a_{j+1},・・・a_{k-1})+m×x\)

    \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]=\{A\frown B_0\frown B_1・・・B_n\}[n+1]\)

​ 評価

  \((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},0)}(n)\)

  ※限界は\((0,2,3,4,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},1)}(n)\)だと思われる。

カードゲーム

  • プレーヤーは二人、カードは3種類(\(c_1,c_2,c_3\)とする)。
  • カードの強さは\(c_1<c_2<c_3<c_1\)である(推移律は成り立たない)。
  • カードごとに分けられた山札を用意し、プレイヤーは有限枚の手札をもってゲームを始める。
  • 各ターンにおいてプレイヤーは自分の手札から1枚カードを選んで出し強いカードを出したプレイヤーを勝ちとする。
    • 勝ったプレイヤーは自分が出したカードを山札に入れ、相手が出したカードを手札に加える。
    • 勝敗がつかないときは、各プレイヤーは自分が出したカードを手札に戻し、

     そのカードに負けるカードを山札からとって手札に加える。

このゲームをもとに、関数\(G(n)\)を以下のように定義する。

  • 各プレーヤーはカードを1列に並べる。カードを出すときは先頭のカードを出し、加えるときは末尾に加える。
  • 山札の枚数は無限とする。
  • 手札がなくなったら負けとする。
  • 両プレイヤーがn枚のカードをもってゲームを開始して、ゲームが終了したときのターン数の最大値を\(G(n)\)とする。

例(cは省略)

(1,3,1)(2,3,2)[0]→(3,1)(3,2,1)[1]→(1,3,2)(2,1,3,2)[2]→(2,3)(1,3,2,1)[3]→(2)(3,2,1,3)[4]→()(2,1,3,2)[5]

\(G(1)=1\)

\(G(2)≥120\)…(1,2)(1,3)は120ターンで終わるが、(1,3)(1,1)は今のところ終わるかどうかわかっていない(手動で調べたら1000ターン超えた)。

​バリエーション

・プレイヤーを増やす

・カードの種類を増やす


ちなみにカードゲームとして面白いかは不明。「勝ったほうが次のターンで先手」「任意のタイミングで相手のカードを見てもよい」みたいなルールを追加したら割と遊べるかもしれない。


Pz関数とPmax関数

以下の演算記号と自然数\(a_1,a_2,・・・\)を使って表現できない最小の自然数を\(Pz(a_1,a_2,・・・)\)とする。

  • 四則演算 +-×÷
  • 階乗 !
  • 根号 √
  • 総和 Σ (Σn=\(\frac{n(n+1)}{2}\))

例:\(Pz(1,1)≥8\)(1を2つ使って1~7の自然数を作れる。)

  \(Pz(4,9)≥14\)(4と9を使って1~13の自然数を作れる。)

n変数のPz関数の最大値を\(Pmax(n)\)とする。

例:\(Pmax(1)=2 (Pz(1)=2)\)

  \(Pmax(2)≥14 (Pz(4,9)≥14)\)

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