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​関数の表記[]

計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

  • NFO型

  例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

  • FON型

  例:FGH、SGH、ハーディー階層

  • ON型

  例:原始数列システム、バシク行列システム

  • FNO型

  例:ハイパーE表記

​構造公理[]

文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。

  • 空構造(E)

   "\([]\)"はA型である

  • 代入構造(S)

   数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

  • 係数構造(C)

   A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

  • 結合構造(U)

   A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

  • ネスト構造(N)

   A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある

   A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

  • 配列構造(A)

   数はC型である

   C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

   C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ

  • 有限レベル構造(fL)

   数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

  • 拡張レベル構造(eL)

   数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

   A型文字列\(a\)とA型文字列\({\alpha}\)について、"\(a_{\alpha}\)"はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)について、"\(a_b\)"はA型である

例:ドル関数の角括弧表記→E+S+C+U+N

  ヒドラゲームのヒドラ→E+U+N

  超階乗配列表記→E+S+N+A

  ドル関数の拡張角括弧表記→E+S+C+U+N+eL

  バシク行列システム(数列表記)→U+A

配列システム[]

[1]

​角括弧演算子[]

​概要[]

上矢印表記の簡単な拡張

   表記[]

  • 自然数\(n\)に対して、\([n]\)は演算子である。
  • 演算子\(A,B\)に対して、\(AB\)は演算子である。

例:\(3[5][2][2][2][1]4\)

計算法[]

  • \(□\):0個以上の演算子
  • \(■\):1個以上の演算子
  • \(A,B,C\):自然数

(1)\(A[1]B=A^B\)

(2)\(A■[1]B=f^B(A)\) ただし、\(f(C)=A■C\)

(3)\(A□[C+1]B=A□[C][C]…([C]がB個)…[C]B\)

評価[]

\(n[n]n\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

混合チェーン表記[]

概要[]

チェーン表記の簡単な拡張

表記[]

自然数\(n\)に対して\(→_n\)をチェーン演算子とする。

※2項演算子ではない

計算法[]

  • \(\#\):0個以上のチェーンからなる式
  • \(a,b,n\):自然数

(1)\(a→_1b=a^b\)

(2)\(\#(a+1)→_1(b+1)=\#(\#a→_1b+1)→_1b\)

(3)\(\#1→_nb=\#\)

(4)\(\#a→_n1=\#a\)

(5)\(\#a→_{n+1}(b+1)=\#a→_na→_{n+1}b\)

[]

\(3→_33\)

\(=3→_23→_32\)

\(=3→_23→_23→_31\)

\(=3→_23→_23\)

\(=3→_23→_13→_22\)

\(=3→_23→_13→_13→_21\)

\(=3→_23→_13→_13\)

\(=3→_23→_1(3→_23→_12→_13)→_12\)

評価[]

\(n→_2n\approx f_{\omega^2}(n)\)

\(n→_2n→_12\approx f_{\omega^2+1}(n)\)

\(n→_2n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega}}(n)\)

\(n→_2n→_1n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega×2}}(n)\)

\(n→_2n→_21\approx f_{\omega^2×2}(n)\)

\(n→_3n\approx f_{\omega^3}(n)\)

\(n→_nn\approx f_{\omega^{\omega}}(n)\)

2-短成長階層[]

命名:hexirp[2]

  • \(I_0(n)=0\)
  • \(I_{\alpha+1}(n)=I_{\alpha}(n)+1\)
  • \(I_{\alpha}(n)=I_{\alpha[n]}(2)\)
  • \(I_{\alpha+{\beta}}(2)=I_{\alpha}(2)+I_{\beta}(2)\)
  • \(I_{\alpha+{\beta}}(n)=I_{\alpha}(2)+I_{\beta}(n)\)
\(I_{\omega}(n)=n\)
\(I_{\omega×2}(n)=I_{\omega}(2)+I_{\omega}(n)=n+2\)
\(I_{\omega×3}(n)=I_{\omega×2}(2)+I_{\omega}(n)=n+4\)
\(I_{\omega×m}(n)=I_{\omega×(m-1)}(2)+I_{\omega}(n)=n+2(m-1)\)
\(I_{\omega^2}(n)=I_{\omega×n}(2)=2+2(n-1)=2n\)
\(I_{\omega^2×2}(n)=I_{\omega^2}(2)+I_{\omega^2}(n)=2n+4\)
\(I_{\omega^2×3}(n)=I_{\omega^2×2}(2)+I_{\omega^2}(n)=2n+8\)
\(I_{\omega^2×m}(n)=I_{\omega^2×(m-1)}(2)+I_{\omega^2}(n)=4(m-1)+2n\)
\(I_{\omega^3}(n)=4n\)
\(I_{\omega^m}(n)=2^{m-1}n\)
\(I_{\omega^{\omega}}(n)=2^n\)
\(I_{\omega^{\omega+1}}(n)=4n\)
\(I_{\omega^{\omega+2}}(n)=8n\)
\(I_{\omega^{\omega×2}}(n)=2^{n+2}\)
\(I_{\omega^{\omega^{\omega^2}}}(n)=2^{2n}\)
\(I_{\omega^{\omega^{\omega}}}(n)=2^{2^n}\)
\(I_{\varepsilon_0}(n)=2↑↑n\)
\(I_{\omega^{\varepsilon_0+1}}(n)=I_{\omega^{\varepsilon_0}×{\omega}}(n)=I_{\omega^{\varepsilon_0}}(2)×n=2^{2^2}n=16n\)
\(I_{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}(n)=2^{2^{2^2}n}=65536^n\)
\(I_{\varepsilon_1}(n)\approx 2↑↑(n+2)\)
\(I_{\varepsilon_2}(n)\approx 2↑↑(n+4)\)
\(I_{\varepsilon_{\omega}}(n)\approx 2↑↑(2n+2)\)
\(I_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}(n)\approx 2↑↑(2↑↑n)\)
\(I_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}(n)\approx 2↑↑(2↑↑(2↑↑n))\)
\(I_{\zeta_0}(n)\approx 2↑↑↑n\)
\(I_{\zeta_1}(n)\approx 2↑↑↑(n+2)\)
\(I_{\zeta_{\zeta_0}}(n)\approx 2↑↑↑(2↑↑↑n)\)
\(I_{\varphi(3,0)}(n)\approx 2↑↑↑↑n\)
\(I_{\varphi({\omega},0)}(n)\approx g_{\varphi({\omega},0)}\)
\(I_{\varphi({\omega},1)}(n)=I_{\varphi(n,{\varphi}({\omega},0)+1)}(2)\approx g_{\varphi(n,0)}(g_{\varphi(2,0)}(2))\)
\(I_{\varphi({\omega},2)}(n)=I_{\varphi(n,{\varphi}({\omega},1)+1)}(2)\approx g_{\varphi(n,0)}(g_{\varphi(2,0)}(g_{\varphi(2,0)}(2)))\)
\(I_{\varphi({\omega},{\omega})}(n)\approx g_{\varphi(3,0)}(n)\)
\(I_{\varphi({\omega},{\omega}×2)}(n)\approx g_{\varphi(3,0)}(n+2)\)
\(I_{\varphi({\omega},{\omega^2})}(n)\approx g_{\varphi(3,1)}(n)\)
\(I_{\varphi({\omega},{\varphi(3,0)})}(n)\approx g_{\varphi(3,{\varphi(3,0)})}(n)\)

catching function[]

\(fH\)[]

\(fH(0)={\varepsilon_0}\)
\(fH(1)={\varepsilon_1}\)
\(fH({\omega}={\psi_0({\omega})}\)
\(fH({\omega+1})={\psi_0({\omega+1})}\)
\(fH(fH(0))={\psi_0({\psi_0(0)})}\)
\(fH({\Omega})={\psi_0({\Omega})}\)

\(fm\)[]

\(fg\)[]

[3]

\(gI\)[]

\(gI(0)={\omega}\)
\(gI(1)={\omega^{\omega}}\)
\(gI(2)={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\(gI({\omega})={\varepsilon_0}\)
\(gI({\omega+1})={\varepsilon_{\varepsilon_0}}\)
\(gI({\omega+2})={\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}\)
\(gI({\omega×2})={\zeta_0}\)
\(gI({\omega×2+1})={\zeta_{\zeta_0}}\)
\(gI({\omega×3})={\varphi}(3,0)\)
\(gI({\omega^2})={\varphi}({\omega},0)\)
\(gI({\omega^2+1})={\varphi}({\varphi}({\omega},0),0)\)
\(gI({\omega^2+{\omega}})={\varphi}(1,0,0)\)

カードゲーム[]

  • プレーヤーは二人、カードは3種類(\(c_0,c_1,c_2\)とする)。
  • カードの強さは\(c_0<c_1<c_2<c_0\)である(推移律は成り立たない)。
  • カードごとに分けられた山札を用意し、プレイヤーは有限枚の手札をもってゲームを始める。
  • 各ターンにおいてプレイヤーは自分の手札から1枚カードを選んで出し強いカードを出したプレイヤーを勝ちとする。
    • 勝ったプレイヤーは自分が出したカードを山札に入れ、相手が出したカードを手札に加える。
    • 勝敗がつかないときは、各プレイヤーは自分が出したカードを手札に戻し、

     そのカードに負けるカードを山札からとって手札に加える。

このゲームをもとに、関数\(G(n)\)を以下のように定義する。

  • 各プレーヤーはカードを1列に並べる。カードを出すときは先頭のカードを出し、加えるときは末尾に加える。
  • 山札の枚数は無限とする。
  • 手札がなくなったら負けとする。
  • 両プレイヤーがn枚のカードをもってゲームを開始して、ゲームが終了したときのターン数の最大値を\(G(n)\)とする。

例(cは省略)

(0,2,0)(1,2,1)[0]→(2,0)(2,1,0)[1]→(0,2,1)(1,0,2,1)[2]→(1,2)(0,2,1,0)[3]→(1)(2,1,0,2)[4]→()(1,0,2,1)[5]

\(G(1)=1\)

(0,1)(0,0)→3696,a

(0,2)(0,0)→12895,a

(0,1)(0,2)→120,a

(0,0)(1,0)→108,a

(0,1)(1,0)→引き分け

(0,2)(1,0)→2,b

(0,1)(1,1)→111,a

(0,2)(1,1)→3,a

(0,0)(1,2)→3,b

(0,1)(1,2)→2,b

(0,2)(1,2)→4,b

\(G(2)=12895\)

#include<vector>
using namespace std;
int main() {
	vector<int> pa = {0,2};
	vector<int> pb = {1,2};
	bool end=false;
	int step=0;
	for (int a = 0; a < pa.size(); a++) {
		printf("%d", pa[a]);
	}
	printf("\n");
	for (int b = 0; b < pb.size(); b++) {
		printf("%d", pb[b]);
	}
	printf("\n\n");
	while (!(pa.empty()||pb.empty()||end)) {
		int ca = pa[0];
		pa.erase(pa.begin());
		int cb = pb[0];
		pb.erase(pb.begin());
		if (ca == cb) {//あいこ
			pa.push_back(ca);
			pb.push_back(cb);
			pa.push_back((ca + 2) % 3);
			pb.push_back((cb + 2) % 3);
		}else if ((ca==0&&cb==1)||(ca==1&&cb==2)||(ca==2&&cb==0)) {//bの勝ち
			pb.push_back(ca);
		}else {                                                    //aの勝ち
			pa.push_back(cb);
		}
		for (int a = 0; a < pa.size(); a++) {
			printf("%d", pa[a]);
		}
		printf("\n");
		for (int b = 0; b < pb.size(); b++) {
			printf("%d", pb[b]);
		}
		printf("\n");
		step++;
		printf("step=%d\n\n", step);
		if (pa.size() == pb.size()) {                              //引き分け
			end = true;
			for (int c = 0; c < pa.size(); c++) {
				if (pa[c] != pb[c]) {
					end = false;
				}
			}
		}
	}
	while (true);
	return 0;
}

​バリエーション[]

・プレイヤーを増やす

・カードの種類を増やす


ちなみにカードゲームとして面白いかは不明。「勝ったほうが次のターンで先手」「任意のタイミングで相手のカードを見てもよい」みたいなルールを追加したら割と遊べるかもしれない。

Pz関数とPmax関数[]

以下の演算記号と自然数\(a_1,a_2,・・・\)を使って表現できない最小の自然数を\(Pz(a_1,a_2,・・・)\)とする。

  • 四則演算 +-×÷
  • 冪乗 ^
  • 階乗 !
  • 根号 √
  • 総和 Σ (Σn=\(\frac{n(n+1)}{2}\))

例:

\(4-{\sqrt9}=1\)

\({\sqrt9}!-4=2\)

\({\sqrt{\sqrt{\sqrt{9^4}}}}=3\)

\({\sqrt9}!-{\sqrt4}=4\)

\({\sqrt9}+{\sqrt4}=5\)

\({\sqrt4×9}=6\)

\(4+{\sqrt9}=7\)

\({\sqrt4}^{\sqrt9}=8\)

\({\sqrt{\sqrt{9^4}}}=9\)

\(4+{\sqrt9}!=10\)

\({\sqrt4}+9=11\)

\(4×{\sqrt9}=12\)

\(4+9=13\)

\(??=14\)

よって、\(Pz(4,9)≥14\)

\(1=1^{16+81}\) \(2=1^{81}×{\sqrt{\sqrt{16}}}\) \(3=1^{16}×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(4=1^{81}×{\sqrt{16}}\) \(5=1^{81}+{\sqrt{16}}\) \(6=1×{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(7=1+{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(8={\sqrt{81}-1^{16}}\) \(9=1^{16}×{\sqrt{81}}\) \(10=1^16+{\sqrt{81}}\)
\(11={\sqrt{16×{\sqrt{81}}}}-1\) \(12=1×{\sqrt{16×81}}\) \(13=1+{\sqrt{16×81}}\) \(14=16+1-{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(15=16-1^{81}\) \(16=16×1^{81}\) \(17=16+1^{81}\) \(18=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(19=16+1×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(20=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\)
\(21={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(22={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(23={\sqrt{16}}!-1^{81}\) \(24={\sqrt{16}}!×1^{81}\) \(25={\sqrt{16}}!+1^{81}\) \(26={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(27={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(28={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(29={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\) \(30={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\)
\(31={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(32={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}-1\) \(33={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}×1\) \(34={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}+1\) \(35={\sqrt{16×81}}-1\) \(36={\sqrt{16×81}}×1\) \(37={\sqrt{16×81}}+1\) \(38={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}-1\) \(39={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(40={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}-1\)
\(41={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}×1\) \(42={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(43={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(44={\Sigma{\sqrt{81}}}-1^{16}\) \(45={\Sigma{\sqrt{81}}}×1^{16}\) \(46={\Sigma{\sqrt{81}}}+1^{16}\) \(47={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(48={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}-1\) \(49={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}×1\) \(50={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}+1\)
\(51={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(52={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(53={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(54={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-1^{81}\) \(55={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}×1^{81}\) \(56={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+1^{81}\) \(57={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(58={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(59={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(60={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\)
\(61={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\) \(62={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(63={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(64={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(65={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(66=81-16+1\) \(67={\Sigma({\sqrt{\sqrt{16}}}+{\sqrt{81}})}+1\) \(68={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!-1\) \(69={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!×1\) \(70={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!+1\)
\(71={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(72={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(73={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(74=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}-1\) \(75=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}×\) \(76=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}+1\) \(77=81-{\sqrt{16}}-1\) \(78=81-{\sqrt{16}}×1\) \(79=81-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(80=81-1^{16}\)
\(81=81×1^{16}\) \(82=81+1^{16}\) \(83=81+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(84=81+{\sqrt{16}}-1\) \(85=81+{\sqrt{16}}×1\) \(86=81+{\sqrt{16}}+1\) \(87=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(88=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(89={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(90={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\)
\(91={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}+1\) \(92={\Sigma(16-{\sqrt{\sqrt{81}}})}+1\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)

よって、\(Pz(1,16,81)≥93\)

n変数のPz関数の最大値を\(Pmax(n)\)とする。

例:\(Pmax(1)=2 (Pz(1)=2)\)

  \(Pmax(2)≥14 (Pz(4,9)≥14)\)

  \(Pmax(3)≥93 (Pz(1,16,81)≥93)\)

 \(Pmax(m)\)と\(Pmax(n)\)で使う数と\(Pmax(m)\)を使えば\(1~Pmax(m)×Pmax(n)-1\)

 までの数を作れるので、\(Pmax(m+n+1)≥Pmax(m)×Pmax(n)\)が成り立つ。

例:\(m=n=2\)とし、\(Pmax(2)=Pz(4,9)=14\)とする。


14-13×1=1 14-12×1=2 14-11×1=3 14-1×1=13
14×1×1=14 14×1+1=15 14×1+2=16 14×1+13=27
14×2×1=28 14×2+1=29 14×2+2=30 14×2+13=42
14×13×1=182 14×13+1=183 14×13+2=184 14×13+13=195

よって、\(Pmax(5)≥196\)

また、\(Pmax(3n-1)≥14^n\)

\(Pmax(3)=93\)とすると、\(Pmax(4n-1)≥93^n\)

さらに、\(Pmax(n)\)の組を2つずつ使うことにより\({\Sigma}1~({\Sigma}Pmax(n))-1\)までの数を作ることができる。よって\(Pmax(2n)≥{\Sigma}Pmax(n)\)が成り立つ。

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