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編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。

​関数の表記

計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

  • NFO型

  例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

  • FON型

  例:FGH、SGH、ハーディー階層

  • ON型

  例:原始数列システム、バシク行列システム

  • FNO型

  例:ハイパーE表記

​順序数部分の構造

文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

  • 空構造

   "\([]\)"はA型である

  • 代入構造

   数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

  • 係数構造

   A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

  • 結合構造

   A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

  • ネスト構造

   A型文字列はC型文字列でもある

   A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

  • 配列構造

   数はC型である

   C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

   C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ。

  • 有限レベル構造

   ???

  • 拡張レベル構造

   ???

例:ドル関数の角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造

  ヒドラゲームのヒドラ→空構造+結合構造+ネスト構造

  超階乗配列表記→空構造+代入構造+ネスト構造+配列構造

  ドル関数の拡張角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造+拡張レベル構造

  バシク行列システム(数列表記)→結合構造+配列構造

配列システム

[1]

​角括弧演算子

​   概要

    上矢印表記の簡単な拡張

   表記

   ・自然数\(n\)に対して、\([n]\)は演算子である。

   ・演算子\(A,B\)に対して、\(AB\)は演算子である。

    例:\(3[5][2][2][2][1]4\)

   計算法

   ・\(□\):0個以上の演算子

   ・\(■\):1個以上の演算子

   ・\(A,B,C\):自然数

   (1)\(A[1]B=A^B\)

   (2)\(A■[1]B=f^B(A)\) ただし、\(f(C)=A■C\)

   (3)\(A□[C+1]B=A□[C][C]…([C]がB個)…[C]B\)

   評価

    \(n[n]n\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

混合チェーン表記

概要

チェーン表記の簡単な拡張

表記

自然数\(n\)に対して\(→_n\)をチェーン演算子とする。

計算法

・\(\#\):0個以上のチェーンからなる式

・\(a,b,n\):自然数

(1)\(a→_1b=a^b\)

(2)\(\#(a+1)→_1(b+1)=\#(\#a→_1b+1)→_1b\)

(3)\(\#1→_nb=\#\)

(4)\(\#a→_n1=\#a\)

(5)\(\#a→_{n+1}(b+1)=\#a→_na→_{n+1}b\)

 \(3→_33\)

\(=3→_23→_32\)

\(=3→_23→_23→_31\)

\(=3→_23→_23\)

\(=3→_23→_13→_22\)

\(=3→_23→_13→_13→_21\)

\(=3→_23→_13→_13\)

\(=3→_23→_1(3→_23→_12→_13)→_12\)

評価

\(n→_2n\approx f_{\omega^2}(n)\)

\(n→_2n→_12\approx f_{\omega^2+1}(n)\)

\(n→_2n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega}}(n)\)

\(n→_2n→_1n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega×2}}(n)\)

\(n→_2n→_21\approx f_{\omega^2×2}(n)\)

\(n→_3n\approx f_{\omega^3}(n)\)

\(n→_nn\approx f_{\omega^{\omega}}(n)\)

​\({\rho}\)関数

概要

ψ関数を拡張した順序数崩壊関数。

定義は未完成。

\({\rho}_0(0)={\psi}_0(0)\)

\({\rho}_0({\Omega})={\psi}_0({\Omega})\)

\({\rho}_0({\rho}_1(0))={\psi}_0({\psi}_1(0))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)+1))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2+1))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)^{{\rho}_1({\Omega}_2)}))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2^{{\Omega}_2}))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2+1)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2(0)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2+{\rho}_1({\Omega}_2×2)))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3+{\psi}_2({\Omega}_3))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2×2))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\Omega}_3×2)))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×2+{\rho}_1({\Omega}_2×2+1))))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\psi}_3(0))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×3)))={\psi}_0({\psi}_1({\psi}_2({\psi}_3({\Omega}_4))))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×{\omega})))={\psi}_0({\Omega}_{\omega})\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2×{\Omega})))={\psi}_0({\psi}_{\Omega}({\Omega}_{\Omega}))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2^2)))={\psi}_0({\psi}_I(0))\)

\({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2^{{\Omega}_2^{{\Omega}_2^{.^{.^.}}}})))={\rho_0({\rho}_1({\rho}_1({\rho}_2(0))))}\)

\({\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2(…{\rho}_2(0)…)))))={\rho}_2({\rho}_2({\rho}_2({\Omega}_3)))\)

数列システム

​NZ変換

 項を0の列に、セパレータを1に変換。

 計算例

  \((3,3,0,2,1)→(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0)\)

 前例(推測)

 ・巨大数探索スレッド10の>>638

 ・巨大数探索スレッド11.75の>>1

SZ変換

 セパレータを0に変換。

 計算例

  \((1,2,1,4)→(1,0,2,0,1,0,4)\)

 前例

  不明

SZNO変換

 セパレータを0に、項を1の列に変換。

計算例

 \((2,2,1,1,1,0,3)→(1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1)\)

前例

 不明

・たぶん小一次数列にSZNO変換を適用するとベクレミシェフの虫になる。

階差表記

初項と階差を使って数列を書き表す。

\((1,2,3,5,6,8,11)=(1[1,1,2,1,2,4])\)

​ 数列システムを作るのに使う場合、0以下の項を含めないほうが便利である。

\((1,2,4,5,5,7,10)=(1[1,2,1],5[2,3])\)

\((1[1[1[・・・]]])\)の極限は\((1,2,4,8,・・・2^{n-1})\)

小偽原始数列システム

​ 表記

  \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)

​ 計算法

 (1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

 (2) 数列の中で一番小さい項のうち一番右にある項を\(a_m\)とする。

   \(A=(a_1,a_2,・・・a_{m-1})\)

   \(B=(a_m,a_{m+1},・・・a_{k-1})\)

   \((a_1,a_2,a_k)[n]=\{A\frown B\frown B・・・(Bがn個)・・・B\}[n+1]\)

​ 評価

  \((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\omega}(n)\)

​大偽原始数列システム

​ 表記

  \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]\)

​ 計算法

 (1) \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

 (2)\(a_{i-1}≥a_i\)かつ\(a_i<a_k\)を満たす最大の\(i\)を\(j\)とする(iが存在しない場合、j=1とする。)。

  • \(A=(a_1,a_2,・・・a_{j-1})\)
  • \(B_0=(a_j,a_{j+1},・・・a_{k-1})\)
  • \(x=a_k-a_j-1\)
  • \(B_m=B_0+(x×m)\) (\(B_0\)のすべての項に足す)

  \((a_1,a_2,・・・a_k)[n]=\{A\frown B_0\frown B_1\frown・・・B_n\}[n+1]\)

​ 評価

  \((0,1)={\omega}\)

  \((0,1,0,1)={\omega×2}\)

  \((0,1,1)={\omega^2}\)

  \((0,1,1,2)={\omega^{\omega}}\)

  \((0,1,1,2,1)={\omega^{\omega+1}}\)

  \((0,1,1,2,1,2)={\omega^{\omega×2}}\)

  \((0,1,1,2,2)={\omega^{\omega^2}}\)

  \((0,1,1,2,2,3)={\omega^{\omega^{\omega}}}\)

  \((0,1,2)={\epsilon_0}\)

  \((0,1,2,1)={\epsilon_0×{\omega}}\)

  \((0,1,2,1,2,3)={\epsilon_0^2}\)

  \((0,1,2,1,2,3,2)={\epsilon_0^{\omega}}\)

  \((0,1,2,1,2,3,2,3,4)={\epsilon_0^{\epsilon_0}}\)

  \((0,1,2,2)={\epsilon_1}\)

  \((0,1,2,2,3)={\epsilon_{\omega}}\)

  \((0,1,2,2,3,4)={\epsilon_{\epsilon_0}}\)

  \((0,1,2,2,3,4,4,5,6)={\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}}\)

  \((0,1,2,3)={\zeta_0}\)

  \((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},0)}(n)\)

  ※限界は\((0,2,3,4,・・・n)[n]\approx f_{\phi({\omega},1)}(n)\)だと思われる。

大偽ペア数列

\((0,0)(1,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}})\)

\((0,0)(1,1)(0,0)(1,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}})×2\)

\((0,0)(1,1)(1,0)={\psi_0}({\Omega^{\omega}})×{\omega}\)

\((0,0)(1,1)(1,0)(2,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}})^2\)

\((0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}})^{\psi_0({\Omega^{\omega}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)={\psi_0({\Omega^{\omega}+1})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)={\psi_0({\Omega^{\omega}+{\omega}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,0)(3,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\psi_0}({\Omega^{\omega}}))\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega})\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(1,1)(2,0)(2,0)(3,1)(3,1)(4,0)(4,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega}+{\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega}))\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(1,1)(2,0)(2,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega×2})\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(2,0)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega}×{\omega})\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(2,0)(3,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega×{\psi_0({\Omega^{\omega}})}})\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(2,1)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}+{\Omega^2})\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)={\psi_0}({\Omega^{\omega}}×2)\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(2,0)={\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(2,1)={\psi_0({\Omega^{\omega+1}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(2,1)(3,0)={\psi_0({\Omega^{\omega×2}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(3,0)(4,1)={\psi_0({\Omega^{\psi_0({\Omega^{\omega}})}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)(2,1)={\psi_0({\Omega^{\Omega+1}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)(3,0)={\psi_0({\Omega^{\Omega×{\omega}}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)(3,1)={\psi_0({\Omega^{\Omega^2}})}\)

\((0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(3,0)={\psi_0({\psi_1(0)})}\)

カードゲーム

  • プレーヤーは二人、カードは3種類(\(c_1,c_2,c_3\)とする)。
  • カードの強さは\(c_1<c_2<c_3<c_1\)である(推移律は成り立たない)。
  • カードごとに分けられた山札を用意し、プレイヤーは有限枚の手札をもってゲームを始める。
  • 各ターンにおいてプレイヤーは自分の手札から1枚カードを選んで出し強いカードを出したプレイヤーを勝ちとする。
    • 勝ったプレイヤーは自分が出したカードを山札に入れ、相手が出したカードを手札に加える。
    • 勝敗がつかないときは、各プレイヤーは自分が出したカードを手札に戻し、

     そのカードに負けるカードを山札からとって手札に加える。

このゲームをもとに、関数\(G(n)\)を以下のように定義する。

  • 各プレーヤーはカードを1列に並べる。カードを出すときは先頭のカードを出し、加えるときは末尾に加える。
  • 山札の枚数は無限とする。
  • 手札がなくなったら負けとする。
  • 両プレイヤーがn枚のカードをもってゲームを開始して、ゲームが終了したときのターン数の最大値を\(G(n)\)とする。

例(cは省略)

(1,3,1)(2,3,2)[0]→(3,1)(3,2,1)[1]→(1,3,2)(2,1,3,2)[2]→(2,3)(1,3,2,1)[3]→(2)(3,2,1,3)[4]→()(2,1,3,2)[5]

\(G(1)=1\)

\(G(2)≥120\)…(1,2)(1,3)は120ターンで終わるが、(1,3)(1,1)は今のところ終わるかどうかわかっていない(手動で調べたら1000ターン超えた)。

​バリエーション

・プレイヤーを増やす

・カードの種類を増やす


ちなみにカードゲームとして面白いかは不明。「勝ったほうが次のターンで先手」「任意のタイミングで相手のカードを見てもよい」みたいなルールを追加したら割と遊べるかもしれない。


Pz関数とPmax関数

以下の演算記号と自然数\(a_1,a_2,・・・\)を使って表現できない最小の自然数を\(Pz(a_1,a_2,・・・)\)とする。

  • 四則演算 +-×÷
  • 冪乗 ^
  • 階乗 !
  • 根号 √
  • 総和 Σ (Σn=\(\frac{n(n+1)}{2}\))

例:

\(4-{\sqrt9}=1\)

\({\sqrt9}!-4=2\)

\({\sqrt{\sqrt{\sqrt{9^4}}}}=3\)

\({\sqrt9}!-{\sqrt4}=4\)

\({\sqrt9}+{\sqrt4}=5\)

\({\sqrt4×9}=6\)

\(4+{\sqrt9}=7\)

\({\sqrt4}^{\sqrt9}=8\)

\({\sqrt{\sqrt{9^4}}}=9\)

\(4+{\sqrt9}!=10\)

\({\sqrt4}+9=11\)

\(4×{\sqrt9}=12\)

\(4+9=13\)

\(??=14\)

よって、\(Pz(4,9)≥14\)

\(1=1^{16+81}\) \(2=1^{81}×{\sqrt{\sqrt{16}}}\) \(3=1^{16}×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(4=1^{81}×{\sqrt{16}}\) \(5=1^{81}+{\sqrt{16}}\) \(6=1×{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(7=1+{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(8={\sqrt{81}-1^{16}}\) \(9=1^{16}×{\sqrt{81}}\) \(10=1^16+{\sqrt{81}}\)
\(11={\sqrt{16×{\sqrt{81}}}}-1\) \(12=1×{\sqrt{16×81}}\) \(13=1+{\sqrt{16×81}}\) \(14=16+1-{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(15=16-1^{81}\) \(16=16×1^{81}\) \(17=16+1^{81}\) \(18=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(19=16+1×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(20=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\)
\(21={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(22={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(23={\sqrt{16}}!-1^{81}\) \(24={\sqrt{16}}!×1^{81}\) \(25={\sqrt{16}}!+1^{81}\) \(26={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(27={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(28={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(29={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\) \(30={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\)
\(31={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(32={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}-1\) \(33={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}×1\) \(34={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}+1\) \(35={\sqrt{16×81}}-1\) \(36={\sqrt{16×81}}×1\) \(37={\sqrt{16×81}}+1\) \(38={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}-1\) \(39={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(40={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}-1\)
\(41={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}×1\) \(42={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(43={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(44={\Sigma{\sqrt{81}}}-1^{16}\) \(45={\Sigma{\sqrt{81}}}×1^{16}\) \(46={\Sigma{\sqrt{81}}}+1^{16}\) \(47={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(48={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}-1\) \(49={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}×1\) \(50={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}+1\)
\(51={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(52={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(53={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(54={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-1^{81}\) \(55={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}×1^{81}\) \(56={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+1^{81}\) \(57={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(58={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(59={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(60={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\)
\(61={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\) \(62={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(63={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(64={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(65={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(66=81-16+1\) \(67={\Sigma({\sqrt{\sqrt{16}}}+{\sqrt{81}})}+1\) \(68={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!-1\) \(69={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!×1\) \(70={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!+1\)
\(71={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(72={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(73={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(74=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}-1\) \(75=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}×\) \(76=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}+1\) \(77=81-{\sqrt{16}}-1\) \(78=81-{\sqrt{16}}×1\) \(79=81-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(80=81-1^{16}\)
\(81=81×1^{16}\) \(82=81+1^{16}\) \(83=81+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(84=81+{\sqrt{16}}-1\) \(85=81+{\sqrt{16}}×1\) \(86=81+{\sqrt{16}}+1\) \(87=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(88=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(89={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(90={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\)
\(91={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}+1\) \(92={\Sigma(16-{\sqrt{\sqrt{81}}})}+1\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)

よって、\(Pz(1,16,81)≥93\)

n変数のPz関数の最大値を\(Pmax(n)\)とする。

例:\(Pmax(1)=2 (Pz(1)=2)\)

  \(Pmax(2)≥14 (Pz(4,9)≥14)\)

  \(Pmax(3)≥93 (Pz(1,16,81)≥93)\)

 \(Pmax(m)\)と\(Pmax(n)\)で使う数と\(Pmax(m)\)を使えば\(1~Pmax(m)×Pmax(n)-1\)

 までの数を作れるので、\(Pmax(m+n+1)≥Pmax(m)×Pmax(n)\)が成り立つ。

例:\(m=n=2\)とし、\(Pmax(2)=Pz(4,9)=14\)とする。


14-13×1=1 14-12×1=2 14-11×1=3 14-1×1=13
14×1×1=14 14×1+1=15 14×1+2=16 14×1+13=27
14×2×1=28 14×2+1=29 14×2+2=30 14×2+13=42
14×13×1=182 14×13+1=183 14×13+2=184 14×13+13=195

よって、\(Pmax(5)≥196\)

また、\(Pmax(3n-1)≥14^n\)

\(Pmax(3)=93\)とすると、\(Pmax(4n-1)≥93^n\)

さらに、\(Pmax(n)\)の組を2つずつ使うことにより\({\Sigma}1~({\Sigma}Pmax(n))-1\)までの数を作ることができる。よって\(Pmax(2n)≥{\Sigma}Pmax(n)\)が成り立つ。

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