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編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。

​関数の表記

計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

  • NFO型

  例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

  • FON型

  例:FGH、SGH、ハーディー階層

  • ON型

  例:原始数列システム、バシク行列システム

  • FNO型

  例:ハイパーE表記

​構造公理

文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。

  • 空構造(E)

   "\([]\)"はA型である

  • 代入構造(S)

   数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

  • 係数構造(C)

   A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

  • 結合構造(U)

   A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

  • ネスト構造(N)

   A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある

   A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

  • 配列構造(A)

   数はC型である

   C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

   C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ

  • 有限レベル構造(fL)

   数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

  • 拡張レベル構造(eL)

   数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

   A型文字列\(a\)とA型文字列\({\alpha}\)について、"\(a_{\alpha}\)"はA型である

   A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)について、"\(a_b\)"はA型である

例:ドル関数の角括弧表記→E+S+C+U+N

  ヒドラゲームのヒドラ→E+U+N

  超階乗配列表記→E+S+N+A

  ドル関数の拡張角括弧表記→E+S+C+U+N+eL

  バシク行列システム(数列表記)→U+A

配列システム

[1]

​角括弧演算子

​概要

上矢印表記の簡単な拡張

   表記

  • 自然数\(n\)に対して、\([n]\)は演算子である。
  • 演算子\(A,B\)に対して、\(AB\)は演算子である。

例:\(3[5][2][2][2][1]4\)

計算法

  • \(□\):0個以上の演算子
  • \(■\):1個以上の演算子
  • \(A,B,C\):自然数

(1)\(A[1]B=A^B\)

(2)\(A■[1]B=f^B(A)\) ただし、\(f(C)=A■C\)

(3)\(A□[C+1]B=A□[C][C]…([C]がB個)…[C]B\)

評価

\(n[n]n\approx f_{\omega^\omega}(n)\)

混合チェーン表記

概要

チェーン表記の簡単な拡張

表記

自然数\(n\)に対して\(→_n\)をチェーン演算子とする。

※2項演算子ではない

計算法

  • \(\#\):0個以上のチェーンからなる式
  • \(a,b,n\):自然数

(1)\(a→_1b=a^b\)

(2)\(\#(a+1)→_1(b+1)=\#(\#a→_1b+1)→_1b\)

(3)\(\#1→_nb=\#\)

(4)\(\#a→_n1=\#a\)

(5)\(\#a→_{n+1}(b+1)=\#a→_na→_{n+1}b\)

\(3→_33\)

\(=3→_23→_32\)

\(=3→_23→_23→_31\)

\(=3→_23→_23\)

\(=3→_23→_13→_22\)

\(=3→_23→_13→_13→_21\)

\(=3→_23→_13→_13\)

\(=3→_23→_1(3→_23→_12→_13)→_12\)

評価

\(n→_2n\approx f_{\omega^2}(n)\)

\(n→_2n→_12\approx f_{\omega^2+1}(n)\)

\(n→_2n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega}}(n)\)

\(n→_2n→_1n→_1n\approx f_{\omega^2+{\omega×2}}(n)\)

\(n→_2n→_21\approx f_{\omega^2×2}(n)\)

\(n→_3n\approx f_{\omega^3}(n)\)

\(n→_nn\approx f_{\omega^{\omega}}(n)\)

数列システム

​N→Z変換

 項を0の列に、セパレータを1に変換。

計算例

\((3,3,0,2,1)→(0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0)\)

前例(推測)

  • 巨大数探索スレッド10の>>638
  • 巨大数探索スレッド11.75の>>1

小NZ数列(SNZS)

\(L_1+NZ\)

\((1)=[1,0]={\omega}\)
\((1,0)=[1,1]={\omega+1}\)
\((1,0,0)=[1,2]={\omega+2}\)
\((0,1)=[2,0]={\omega×2}\)
\((0,1,0)=[2,1]={\omega×2+1}\)
\((0,0,1)=[3,0]={\omega×3}\)
\((1,0,1)=[1,0,0]={\omega^2}\)
\((1,0,0,1)=[1,1,0]={\omega^2+{\omega}}\)
\((0,1,0,1)=[2,0,0]={\omega^2×2}\)
\((1,0,1,0,1)=[1,0,0,0]={\omega^3}\)
\((1,1)=[1[0]0]={\omega^{\omega}}\)
\((1,1,0)=[1[0]1]={\omega^{\omega}+1}\)
\((1,1,0,1)=[1[0],1,0]={\omega^{\omega}+{\omega}}\)
\((1,1,0,1,0,1)=[1[0]1,0,0]={\omega^{\omega}+{\omega^2}}\)
\((0,1,1)=[2[0]0]={\omega^{\omega}×2}\)
\((1,0,1,1)=[1,0[0]0]={\omega^{\omega+1}}\)
\((1,1,0,1,1)=[1[0]0[0]0]={\omega^{\omega×2}}\)
\((1,1,1)=[1[1]0]={\omega^{\omega^2}}\)
\((2)=[1[1,0]0]={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((2,0,1)=[1[1,0]1,0]={\omega^{\omega^{\omega}}+{\omega}}\)
\((2,0,1,1)=[1[1,0]1[0]0]={\omega^{\omega^{\omega}}+{\omega^{\omega}}}\)
\((0,2)=[2[1,0]0]={\omega^{\omega^{\omega}}×2}\)
\((2,0,2)=[1[1,0]0[1,0]0]={\omega^{\omega^{\omega}×2}}\)
\((2,1)=[1[1,1]0]={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\((1,2)=[1[2,0]0]={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\((2,1,2)=[1[1,0,0]0]={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\((2,2)=[1[1[0]0]0]={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
\((3)={\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}}\)
\((n)={\varepsilon_0}\)

S→Z変換

セパレータを0に変換。

計算例

\((1,2,1,4)→(1,0,2,0,1,0,4)\)

前例

不明

小SZ数列(SSZS)

\(SpS+SZ\)

\((0,1,1)={\omega^{\omega}}\)
\((0,1,1,0,1,1)={\omega^{\omega}×2}\)
\((0,2,1)={\omega^{\omega+1}}\)
\((0,2,2)={\omega^{\omega×2}}\)
\((0,3,2)={\omega^{\omega×2+1}}\)
\((0,3,3)={\omega^{\omega×3}}\)
\((0,1,1,1)={\omega^{\omega^2}}\)
\((0,2,1,1)={\omega^{\omega^2+1}}\)
\((0,2,2,1)={\omega^{\omega^2+{\omega}}}\)
\((0,2,2,2)={\omega^{\omega^2×2}}\)
\((0,1,1,1,1)={\omega^{\omega^3}}\)
\((0,1,2)={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((0,2,3)={\omega^{\omega^{\omega}+1}}\)
\((0,1,2,1)={\omega^{\omega^{\omega}+{\omega}}}\)
\((0,1,2,1,2)={\omega^{\omega^{\omega}×2}}\)
\((0,1,3)={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\((0,1,2,2)={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\((0,2,3,3)={\omega^{\omega^{\omega×2}+1}}\)
\((0,1,2,2,1)={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\((0,1,3,2)={\omega^{\omega^{\omega×2+1}}}\)
\((0,1,3,3)={\omega^{\omega^{\omega×3}}}\)
\((0,1,2,2,2)={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\((0,1,2,3)={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
\((0,1,2,...n)={\varepsilon_0}\)

S→Z/N→O変換

セパレータを0に、項を1の列に変換。

計算例

\((2,2,1,1,1,0,3)→(1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1)\)

前例

不明

  • \(SpS+SZNO→pS or BW?\)

大SZNO数列(LSZNOS)

\(BW+SZNO(=SpS+SZNO×2?)\)

サブルール

rule1: \(S_1≥S_2⇒S_2<S_1\frown S_2\)

rule2: \(S_1>S_2⇒S_3\frown S_1\frown S_4<S_3\frown S_2\frown S_4\)

rule3:\(max(S_1)>max(S_2)⇒S_1>S_2\)

計算法

rule1: \((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

rule2:

(1) \(a_k\)より小さい項のうち最も左側にあるものを\(a_i\)とする。

(2) \(a_i\)より小さい項のうち最も左側にあるものを\(a_j\)とする(存在しない場合j+1=0とする)。

(3) \(a_{j+1}\)から\(a_{k-1}\)までを\(a_i\)と等しい項から始まる部分列\(S_0,S_1,...S_l\)に区切る。

(4) \(S_l\)より小さい部分列のうち最も左側にあるものを\(S_m\)とし(存在しない場合m=0とする)、

\((a_0,a_1,...a_j)\frown S_0\frown S_1\frown ...S_m=A\)、\(S_{m+1}\frown S_{m+2}\frown ...S_l=B\)とする。

(5) \((\#)[n]=A\frown \underbrace{B\frown B\frown ...B}_n[n]\)

評価

\((0,1)={\omega}={\beta_0(1)}\)
\((0,1,0,0,1)={\omega×2}={\beta_0(1,0,1)}\)
\((0,1,0,1)={\omega^2}={\beta_0(1,1)}\)
\((0,1,1)={\omega^{\omega}}={\beta_0(2)}\)
\((0,1,1,0,1,0,1,1)={\omega^{\omega×2}}={\beta_0(2,1,2)}\)
\((0,1,1,0,1,1)={\omega^{\omega^2}}={\beta_0(2,2)}\)
\((0,1,2)={\varepsilon_0}={\beta_0({\omega})}={\beta_0({\beta_0(1)})}\)
\((0,1,2,1)={\psi_0({\omega})}={\beta_0({\beta_0(1,0)})}\)
\((0,1,2,1,2)={\psi_0({\Omega})}={\beta_0({\beta_0(1,1)})}\)
\((0,1,2,2)={\psi_0({\Omega^{\omega}})}={\beta_0({\beta_0(2)})}\)
\((0,1,2,3)={\psi_0({\Omega^{\psi_0(0)}})}={\beta_0({\beta_0({\beta_0(1)})})}\)
\((0,1,2,3,...n)={\psi_0({\Omega^{\Omega}})}={\beta_0({\Omega})}\)

ペア大SZNO数列(PLSZNOS)

\((0,0)(1,1)={\beta_0({\Omega})}\)
\((0,0)(1,1)(0,0)(0,0)(1,1)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega})})})}\)
\((0,0)(1,1)(0,0)(1,0)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega})})},1)}\)
\((0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,1)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega})})},{\beta_0({\beta_0({\Omega})})})}\)
\((0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,1)(1,0)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega})},0)})}\)
\((0,0)(1,1)(0,0)(1,1)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega})},{\beta_0({\Omega})})})}\)
\((0,0)(1,1)(1,0)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\beta_0({\Omega,0})})})}\)
\((0,0)(1,1)(1,0)(2,1)={\beta_0({\Omega},0,{\beta_0({\Omega})})}\)
\((0,0)(1,1)(1,1)={\beta_0({\Omega},0,{\Omega})}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)={\beta_0({\Omega},1)}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(1,1)={\beta_0({\Omega},1,0,{\Omega})}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)(2,0)={\beta_0({\Omega},1,0,{\Omega},1)}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)={\beta_0({\Omega},1,1)}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(2,0)={\beta_0({\Omega},1,2)}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(3,0)={\beta_0({\Omega},1,{\omega})}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(3,1)={\beta_0({\Omega},1,{\beta_0({\beta_0({\Omega})})})}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)={\beta_0({\Omega},1,{\beta_0({\Omega})})}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,1)={\beta_0({\Omega},1,{\Omega})}\)

階差表記

初項と階差を使って数列を書き表す。

\((1,2,3,5,6,8,11)=(1[1,1,2,1,2,4])\)

​ 数列システムを作るのに使う場合、0以下の項を含めないほうが便利である。

\((1,2,4,5,5,7,10)=(1[1,2,1],5[2,3])\)

\((1[1[1[・・・]]])\)の極限は\((1,2,4,8,・・・2^n)\)

多重階差数列

\((1,2)=(1[1])={\omega}\)
\((1,2,1,2)=(1[1],1[1])={\omega×2}\)
\((1,2,3)=(1,[1,1])={\omega^2}\)
\((1,2,4)=(1[1,2])=(1[1[1]])={\omega^{\omega}}\)
\((1,2,4,5)=(1[1[1],1])={\omega^{\omega+1}}\)
\((1,2,4,5,7)=(1[1[1],1[1]])={\omega^{\omega×2}}\)
\((1,2,4,7)=(1[1[1,1]])={\omega^{\omega^2}}\)
\((1,2,4,7,11)=(1[1[1,1,1]])={\omega^{\omega^3}}\)
\((1,2,4,8)=(1[1[1[1]]])={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((1,2,4,...2^n)={\varepsilon_0}\)

極限

\(Max(A)\)を\(A\)の最大の要素とし、\(Row(A)\)を\(A\)の行数とする。

  • 数極限

システム\(X\)の標準形の列\(A\)と\(B\)について\(Max(A)>Max(B)⇒A>B\)が成り立つとき、

\(X\)は数極限である。

  • 行極限

システム\(X\)の標準形の行列\(A\)と\(B\)について\(Row(A)>Row(B)⇒A>B\)が成り立つとき、

\(X\)は行極限である。

数極限のシステム:ベクレミシェフの虫、原始数列

数極限でないシステム:大1次数列、バシク行列

行極限のシステム:バシク行列

RN変換

行極限の行列から数極限の行列への変換

\((a_1,a_2,...a_k)→(1,...(a_1個)...1)+(1,...(a_2個)...1)+...(1,...(a_k個)...1)\)

\((0)(1)(2)(3)→\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&1&1&1\end{pmatrix}→\begin{pmatrix}0&2&2&2\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{pmatrix}→\begin{pmatrix}0&2&2&2\\0&0&2&2\\0&0&0&2\end{pmatrix}\)

\(RN^{-1}=RN?\)

小偽原始数列システム(SPpS)

​表記

\((a_0,a_1,・・・a_k)[n]\)

​計算法

\(a_i≤a_{i-1}\)が成り立つ\(a_i\)の内最も右側にあるものを\(a_m\)とする。

(\(a_i\)が存在しない場合は\(a_m=a_0\)とする)

\(A=(a_0,a_1,・・・a_{m-1})\)

\(B=(a_m,a_{m+1},・・・a_{k-1})\)

\((a_0,a_1,...a_k)[n]=\{A\frown \underbrace{B\frown B\frown ...B}_n\}[n+1]\)

​評価

\((0,1,2,・・・n)[n]\approx f_{\omega}(n)\)

小偽行列システム(SPM)

表記

\(S_m=(a_{(0,m)},a_{(1,m)},...a_{(l,m)})\)

\(S_0S_1...S_k[n]\)

サブルール

\(S_1=(a_{(0,1)},a_{(1,1)},...a_{(l,1)})\)、\(S_2=(a_{(0,2)},a_{(1,2)},...a_{(l,2)})\)に対して、

\(¬(S_1<S_2)⇒∃p[(a_{(p,1)}≠0)∧(a_{(p,1)}≥a_{(p,2)})]\)とする。

計算法

rule1:\(S_0S_1...S_{k-1}(0,0,...0)[n]=S_0S_1...S_{k-1}[n+1]\)

rule2:\(¬(S_{i-1}<S_i)\)が成り立つ\(S_i\)の内もっとも右側にあるものを\(S_m\)とする。

\({\Delta}=(d_0,d_1,...d_l)\)

\(d_j=\begin{cases}0&\text{if}(j=l)∨(a_{(j+1,k)}=0)\\a_{(j,k)}-a_{j,i}&\text{otherwise}\end{cases}\)

\(A=S_0S_1...S_{i-1}\)

\(B_p=(S_iS_{i+1}...S_{k-1})+{\Delta}\)

\(S_0S_1...S_k[n]=A\frown B_0\frown B_1\frown ...B_n[n]\)

評価

\((0,0)(1,1)={\omega^{\omega}}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)={\omega^{\omega+1}}\)
\((0,0)(1,1)(2,0)(3,1)={\omega^{\omega×2}}\)
\((0,0)(1,1)(2,2)={\omega^{\omega^2}}\)
\((0,0)(1,1)(2,2)(3,0)={\omega^{\omega^2+1}}\)
\((0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,1)={\omega^{\omega^2+{\omega}}}\)
\((0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,1)(5,2)={\omega^{\omega^2×2}}\)
\((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)={\omega^{\omega^3}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)={\omega^{\omega^{\omega}+1}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)(3,1,1)={\omega^{\omega^{\omega}×2}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)={\omega^{\omega^{\omega+1}}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)(3,3,1)={\omega^{\omega^{\omega×2}}}\)
\((0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)={\omega^{\omega^{\omega^2}}}\)
\((0,0,0,0)(1,1,1,1)={\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\)
\((0,0,...0)(1,1,...1)={\varepsilon_0}\)

​大偽原始数列システム(LPpS)

​表記

\((a_0,a_1,・・・a_k)[n]\)

​計算法

(1)\((\#,0)[n]=(\#)[n+1]\)

(2)\(a_{i-1}≥a_i\)かつ\(i<k\)かつ(a_i<a_k)を満たす最大の\(i\)を\(j\)とする(iが存在しない場合、j=0とする)。

  • \(A=(a_0,a_1,・・・a_{j-1})\)
  • \(B_0=(a_j,a_{j+1},・・・a_{k-1})\)
  • \(x=a_k-a_j-1\)
  • \(B_m=B_0+(x×m)\) (\(B_0\)のすべての項に足す)

\((a_0,a_1,・・・a_k)[n]=\{A\frown B_0\frown B_1\frown...B_n\}[n+1]\)

​評価

\((0,1)=(0[1])={\omega}\)
\((0,1,0,1)=(0[1],0[1])={\omega×2}\)
\((0,1,1)=(0[1],1)={\omega^2}\)
\((0,1,1,2)=(1[1],1[1])={\omega^{\omega}}\)
\((0,1,1,2,1)=(0[1],1[1],1)-{\omega^{\omega+1}}\)
\((0,1,1,2,1,2)=(0[1],1[1],1[1])={\omega^{\omega×2}}\)
\((0,1,1,2,2)=(0[1],1[1],2)={\omega^{\omega^2}}\)
\((0,1,1,2,2,3)=(0[1],1[1],2[1])={\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\((0,1,2)=(0[1,1])={\varepsilon_0}\)
\((0,1,2,1)=(0[1,1],1)={\varepsilon_0×{\omega}}\)
\((0,1,2,1,2,3)=(0[1,1],1[1,1])={\varepsilon_0^2}\)
\((0,1,2,1,2,3,2)=(0[1,1],1[1,1],2)={\varepsilon_0^{\omega}}\)
\((0,1,2,1,2,3,2,3,4)=(0[1,1],1[1,1],2[1,1])={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)
\((0,1,2,2)=(0[1,1],2)={\varepsilon_1}\)
\((0,1,2,2,3)=(0[1,1],2[1])={\psi({\omega})}\)
\((0,1,2,2,3,4)=(0[1,1],2[1,1])={\psi({\psi(0)})}\)
\((0,1,2,2,3,4,4,5,6)=(0[1,1],2[1,1],4[1,1])={\psi({\psi({\psi(0)})})}\)
\((0,1,2,3)=(0[1,1,1])={\psi({\Omega})}\)
\((0,1,2,・・・n)=(0[1,1,...1])={\psi({\Omega^{\omega}})}\)

※限界は\((0,2,3,4,・・・n)=(0[2,1,1,...1])={\psi({\Omega^{\omega}×2})}\)だと思われる。

ペア大偽数列(PLPS)

  • \((0,0)(1,1)=(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)...\)
  • \((0,0)(1,1)(1,1)=(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)...\)
  • \((0,0)(1,1)(1,1)(2,1)=(0,0)(1,1)(1,1)(2,0)(3,1)(3,1)(4,0)(5,1)(5,1)...\)
  • \((0,0)(1,1)(1,1)(2,2)=(0,0)(1,1)(1,1)(2,1)(3,2)(3,2)(4,1)(5,2)(5,2)...\)
  • \((0,0)(1,1)(2,2)=(0,0)(1,1)(1,1)(2,2)(2,2)(3,3)...\)

カードゲーム

  • プレーヤーは二人、カードは3種類(\(c_1,c_2,c_3\)とする)。
  • カードの強さは\(c_1<c_2<c_3<c_1\)である(推移律は成り立たない)。
  • カードごとに分けられた山札を用意し、プレイヤーは有限枚の手札をもってゲームを始める。
  • 各ターンにおいてプレイヤーは自分の手札から1枚カードを選んで出し強いカードを出したプレイヤーを勝ちとする。
    • 勝ったプレイヤーは自分が出したカードを山札に入れ、相手が出したカードを手札に加える。
    • 勝敗がつかないときは、各プレイヤーは自分が出したカードを手札に戻し、

     そのカードに負けるカードを山札からとって手札に加える。

このゲームをもとに、関数\(G(n)\)を以下のように定義する。

  • 各プレーヤーはカードを1列に並べる。カードを出すときは先頭のカードを出し、加えるときは末尾に加える。
  • 山札の枚数は無限とする。
  • 手札がなくなったら負けとする。
  • 両プレイヤーがn枚のカードをもってゲームを開始して、ゲームが終了したときのターン数の最大値を\(G(n)\)とする。

例(cは省略)

(1,3,1)(2,3,2)[0]→(3,1)(3,2,1)[1]→(1,3,2)(2,1,3,2)[2]→(2,3)(1,3,2,1)[3]→(2)(3,2,1,3)[4]→()(2,1,3,2)[5]

\(G(1)=1\)

\(G(2)≥120\)…(1,2)(1,3)は120ターンで終わるが、(1,3)(1,1)は今のところ終わるかどうかわかっていない(手動で調べたら1000ターン超えた)。

​バリエーション

・プレイヤーを増やす

・カードの種類を増やす


ちなみにカードゲームとして面白いかは不明。「勝ったほうが次のターンで先手」「任意のタイミングで相手のカードを見てもよい」みたいなルールを追加したら割と遊べるかもしれない。

Pz関数とPmax関数

以下の演算記号と自然数\(a_1,a_2,・・・\)を使って表現できない最小の自然数を\(Pz(a_1,a_2,・・・)\)とする。

  • 四則演算 +-×÷
  • 冪乗 ^
  • 階乗 !
  • 根号 √
  • 総和 Σ (Σn=\(\frac{n(n+1)}{2}\))

例:

\(4-{\sqrt9}=1\)

\({\sqrt9}!-4=2\)

\({\sqrt{\sqrt{\sqrt{9^4}}}}=3\)

\({\sqrt9}!-{\sqrt4}=4\)

\({\sqrt9}+{\sqrt4}=5\)

\({\sqrt4×9}=6\)

\(4+{\sqrt9}=7\)

\({\sqrt4}^{\sqrt9}=8\)

\({\sqrt{\sqrt{9^4}}}=9\)

\(4+{\sqrt9}!=10\)

\({\sqrt4}+9=11\)

\(4×{\sqrt9}=12\)

\(4+9=13\)

\(??=14\)

よって、\(Pz(4,9)≥14\)

\(1=1^{16+81}\) \(2=1^{81}×{\sqrt{\sqrt{16}}}\) \(3=1^{16}×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(4=1^{81}×{\sqrt{16}}\) \(5=1^{81}+{\sqrt{16}}\) \(6=1×{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(7=1+{\sqrt{\sqrt{16×81}}}\) \(8={\sqrt{81}-1^{16}}\) \(9=1^{16}×{\sqrt{81}}\) \(10=1^16+{\sqrt{81}}\)
\(11={\sqrt{16×{\sqrt{81}}}}-1\) \(12=1×{\sqrt{16×81}}\) \(13=1+{\sqrt{16×81}}\) \(14=16+1-{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(15=16-1^{81}\) \(16=16×1^{81}\) \(17=16+1^{81}\) \(18=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(19=16+1×{\sqrt{\sqrt{81}}}\) \(20=16+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\)
\(21={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(22={\sqrt{16}}!-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(23={\sqrt{16}}!-1^{81}\) \(24={\sqrt{16}}!×1^{81}\) \(25={\sqrt{16}}!+1^{81}\) \(26={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(27={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(28={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(29={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\) \(30={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\)
\(31={\sqrt{16}}!+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(32={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}-1\) \(33={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}×1\) \(34={\sqrt{16}}!+{\sqrt{81}}+1\) \(35={\sqrt{16×81}}-1\) \(36={\sqrt{16×81}}×1\) \(37={\sqrt{16×81}}+1\) \(38={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}-1\) \(39={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(40={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}-1\)
\(41={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{16}}×1\) \(42={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(43={\Sigma{\sqrt{81}}}-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(44={\Sigma{\sqrt{81}}}-1^{16}\) \(45={\Sigma{\sqrt{81}}}×1^{16}\) \(46={\Sigma{\sqrt{81}}}+1^{16}\) \(47={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(48={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}-1\) \(49={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}×1\) \(50={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}+1\)
\(51={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(52={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(53={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(54={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}-1^{81}\) \(55={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}×1^{81}\) \(56={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+1^{81}\) \(57={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(58={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(59={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(60={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!-1\)
\(61={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!×1\) \(62={\Sigma{\Sigma{\sqrt{16}}}}+{\sqrt{\sqrt{81}}}!+1\) \(63={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(64={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(65={\sqrt{16}}^{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(66=81-16+1\) \(67={\Sigma({\sqrt{\sqrt{16}}}+{\sqrt{81}})}+1\) \(68={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!-1\) \(69={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!×1\) \(70={\Sigma{\sqrt{81}}}+{\sqrt{16}}!+1\)
\(71={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}-1\) \(72={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}×1\) \(73={\sqrt{16}}!×{\sqrt{\sqrt{81}}}+1\) \(74=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}-1\) \(75=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}×\) \(76=81-{\Sigma{\Sigma{{\sqrt{\sqrt{16}}}}}}+1\) \(77=81-{\sqrt{16}}-1\) \(78=81-{\sqrt{16}}×1\) \(79=81-{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(80=81-1^{16}\)
\(81=81×1^{16}\) \(82=81+1^{16}\) \(83=81+{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\) \(84=81+{\sqrt{16}}-1\) \(85=81+{\sqrt{16}}×1\) \(86=81+{\sqrt{16}}+1\) \(87=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}×1\) \(88=81+{\Sigma{\Sigma{\sqrt{\sqrt{16}}}}}+1\) \(89={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}-1\) \(90={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}×1\)
\(91={\Sigma{\sqrt{81}}}×{\sqrt{\sqrt{16}}}+1\) \(92={\Sigma(16-{\sqrt{\sqrt{81}}})}+1\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)

よって、\(Pz(1,16,81)≥93\)

n変数のPz関数の最大値を\(Pmax(n)\)とする。

例:\(Pmax(1)=2 (Pz(1)=2)\)

  \(Pmax(2)≥14 (Pz(4,9)≥14)\)

  \(Pmax(3)≥93 (Pz(1,16,81)≥93)\)

 \(Pmax(m)\)と\(Pmax(n)\)で使う数と\(Pmax(m)\)を使えば\(1~Pmax(m)×Pmax(n)-1\)

 までの数を作れるので、\(Pmax(m+n+1)≥Pmax(m)×Pmax(n)\)が成り立つ。

例:\(m=n=2\)とし、\(Pmax(2)=Pz(4,9)=14\)とする。


14-13×1=1 14-12×1=2 14-11×1=3 14-1×1=13
14×1×1=14 14×1+1=15 14×1+2=16 14×1+13=27
14×2×1=28 14×2+1=29 14×2+2=30 14×2+13=42
14×13×1=182 14×13+1=183 14×13+2=184 14×13+13=195

よって、\(Pmax(5)≥196\)

また、\(Pmax(3n-1)≥14^n\)

\(Pmax(3)=93\)とすると、\(Pmax(4n-1)≥93^n\)

さらに、\(Pmax(n)\)の組を2つずつ使うことにより\({\Sigma}1~({\Sigma}Pmax(n))-1\)までの数を作ることができる。よって\(Pmax(2n)≥{\Sigma}Pmax(n)\)が成り立つ。