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Hassium108

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  • Hassium108

    FGHと超限順序数

    2017年6月13日 by Hassium108

    「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。


    \(f_0({\beta})={\beta+1}\)

    \(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)

    \(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)

    \(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)


    \(f_0({\omega})={\omega+1}\)

    \(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)

    \(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)

    \(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)

    \(f_2({\omega})={\omega^2}\)

    \(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)

    \(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)

    \(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega ……



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  • Hassium108

    brainfωck

    2017年6月3日 by Hassium108

    「brainfuckでn文字のコードでメモリ上に残すことができる最大の自然数」を\(BF(n)\)とする(メモリの個数も大きさも無限大とする)。brainfuckはチューリング完全(いかなる計算可能関数も表現できる)なので、\(BF(n)\)は計算不可能関数であり、\(f_(n)\)程度の強さである。


    n BF(n)の下限 コード
    1 1 +
    2 2 ++
    3 3 +++
    4 4 ++++
    5 5 +++++
    6 6 ++++++
    7 7 +++++++
    8 8 ++++++++
    9 9 +++++++++
    10 10 ++++++++++
    11 11 +++++++++++
    12 12 ++++++++++++
    13 16 ++++[->++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>+>+[-]+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+>+[-]>>]
    28 9331 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    29 19608 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    30 55987 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    31 137257 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    32 335923 +>+>+>+>+>+>+>+[-]>>]


    44 113037178808 ++++++++++++++[[>]+[-]>>[+++++++>]


    47 \(2^{127}-1\) +++[->+>>+[[->+-]
    ……























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  • Hassium108

    物置

    2017年5月15日 by Hassium108

    編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。


    計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

    そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

    • NFO型

      例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

    • FON型

      例:FGH、SGH、ハーディー階層

    • ON型

      例:原始数列システム、バシク行列システム

    • FNO型

      例:ハイパーE表記


    括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

    • 空構造

       []は項であり要素でもある。

    • 代入構造

       数nに対し、[n]は項であり要素でもある。

    • 係数構造

       項Aと数nに対しAnは要素である。

    • 結合構造

       項Aと要素Bに対しABは要素である。

    • ネスト構造

       要素Aについて[A]は項であり要素でもある。    

       配列は要素である。

    • 配列構造

       ???

    • レベル構造

       ???

    例:ドル関数の角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造

      ヒドラゲームのヒドラ→空構造+結合構造+ネスト構造

      超階乗配列表記→空構造+代入構造+ネスト構造+配列構造

      ドル関数の拡張角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造+レベル構造

      バシク行列システム(数列表記)→結合構造+配列構造



       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L"\))

      ・配列構造

       例:\(3L[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL[\#,a]=(n+a)L[\#,0]\)

       (2) \(nL[Z]=n\)

       (3) \(nL[\#,a+1,0,Z]=nL[\#,a,n,Z]\)


        ……








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