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Hassium108

アドミン
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  • Hassium108

    fghの剰余

    2017年10月26日 by Hassium108

    twitterで出した問題[1]について調べてみると結構面白かったので、計算結果を残す。

    ※\(n\)が小さいとき例外的に成り立たないことがあるかもしれないが、とりあえず無視する。

    \(f_{\omega}(20n+)≡ (mod 10)\)





    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡1 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡1 (mod 3)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡3 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+14)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+15)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+16)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+17)≡4 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+18)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+19)≡2 (mod 5)\)




    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡4 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡4 (mod 6)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡8 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡6 (mod 1 ……































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  • Hassium108

    配列システム

    2017年9月21日 by Hassium108

    第k配列システムに対して\(A_k(n)=nL_k[1,0,0,…(0がn個)…,0]\)とし、第k配列数を\(A^{10}_k(10)\)とする。


       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L_1"\))

      ・配列構造

       例:\(3L_1[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL_1[\#,a]=(n+a)L_1[\#,0]\)

       (2) \(nL_1[Z]=n\)

       (3) \(nL_1[\#,a+1,0,Z]=nL_1[\#,a,n,Z]\)


       \(nL_1[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)

       \(A^{10}_1(10)\approx f_{\omega+1}(10)\)


        結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。


       ・NFO型(F=\("L_2"\))

       ・配列構造+結合構造

        例:\(2L_2[1,0,5][2,1][1,4][3]\)


       ・\(Z\):0個以上の0

       ・\(\#\):0個以上の非負整数

       ・\(□\):1個以上の配列

       ・\(n\):変数

       ・右端の配列から計算を行う。

        (1) \(nL_2□[Z]=(n+1)L_2□\)

        (2) \(nL_[Z]=n+1\)

        (3) \([\#,a+1]=[\#,a][#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

        (4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)


        第1配列システム\(\approx nL_2[1,0]\)

        \(nL_2[1,0,…0]\approx f_{\o ……










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  • Hassium108

    順序数列ゲーム

    2017年7月14日 by Hassium108
    • プレイヤーは前のプレイヤーが言った順序数より小さい順序数を言う
    • 0を言ったら終了

    というルールのゲームは、必ず有限回で終了し、各ターンにてプレイヤーが言える順序数にをうまく制限すればターン数の上限が生まれる。


    プレイヤーは下の3つの関数を組み合わせて表せる順序数を言うことができる。

    ただし、kターン目で使用可能な関数の個数は合計k+n個までで、変数は1~k+nまでの自然数と\({\omega}\)である。

    \(A({\alpha},{\beta})={\alpha+{\beta}}\)

    \(B({\alpha},{\beta})={\alpha×{\beta}}\)

    \(C({\alpha},{\beta})={\alpha^{\beta}}\)

    例(n=1)

    \(C({\omega},C({\omega},{\omega}))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)・・・1ターン目なので、1+1個の関数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},C(3,3)))={\omega^{\omega^{27}}}\)・・・2ターン目なので、2+1個の関数と2+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},B(4,B(3,2))))={\omega^{\omega^{24}}}\)・・・3ターン目なので、3+1個の関数と3+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},B(C({\omega},A(B(5,4),3),5)))={\omega^{\omega^{23}×5}}\)・・・4ターン目なので、4+1個の関数と4+1以下の自然数を使える

    nに対するターン数の上限を\(g(n)\)とすると\(g(n)\approx f_{\ep ……


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  • Hassium108

    FGHと超限順序数

    2017年6月13日 by Hassium108

    「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。


    \(f_0({\beta})={\beta+1}\)

    \(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)

    \(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)

    \(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)


    \(f_0({\omega})={\omega+1}\)

    \(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)

    \(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)

    \(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)

    \(f_2({\omega})={\omega^2}\)

    \(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)

    \(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)

    \(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega ……



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  • Hassium108

    brainfωck

    2017年6月3日 by Hassium108

    「brainfuckでn文字のコードでメモリ上に残すことができる最大の自然数」を\(BF(n)\)とする(メモリの個数も大きさも無限大とする)。brainfuckはチューリング完全(いかなる計算可能関数も表現できる)なので、\(BF(n)\)は計算不可能関数であり、\(f_(n)\)程度の強さである。


    n BF(n)の下限 コード
    1 1 +
    2 2 ++
    3 3 +++
    4 4 ++++
    5 5 +++++
    6 6 ++++++
    7 7 +++++++
    8 8 ++++++++
    9 9 +++++++++
    10 10 ++++++++++
    11 11 +++++++++++
    12 12 ++++++++++++
    13 16 ++++[->++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>+>+[-]+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+>+[-]>>]
    28 9331 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    29 19608 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    30 55987 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    31 137257 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    32 335923 +>+>+>+>+>+>+>+[-]>>]


    44 113037178808 ++++++++++++++[[>]+[-]>>[+++++++>]


    47 \(2^{127}-1\) +++[->+>>+[[->+-]
    ……























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