Fandom

巨大数研究 Wiki

コメント0

一般のテトレーションの連続関数化

近似式案

工学系の人間としては複雑な正解より簡単な近似式がほしいのです。

  • 面倒なパラメータはなるべく少なく
  • 区間境界で微係数が一致するだけではなくなるべく広範囲にわたってゆるやかに近似できる関数がよい
  • つまり気持ちは全域正解を目指す
  • 一定の距離の関係(例えば\(f(x+1)=f(x)+1\))だけが与えられたら、いくらでもバリエーションができてしまう(例えば\(f(x)=x\)に対して\(g(x)=x+\sin(2 \pi x)\))
  • であるから必要な関数だけを自然な形で含んでいる近似式が正解に近いはず(願望)

境界条件は

\(f(-1)=0, f(0)=1, \tfrac{df}{dx}(0)=\tfrac{df}{dx}(-1)\log(a)\)

ここでaは底である。 

系A(一次微係数のつじつまをexpの当てはめで、p(a)部分は恣意的)

\[p(a,x)=(x+1)(x+0.5)x\log(a)^{0.62}/5\]

\[ q(a,x)= \begin{cases} x+1+p(a,x) & \text{if}\ a=e, \\ \frac{\exp((x+1+p(a,x)) \log(\log(a)))-1}{\log(a)-1} & \text{otherwise}. \end{cases} \]

\[ ^xa \approx \text{teta}(a,x)= \begin{cases} \log(\text{teta}(a,x+1))/\log(a) & \text{if}\ x \le -1, \\ q(a,x) & \text{if}\ -1 < x \le 0, \\ \exp(\text{teta}(a,x-1) \log(a)) & \text{otherwise}. \end{cases} \]

適用範囲は\(e^{0.01} < a \le e^1\)程度とする。

系B(p(x)にlogを導入しかつ某所のグラフ に近い形に、p(a)部分は恣意的

\[p(a,x)=0.5(log(x+2)x^2+(x+1)^2x)\log(a)^{0.7}/5\]

\[ q(a,x)= \begin{cases} x+1+p(a,x) & \text{if}\ a=e, \\ \frac{\exp((x+1+p(a,x)) \log(\log(a)))-1}{\log(a)-1} & \text{otherwise}. \end{cases} \]

\[ ^xa \approx \text{tetb}(a,x)= \begin{cases} \log(\text{tetb}(a,x+1))/\log(a) & \text{if}\ x \le -1, \\ q(a,x) & \text{if}\ -1 < x \le 0, \\ \exp(\text{tetb}(a,x-1) \log(a)) & \text{otherwise}. \end{cases} \]

Tetb.png

テトレーション連続関数私案(系B)

Tetb selferror.png

適用範囲は\(e^{0.01} < a \le e^1\)程度とする。系Aに比べるとつなぎ目での三次の不整合がだいぶ抑えられる。

どちらもaが大きいと形が不自然になる。q(a,x)の見直しor使い分けが必要。



片超対数プロット

tetb(e,x)をとりあえずの基準にして、他の底でのtetbの結果をtetb^-1(e,x)で見やすくしてみました。

Tetb 2-5.png

片超対数プロット 底が2~5

底を振っても縦軸3のあたりでだいたい平行になります。

大きい数を指数の肩に乗せる場合に底の違いはほとんど意味を持たない、というのがテトレーション連続関数でも主張できるのであれば、底の違いにかかわらずみんな傾き1の直線に漸近するのが正しいテトレーション連続関数(族)の条件であるということに。 

Tetb 2-4 error.png


拡大してみると不自然な曲がりがあります。もっと先が見たいのですが、縦軸が3.6くらいで倍精度の限界に来てしまいます。計算方法の見直し予定。  


Tetb 5-1e24.png

片超対数プロット 底が5~1e24


底がもっと大きい場合。1e24とはとんでもない大きさのようですが、exp(100)よりは小さいので考慮できるならしたいところ。

広告ブロッカーが検出されました。


広告収入で運営されている無料サイトWikiaでは、このたび広告ブロッカーをご利用の方向けの変更が加わりました。

広告ブロッカーが改変されている場合、Wikiaにアクセスしていただくことができなくなっています。カスタム広告ブロッカーを解除してご利用ください。

Fandomでも見てみる

おまかせWikia