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    • \( \text{base} \approx \exp(1/e) \)で通過するのに時間がかかるあたりで速度むらがないこと、という要請を立てて、base=1.5, 1.45, 1.445の3パターンでテトレーションの補間式を作った
    • \( {}^xa \gg a \)の場合に\( {}^{x+1}a = a^{{}^xa} \approx b^{{}^xa} \)である(≫や≈の意味とか後述)、という件を発展させて、\( {}^xa \approx {}^yb \)なら\( {}^{x+c}a \approx {}^{y+c}b \)という要請を立てて、底を振れるようにした
    • \( \text{base} = e \)で某所 と答え合わせをしたら…

    普通の(高さが整数の)テトレーションにより、つなげたい点をいくつかピックアップできる。さて、これをいきなり多項式補間しても振動が激しくなり気持ち悪い。問題の性質からy=a^xの曲線とy=xの間のギャップに比例して値の移動速度が決まるとして\( y=x={}^ta \)と書いて、一番近くなった点を中心に二次まで考慮する(中略)とそこを中心としてtanで近似するのが良さそう。(中略)

    以下gnuplot表記

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    近似式案

    工学系の人間としては複雑な正解より簡単な近似式がほしいのです。

    • 面倒なパラメータはなるべく少なく
    • 区間境界で微係数が一致するだけではなくなるべく広範囲にわたってゆるやかに近似できる関数がよい
    • つまり気持ちは全域正解を目指す
    • 一定の距離の関係(例えば\(f(x+1)=f(x)+1\))だけが与えられたら、いくらでもバリエーションができてしまう(例えば\(f(x)=x\)に対して\(g(x)=x+\sin(2 \pi x)\))
    • であるから必要な関数だけを自然な形で含んでいる近似式が正解に近いはず(願望)

    境界条件は

    \(f(-1)=0, f(0)=1, \tfrac{df}{dx}(0)=\tfrac{df}{dx}(-1)\log(a)\)

    ここでaは底である。 

    系A(一次微係数のつじつまをexpの当てはめで、p(a)部分は恣意的)

    \[p(a,x)=(x+1)(x+0.5)x\log(a)^{0.62}/5\]

    \[ q(a,x)= \begin{cases} x+1+p(a,x) & \text{if}\ a=e, \\ \frac{\exp((x+1+p(a,x)) \log(\log(a)))-1}{\log(a)-1} & \text{otherwise}. \end{cases} \]

    \[ ^xa \approx \text{teta}(a,x)= \begin{cases} \log(\text{teta}(a,x+1))/\log(a) & \text{if}\ x \le -1, \\ q(a,x) & \text{if}\ -1 < x \le 0, \\ \exp(\text{teta}(a,x-1) \log(a)) & \text{otherwise}. ……

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