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【0】 はじめに

『プロジェクト・オメガ』とは…、

簡単に言うと、ε₀以上の順序数を、ωで表記しよう、ということです。

ωとBEAFで表記することで、それぞれの順序数の位置関係が見えてくることでしょう。
(テトレーションやチェーン表記もBEAFで表記できます)
『極限順序数の一覧』も、併せてご覧ください。

ε₀は、『イプシロン・ゼロ』『イプシロン・ヌル』『イプシロンノート』などの読み方がありますが、
ここでは、『0番目のイプシロン』という読み方も、状況により使います。
また、『ε(0)』という表記も使うこともあります。
『ε(n)』は、『n番目のイプシロン』ということになります。

(何かありましたら、コメントにてご連絡ください)


【1】 ε₀、そしてその先へ…。

ε₀は、α=ω↑αが成立する最小の順序数である。
つまり、ε₀=ω↑ε₀ が成立する。

ε₀=ω↑↑ω とすると、
ε₀=ω↑ε₀ は、
ω↑↑ω=ω↑↑(1+ω) と書くこともできる。

では、ω↑↑(ω+1) は、どうするか?
このまま、ω↑ε₀ と書くと、 ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) の区別がつかない。
しかし、
ω↑ε₀ = ω↑↑(1+ω) = ω↑↑(ω+1)
とするわけにもいかない。
( ∵ 1+ω ≠ ω+1 )
では、どうしたものか?



【2】 ε(0)からε(1)まで

ここで、 ε₀+1 を出発点とすることにする。
そして、 ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+1) という近似式を使う。

これにより、ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) を区別することができるようになった。

ω↑↑ω ≒ ε₀+1 であり、
ω↑↑(1+ω) ≒ (ω↑ε₀)+1 = ε₀+1 であり、
ω↑↑(ω+1) ≒ ω↑(ε₀+1) である。

このとき、
ω↑ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+2)
ω↑ω↑ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+3)
という近似式が成立する。
そして、ωの指数タワーをω回繰り返すと、
ω↑ω…(ω回)…↑ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+ω) = ω↑↑(ω×2)
となり、 ε(1) に近似する。
ε(1)は、α=ω↑αが成立する1番目(ε₀を0番目とする)の順序数であり、
ε(1)=ω↑ε(1) が成立する。
ε(1) ≒ ω↑↑(ω×2) = ω↑↑(ω+ω) とすると、
ε(1) ≒ ω↑↑(ω+ω) = ω↑↑((1+ω)+ω)
あるいは、
ε(1) ≒ ω↑↑(ω+ω) = ω↑↑(ω+(1+ω))
と書くことができる。



【3】 ε(1)からε(ε₀)まで

更に、ωの指数タワーの回数(階数)を増やすことにする。

ω↑↑(ω×2)、ω↑↑(ω×2+1)、ω↑↑(ω×2+2)、……と、指数タワーの階数を増やして、
ω↑↑(ω×2+ω) = ω↑↑(ω×3) に到達し、
ε(2) ≒ ω↑↑(ω×3)
となる。

同様に繰り返して、 ε(3) ≒ ω↑↑(ω×4)
ε(4) ≒ ω↑↑(ω×5)
ε(5) ≒ ω↑↑(ω×6)
……
ε(n) ≒ ω↑↑(ω×(1+n))
となり、nがωに到達したとき、
ε(ω) ≒ ω↑↑(ω×ω) = ω↑↑(ω↑2)
となる。
勿論、ここで終わるわけはなく、
ε(ω+1) ≒ ω↑↑(ω×(ω+1))
ε(ω+2) ≒ ω↑↑(ω×(ω+2))
ε(ω+ω) ≒ ω↑↑(ω×(ω+ω)) = ω↑↑(ω×ω×2)

ε(ω×2) ≒ ω↑↑(ω×ω×2)
ε(ω×3) ≒ ω↑↑(ω×ω×3)
ε(ω×ω) ≒ ω↑↑(ω×ω×ω) = ω↑↑(ω↑3)

ε(ω↑2) ≒ ω↑↑(ω↑3)
ε(ω↑3) ≒ ω↑↑(ω↑4)
ε(ω↑ω) ≒ ω↑↑(ω↑ω) = ω↑↑(ω↑↑2)

ε(ω↑↑2) ≒ ω↑↑(ω↑↑2)
ε(ω↑↑3) ≒ ω↑↑(ω↑↑3)
ε(ω↑↑ω) ≒ ω↑↑(ω↑↑ω)

ε(ε₀) = ε(ω↑↑ω) ≒ ω↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑3
となる。



【4】 ε(ε₀)からη₀まで

ここまでで、ε₀からε(ε₀)まで話を進めたが、同様にして、
ε(ε₀) [ε₀番目のイプシロン] から、 ε(ε(ε₀)) [(ε₀番目のイプシロン)番目のイプシロン] まで話を進めることができる。

ε(ε(0)) ≒ ω↑↑ω↑↑ω
ε(ε(1)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω×2)
ε(ε(2)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω×3)
ε(ε(n)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω×(1+n))
ε(ε(ω)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω×ω)

ε(ε(ε₀)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑4
となる。

ここまで来たら、更に階層を増やせることは、想像に難くないであろう。

ε(ε(ε₀)) ≒ ω↑↑ω↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑4
ε(ε(ε(ε₀))) ≒ ω↑↑ω↑↑ω↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑5
ε(ε(ε(ε(ε₀)))) ≒ ω↑↑ω↑↑ω↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑6
ε(ε(…ω回繰り返す…(ε₀)…) ≒ ω↑↑↑ω

ω回繰り返した時に到達する順序数が『η₀』であり、
η₀ = ε(η₀) [η₀と、η₀番目のイプシロンは等しい。]
が成り立つ。



【5】η₀からφ(3,0)まで

[ここから先は走り書きとなります、ご了承ください…。]
[また、検証が必要です…。]

ここで、『η₀+1』を新たな出発点とする。

ε(η₀)+1 ≒ ω↑↑↑(1+ω)
ε(η₀+1) ≒ ω↑↑↑(ω+1)
ε(ε(η₀+1)) ≒ ω↑↑↑(ω+2)
ε(ε(ε(η₀+1))) ≒ ω↑↑↑(ω+3)
ε(…ω回繰り返す…ε(η₀+1)…) ≒ η(1) ≒ ω↑↑↑(ω+ω) = ω↑↑↑(ω×2)

ε(η(1)+1) ≒ ω↑↑↑(ω×2+1)
ε(ε(η(1)+1)) ≒ ω↑↑↑(ω×2+2)
ε(ε(ε(η(1)+1))) ≒ ω↑↑↑(ω×2+3)
ε(…ω回繰り返す…(ε(η(1)+1)…) ≒ ω↑↑↑(ω×3) ≒ η(2)

その後、 η(3) ≒ ω↑↑↑(ω×4)
η(n) ≒ ω↑↑↑(ω×(1+n))
η(ω) ≒ ω↑↑↑(ω×ω)
η(ε₀) ≒ ω↑↑↑(ω↑↑ω) = ω↑↑↑(ω↑↑↑2)
η(ε(ε₀)) ≒ ω↑↑↑(ω↑↑ω↑↑ω) = ω↑↑↑(ω↑↑↑3)
η(ε(ε(ε₀))) ≒ ω↑↑↑ω↑↑↑4
……と続き、
η(…ω回繰り返す…ε(ε₀)…) ≒ η(η₀) [η₀番目のイータ] ≒ ω↑↑↑ω↑↑↑ω = ω↑↑↑↑3
となる。


その後、
η(η₀) ≒ ω↑↑↑↑3
η(η(η₀)) ≒ ω↑↑↑↑4
η(η(η(η₀))) ≒ ω↑↑↑↑5
……、と続き、
η(…ω回繰り返す…η(η₀)…) = φ(3,0)
とする。











ここから先は、ヴェブレン関数を使って話を進める。
詳細は当該記事を参照のこと…。

大雑把に説明すると…、
 
 1変数の時、
 φ(α) = ω↑α
 
 2変数の時、
 φ(0,β) = φ(β)
 φ(α,β)は、X=φ((α-1),X)が成り立つβ番目の順序数 [α>=1]
 
 例えば、
 φ(1,0) = ε₀
 φ(1,φ(1,0)) = ε(ε₀)
 φ(1,φ(1,φ(1,0))) = ε(ε(ε₀))
 φ(2,0) = η₀












続く…(?)…。




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