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マーロ基数

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マーロ基数 (あるいは強マーロ基数) より小さい基数全体の集合が\(\alpha\)の定常部分集合である非可算順序数 \(\alpha\)である。 最小のマーロ基数だけを指して時々マーロ基数\(M\)と呼ばれる。

もし「到達不可能」が単に「標準」であれば、弱いマーロ基数を定義できる。もし一般化連続体仮説が真ならばこの二つの定義は等しい。

マーロ基数はZFCの範疇では存在を証明できず、ZFC + "マーロ基数の存在" は無矛盾であると推測されている。

マーロ基数は順序数崩壊関数によく使われるため、巨大数にはとても縁が深い。

Club集合と定常集合 編集

標準性と到達不可能性の説明は到達不可能基数の記事で説明されている。マーロ基数では、定常集合を定義するべきである。そのまえに、club集合を定義する。

極限序数\(\alpha\)のclub集合\(S\)を、\(S\)が\(\alpha\)の部分集合であり、\(S\)は\(\alpha\)中で閉じており、\(\alpha\)は\(S\)に制限されない時そうであると定義する。直感的には、\(S\)は\(\alpha\)の一部分で、 \(S\)は\(\alpha\)より小さい自分自身の収束点を含み、\(\alpha\)の全ての要素は\(S\)のいくつかの要素を上回る、となる。

例: \(\omega_1\)までの全ての加算極限序数はclub集合を作る。(それを\(A\)とする)極限序数の極限はいつも極限序数である、但し一つの例外、がある—\(A\)の極限が\(\omega_1\)であり、\(\omega_1\)が\(A\)に存在しない場合である。だが\(\omega_1\)は\(\omega_1\)の項ではない。だがこれは問題とはならない。 \(A\)は\(\omega_1\)で制限されておらず、するとすべての加算極限序数は\(A\)より小さい。 よって、\(A\)は\(\omega_1\)のclub集合である。

もし\(S\)がすべての\(\alpha\)のclub集合と交わる場合、\(S\)を\(\alpha\)の定常集合であるという。

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