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ペンテーション (Pentation) あるいは quintation は、矢印表記で \(a \uparrow\uparrow\uparrow b\) と書かれる関数である。テトレーションで作られる数よりもずっと大きな数が得られる[1]

ペンテーションは配列表記では {a,b,3}、チェーン表記では \(a \rightarrow b \rightarrow 3\)、そしてハイパーE表記では E(a)1#1#b と書くことができる。

ペンテーションはテトレーションほどは使われていないが、いくつかの巨大数にも使われている: 3↑↑↑3はトリトリ、 10↑↑↑100はギャゴルである。

Sunir Shah はこの関数に \(a * b\) という表記を使った。[2] Jonathan Bowers はこれを"a to the b'th tower"と呼んだ。[3] Sbiis Saibian は表記 \(_{b \leftarrow}a\)を使った。[4]

ペンテーションの増加率は急増加関数で\(f_4(n)\)ほどである。

Saturday Morning Breakfast Cereal では"ペネトレーション" という名が、セクセーションからのユーモラスなアナロジーでつけられた。[5]

ペンテーションの挙動の例をここに示す。

  • \(1 \uparrow\uparrow\uparrow b = 1\)
  • \(a \uparrow\uparrow\uparrow 1 = a\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 4\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{2}2}2} = {^{4}2} = 2^{2^{2^{2}}} = 65,536\)
  • \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = {^{3}3} = 3^{3^{3}} = 7625597484987\)

もう少し大きい例を示す。

  • \(5 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}}\)
  • \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{3}3}3} = {^{3^{3^{3}}}3} = {^{7625597484987}3} = \underbrace{3^{3^{3^{.^{.^{.^{3^{3^{3}}}}}}}}}_{7625597484987}\)
  • \(6 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = {^{^{6}6}6}\)
  • \(5 \uparrow\uparrow\uparrow 5 = {^{^{^{^{5}5}5}5}5}\)

擬似コード 編集

下はペンテーションの擬似コードである。

function pentation(a, b):
    result := 1
    repeat b times:
        result := a tetrated to result
    return result

出典 編集

  1. Bowers, JonathanExploding Array Function. Retrieved 2013-06-11.
  2. Really Big Numbers. Retrieved 2013-06-11.
  3. Bowers, JonathanArray Notation up to Three Entries. Retrieved 2013-06-11.
  4. Saibian, Sbiis3.2.5 - Ascending With Up Arrows. Retrieved 2013-06-11.
  5. http://www.smbc-comics.com/?id=2615

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