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  • Kyodaisuu
    • 2014年5月24日(土) 15:00
    • 巨大数の土曜日@東洋大学
    • 詳細: http://twipla.jp/events/92102

    だそうです。

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  • Kyodaisuu

    利用者:Kyodaisuu/注目のウィキアン で回答を下書き中。

    巨大数研究Wikiのトップページの絵は、漫画家の小林銅蟲さんが描いたものです。小林銅蟲さんは、巨大数漫画「寿司 虚空編」の連載をされている漫画家です。小林銅蟲さんを中心に、定期的に集まって巨大数の研究をするコミュニティがあって、その人たちが巨大数研究Wikiを立ち上げました。漫画家とその仲間たちによって立ち上げられた学術的なコミュニティというのは、ユニークだと思います。

    というような書き方で、問題ないだろうか?

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  • Kyodaisuu

    注目のウィキアン (Featured Wikian) 企画なる連絡が来た。とりあえず返信。

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  • Limitofempty

    別件で忙しくろくに時間を取ることができずにいるのですが、びっくりしたのでこれだけ。

    ふぃっしゅっしゅ氏のウォールに、注目のウィキアン企画に選出する申し出が書き込まれていました。コミュニティーセントラルでこの企画をやっているのは以前より把握していたのですが、いきなりふぃっしゅっしゅ氏に白羽の矢が立ったのは驚きです。巨大数スレの初期から日本語圏での巨大数を主に牽引してきた方々のうち、現在も活動がアクティブなのはあと銅蟲さんぐらいですし、個人的には是非とも応じていただきたいと思っています。私からの問い合わせにご返答頂いた時の内容を通じ、ウィキアの運営の方々は大変融通が利くと認識していますので、些細な都合があっても対応してくださると思います。これまでの 2 人の内容を見てもフレキシブルなインタビューになっていますし。

    そういえばミカヅキモ氏の多重帰納関数の定義について、非常に中途半端な(更には間違えている)コメント書いてしまったまま時間が無くなってしまったのですが、やたら進化してますね。ちょっと先にこれを精読したいところです。

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  • Aycabta

    MathJax Task

    2014年4月27日 by Aycabta
    • Converts <math> tag to MathJax form
      • The Greasemonkey script in this article is so helpful: http://docs.mathjax.org/en/latest/dynamic.html
      • For mobile; MathJax viewing is no harm to iPad, but iPhone is not
    • Applies MathJax viewing and conversion above to comment area
      • Example: http://ja.googology.wikia.com/wiki/User_blog:Mikadukim/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8E%B3%E5%AF%86%E3%81%AA%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6#comm-1124
      • MathJax using lazy load, comments too, loading sequence is not under control
        • So plain TeX texts remain when comments loaded after MathJax, this is just *luck*
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  • Limitofempty

    クサイ関数に次のような記述が追加されていました。

    人によってはクサイ関数は"臭い関数"との呼び名となりイメージ悪化を招くためXI関数と呼ぶことも多い。

    まあそういうこともあるかな、とは思うのですが、出典無しのままでこういった記述が増え続けてしまうとしたらあまり望ましくないかな、とも思うので、どこかで具体的に言及されているならば、その出典があったほうがいいように思います。

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  • Mikadukim

    特に2重帰納関数がどのように定義されるべきか、その定義の候補を考えてみました。それなりに良い定義としてまとまってきた感触あります。

    続き→ 2重帰納関数の評価_~支配定理に向けて~


    非負整数 \(n\) に対して、写像 \(f:\mathbb{Z}_{\ge 0}^n \to \mathbb{Z}_{\ge 0}\) のことを \(n\) 変数関数と呼ぶことにします。 \(n=0\) のときは \(\mathbb{Z}_{\ge 0}^0 = 1点集合\) なので、\(0\) 変数関数は定数関数になります。

    \( \mathcal {F} = \{f | f は n 変数関数\, (n: 非負整数) \} \) とおきます。\( \mathcal{F}_1\) を原始帰納関数(=1重帰納関数)全体とします。もちろん \( \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}\) です。 このとき、\( \mathcal {F}\) の部分集合\( \mathcal {F}_2\) を、次の公理を満たす集合 \( \mathcal {F}_2\) の中で、(包含関係に関して)最小のものと定義します。

    • \( \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\).
    • \(f(y_1,\ldots,y_k), g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_m) \in \mathcal{F}_2\) ならば、\(h(x_1,\ldots,x_m)=f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_m))\) と定めたとき、\(h \in \mathcal{F}_2\). ……

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  • Limitofempty

    カリー化の練習

    2014年4月15日 by Limitofempty

    とりあえずメモです。有益な結論の出ているエントリではありません。

    \(f(x) = 2x\) という関数 \(f\) があった場合、ラムダ計算では関数の名前 \(f\) を消して \(\lambda x. 2x\) と書きます。ラムダ計算では関数の引数が常に 1 つなので、多変数関数の場合、「1 つの引数」を取り、「残りの引数をとる関数」を返す関数に変換します。これがカリー化です。

    ここで、任意の関数 \(g\) をカリー化することを \(curry(g)\) と書くことにします。例えば \(g(x, y) = x^y\) という関数をカリー化したものは、\(curry(g) = \lambda x. (\lambda y. x^y)\) となります。

    重要なのは、カリー化した関数を単に呼び出した場合に出てくる関数がどういったものであるかです。\(g(x, y) = x^y\) をカリー化したものに引数として \(3\) を与えると \(curry(g)(3) = h(y) = \lambda y. 3^y\) となります。ここで自由変数 \(x\) が \(h(y)\) において \(3\) に束縛されています。つまり、元の \(g(x, y)\) の \(x\) に \(3\) を部分適用した関数 \(h(y)\) を定義したことになります。

    このカリー化を導入することで、を

    \begin{align} hyper\ n(a, b) &= a^{(n)}b \\ &= \begin{cases} b+1, & \mbox{if }n=0 \\ a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\ 0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\ 1, & \mbox{if ……

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  • Limitofempty

    このところ、対角化についての細かい議論を銅蟲さんと続けていました。そもそもどういった状態をもって急増加関数での近似としているのかが正しく掴めていなかったので、様々な事例を追っていたというところです。

    銅蟲さんが \(F_3\) の定義を書き下して丁寧な理解をしようとしていたところから話が始まっていますが、いまいち本質的な理解に到達できず、一時期はもっと簡単な形にした s(n)変換で検証を試みようとしていたようで、本人がその一部をアップロードしています。この後、第一クロちゃん数について、近似についての議論があり、4 月 4 日に銅蟲さんの家で開催した「巨大数の土曜日」。

    ところで最後に書いておきますが、支配することの定義から自明なように、関数の引数は \(x\) とだけしてあればよく、そこをいじる必要はありません。現時点において、フカシギの数え方に \(f_2(n^2)\) という近似がありますが、こういったものは美しくない答えを避けるという考えからすると、改善の余地があるものと思います。そもそも関数そのものが操作を行うものであり、この形では引数部分で操作が発生してしまいますから、そこにも問題があります。

    ではまた。

    追記: 続きである User_blog:Limitofempty/急増加関数とs(n)変換 を書き終えました。


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  • Wythagoras

    I read your discussion on the forum about 第一クロちゃん数.

    Here I'll present my analysis for my result.

    \(x! \approx f_2(x)\)

    \(f(x) = x!^x \approx f_3(x)\)

    \(f(x)\uparrow^{2} 2 = f^{f(x)}(x) \approx f_4(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{2} 3 = f^{f(x)\uparrow^{2} 2}(x) \approx f_4(f_4(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{2} k+1 = f^{f(x)\uparrow^{2} k}(x) \approx f_4^k(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} 2 = f(x)\uparrow^{2}f(x) \approx f_5(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} 3 = f(x)\uparrow^{2}(f(x)\uparrow^{3} 2) \approx f_5(f_5(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} k+1 = f(x)\uparrow^{2}(f(x)\uparrow^{3} 2) \approx f_5^k(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{y} k+1 \approx f_{y+2}^k(f_3(x)))\)

    \(K(4) = f(3) \uparrow^{4} f(3) \approx f_{6}^{720!}(720!) = f_{7}(720!)\)

    \(K(n) = f(3) \uparrow^{n} f(3) \a ……

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  • Limitofempty

    ちょっとこの崩れ方だとブログを書くのも一苦労ですね……タイトルは入力欄が明後日の場所に飛んでほぼ全域が表示されていないので一度別に書いたものをペーストしています。正常でしょうか。

    ページによっては画面が白くなってしまう場合があるこの状況は、どうも CSS が反映されていないようです。とりあえずウィキアスタッフに現状を報告しました。少し様子を見ます。

    追記: 直りましたね。なんだったんでしょう。ちょっと長めのメンテナンスでしょうか。

    追記 2: 報告が遅れましたが、スタッフの方から修正作業が終わったとの連絡をいただいていました。一時的なメンテナンス中だったようです。

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  • Aycabta

    Mirror Site for Bot Test

    2014年3月15日 by Aycabta

    Hi there.

    I heard "wanna make MediaWiki mirror for bot testing?" a few days ago, so I implemented mediawiki-kitchen that is MediaWiki automated deployment system by Chef. I deployed it and imported the dump of this wiki to my new Windows Azure server: http://googologolo.cloudapp.net/wiki/

    Do what you want, I can automatically rebuild this mirror site if you mess up everything garbled.

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  • Limitofempty

    以前にこのブログで、Wikia 内の URL に日付を含めたほうがいいと思うのでそうすると書きましたが、これは Wikia 内のブログがあくまでも MediaWiki 上における記事の体裁を取っており、履歴などの概念によっていつのエントリであるかが不明瞭になるのではないかという考えからそうしたものでした。しかしタイトルのすぐ下に作成時の日付が表示されており、よくよく考えると日付が URL に含まれる必要はありませんでした。また、スラッシュで区切った下にある記事はブログのエントリと認識されずにバッジが貰えないことから、Wikia 上のブログとしては適切でない記事名になっていたと見たほうがよさそうです。今後は適切な記事名でブログのエントリを書くようにします。

    ウェブの一部ではイマジナリーラインが話題のようですが、イマジナリーラインが存在する、しないというよりも、たとえば巨大数作品の場合、ある程度のところからは次元そのものが拡張されてしまうため、人間の物理的な認識を前提とした、イマジナリーラインという概念そのものが成立しなくなることもあると思います。そもそも考えてみれば、巨大数の入口でとりあえず名前の挙がるグラハム数は、n 次元での超立方体の存在を前提においた問題への解として提示された数です。現実の些細な問題は数学の抽象世界で忘れてしまいましょう。風邪を引いています。熱は 39 度から 38 度に下がりました。

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  • Limitofempty

    グッドスタイン数列と超限帰納法について、『数学基礎論講義』にあった記述をまとめておきます。

    グッドスタイン数列の取り方は通常の通りなのですが、そこから FGH へと持っていくために下準備がなされています。

    次のようなものを定義します。

    順序数 \(\alpha\) の表記のなかに現れる、すべての \(\omega\) を \(x + 1\) に替えたものを \(G_x(\alpha)\) とおく。

    さらに「順序数から 1 を引く」ことを意味する関数 \(P_x\) を次のように定義する。

    \begin{eqnarray*} P_x(0) &=& 0 \\ P_x(\alpha + 1) &=& \alpha \\ P_x(\alpha) &=& P_x(\alpha[x]) (ただし \alpha 極限順序数) \end{eqnarray*}

    ここから、\(G_x(P_x(\alpha)) = G_x(\alpha) - 1\) であるとしています。これはグッドスタイン数列の特性の説明のためのものなので、そう考えると自明だと思うのですが、とりあえず例として \(x = 3, \alpha = \omega^{\omega}\) の場合を書き下してみます。左辺は、

    \begin{eqnarray*} G_3(P_3(\omega^{\omega})) &=& G_3(P_3(\omega^3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 2 + \omega \times 3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 2 + \omega \times 2 + 3)) \\ ……

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  • Kyodaisuu

    チェーン表記が、矢印表記の自然な拡張である事を示す。

    チェーン表記の定義式

    • ルール1: \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}_cb = a \uparrow^c b\)
    • ルール2: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
    • ルール3: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
    • ルール4: \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

    の1番目の式では矢印表記が使われているため、チェーン表記が矢印表記の自然な拡張である事は一見して分かりにくいが、実はルール1を

    • ルール1': \(a \rightarrow b = a^b\)

    と変えても、次のようにしてルール1が成立することを帰納法で証明出来る。


    【証明】ルール 1',2,3,4 が成り立つ時に、ルール 1 が成り立つ事を、\(c\) に関する帰納法で示す。

    (1) \(c=1\) の時

    \begin{ ……

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  • くんどらべったらどっぽれ名無し

    φ_0(β)=ω^β

    φ_α+1(0)=φ_α(φ_α(φ_α(…φ_α(φ_α(0))…))

    φ_α+1(β+1)=φ_α(φ_α(φ_α(…φ_α(φ_α(φ_α+1(β)+1))…))

    φ_α(B)=φ_α(B_n)

    φ_A(β+1)=lim(φ_A_n(φ_A(β)+1))

    ここから引用

     α=ψ_0(0)のとき、α_0=φ_0(0), α_(n+1)=φ_(α_n)(0)

     α=ψ_β(0)のとき、α=ω_βであり、

      βに収束列があるときはα_n=ω_(β_n)となる。

     α=ψ_β(γ+1)のとき、α_0=ψ_β(γ)+1, α_(n+1)=φ_(α_n)(0)

     α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義された順序数)のとき、α_n=ψ_β(γ_n)

     α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)のときは、

     以下の手順で収束列を定める。

      まず、γに注目する。

      注目する順序数がψ_[δ+1](0)の形になるまで、以下の手順を繰り返す。

       注目する順序数が和のときは、一番右の項に注目する。

       注目する順序数がφ_ε(ζ)の形のときは、以下のようにする。

        ζ=0のときは、εに注目する。

        ζ=ζ'+1のときは、ζφ_ε(ζ')+1に置き換えてからεに注目する。

        その他のときは、ζに注目する。

       注目する順序数がψ_ε(0)の形のときは、εに注目する。

      γの、注目するψ_[δ+1](0)xで置き換えた関数をf(x)とする。

      α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_δ(f(α'_n))とし、

      収束列はα_0=0, α_(n+1)=ψ_β(f(α'_n))とする。

      (つまり、最後だけはψ_βを適用し、それ以外はψ_δを適用する)



     Ψ_0=0, Ψ_(n ……



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  • Limitofempty

    ベルフェゴール素数とその周辺についてです。この素数について全く知りませんでした。この Wiki の編集履歴は残らずざっくりと目を通していますが、毎回くんどらべったらどっぽれ名無し氏が渋いところばかり持ってくるので感動しています。記事中にさらっと が出てくるのもいいですね。

    115.38.175.101 氏がベルフェゴール素数の編集時のコメントに「apocalypse numbersってどう和訳すりゃいいの?」と書かれています。やはりここで重要なのは、en:Belphegor's_prime の下にテンプレートで挿入されている Beast number and related numbers という一覧でしょうか。

    en:Beast number にざっくりとした一覧がありますが、上記テンプレートの中のうち en:apocalypse number と en:apocalyptic number はあるものの、en:apocalyptri number、en:apocalyptetra number、en:apocalypenta number が書かれていません。この後者 3 つが曲者で、apocaliptic という単語と、本来であれば接頭語であるはずの tri-、tetra-、penta- を接尾語的に結合することで、語呂良く合成語を作り出しているという、非常に遊び心のある命名になっています。

    そもそも黙示録という表現そのものが、昔から中二病に罹患した方々に人気の高い単語ですから、このような命名がされるのも納得のいくものだと思います。物語の分類におけるという表現は英語だと し、崩壊した世界そのものを単に apocalypse という単語で表現しようとすることもありますね ……

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  • Kyodaisuu

    グッドスタイン数列の表が、横に長くて最後まで見えない。英語版の方は見える。これは、画面サイズにあわせて適宜表の中で改行してくれない仕様が良くない、とも言えるけど、日本語版では右側にウィキアクティビティと画像が表示されていて、記事の表示される横幅が狭くなっていることにも起因している。

    ウィキアクティビティは、常に上のナビゲーションから呼び出せるので、ここになくてもいいだろうと思う。できれば英語版と同じように右カラムの表示は消してしまいたい。けど、これはどこで設定するのかがよく分からない。

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  • Limitofempty

    このところまとまった時間が確保できずにいるので、手短に。

    豪華陣で執筆されている、あの『数学基礎論講義―不完全性定理とその発展』ですが、FGH と思われるものの訳語が「急成長階層」ではなく、「急増加関数」みたいなものになっていました。すみません、立ち読みでちら見した程度で、詳細は追っていません。「急成長階層」ではなかったというだけで、正確な記述は更に違った可能性もあります。そのすぐ下にあった定義は FGH だったようですが、文脈が異なるので違う概念を指している可能性もあります。一応メモ程度のものとして記しておきます。雑な情報ですみません。誰か専門性の高い方、調査お願いします……。

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  • Kyodaisuu

    Fish numbers to go

    だそうです。

    誰かが作ったネタなので、本気にしないで下さい…。

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  • くんどらべったらどっぽれ名無し

    ジンバブエ・ドルのインフレ率の推移

    2004 624%

    2年で2倍

    2006 1281%

    4ヶ月で2倍

    2007-4 3714%

    2007-6 11000%(非公式)

    2007-7 7638%

    2007-9 20000%(非公式)

    3ヶ月で2倍

    2008-2 66212%

    2008-4 10万%

    2008-5 16万%

    3ヶ月で2倍

    2008-6 35万%

    1ヶ月で2倍

    2008-7 903万%(非公式)

    25日くらいで2倍

    2008-8 220万%

    12日くらいで2倍

    2008-9 1120万%

    1日ちょっとで2倍

    2008-11 897垓%

    6時間くらいで2倍

    2009-1 6.5*10^108%

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  • Limitofempty

    記念すべき巨大数研究 Wiki 設立初年の最終日です。今日は巨大数納めとして、ふぃっしゅ数バージョン5 の読解に努めました。ちょっと急いで書いたので細かいところが雑です。ご了承ください。

    まず事前知識として、別分野ですが『圏論の基礎』の「はじめに」から以下を引用します。

    各射 \(f:X \rightarrow Y\) が関数を表すとしよう.つまり集合 \(X\),集合 \(Y\) および,各要素 \(x \in X\) に要素 \(fx \in Y\) を割り当てる規則 \(x \mapsto fx\) を表す.可能な限り \(f(x)\) ではなく \(fx\) と書き,不要な括弧は省略することにする.

    ここで、この文章が示す圏論に入る前の知識の話をしたいのではありません。私は知らなかったのですが、関数を書く時に括弧を省略する記法があるということを示したかったのです。これに気付くまでに、少しばかり時間を使ってしまいました。

    ではまず、『巨大数論』にあるふぃっしゅ数バージョン5 の定義をここに引用します。

    [1] 集合 \(M_n (n = 0, 1, 2, ...)\) を以下のように定める。
    • \(M_0\) = 自然数の集合
    • \(M_{n+1}\) = 写像 \(M_n \rightarrow M_n\) 全体の集合
    • \(M_n\) の元を \(M_n\) 変換と呼ぶ

    [2] \(M_n\)変換 \(m(n) (n \ge 1)\) を以下のように定める。

    \(f_n \in M(n)\) に対して、 \(m(n+1)(f_n) = g_n\) を以下で定める。
    \(f_{n-1} \in M(n-1)\) に対して、 \(g_n(f_{n-1}) = g_{n-1}\) を以下で定め ……
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  • Limitofempty

    『巨大数論』超勝手正誤表というのを作ってから、忘れていました。リンクしておきます。

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  • Aetonal

    てすとぺーじ

    2013年12月20日 by Aetonal

    主に草稿とかを書くページ


    \(f(n)=x\), when \((10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}x\)

    • \(f(1,1)=f(54)\) = Level 1
    • \(f(1,a)=f(\frac{1}{f(1,a-1)})\), Here \(\frac{1}{f(a-1)}\) might not be integer, so round it off (and so forth).
    • \(f(2,1)=f(1,54)\)
    • \(f(2,a)=f(\frac{1}{f(1,a-1)})\)
    • \(f(b,1)=f(b-1,54)\)
    • \(f(b,n)=f(b-1,\frac{1}{f(b,n-1)})\)
    • \(f(1,1,1)=f(54,1)\) = Level 2
    • \(f(1,1,a)=f(\frac{1}{f(1,1,a-1)},1)\)
    • \(f(c,1,1)=f(c-1,54,1)\)
    • \(f(c,1,a)=f(c-1,\frac{1}{f(c,1,a-1)},1)\)
    • \(f(c,b,1)=f(c,b-1,54)\)
    • \(f(c,b,a)=f(c,b-1,\frac{1}{f(c,b,a-1)})\)
    • \(f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\) = Level 3
    • \(f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\) = Level 4

    ...in general,

    • \(f(1,1,\underbrace{1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1}) = f(54,\underbrace{1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1})\)
    • \(f(1,1 ……

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  • Kyodaisuu

    寿司4話

    2013年12月19日 by Kyodaisuu

    来ましたね。ニュースに載せておきました。

    最初から最後まで、ストーリーといい数学的な内容といいどんどん展開が進んで、さすが面白かったです。

    そして、見事にアイコンが採用されました。(笑)

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  • Limitofempty

    ハイパー演算子をおおむね訳し終えました。細かいところが雑だったりするので、気が向いた人は修正をお願いします。今日は疲れたので明日にでも自分で再確認しておきます。

    ところで、この記事を訳すにあたり 2 点問題が残っています。

    まず Expansion の訳記事は、スタブか何かで存在しますでしょうか。Bowers 氏がハイパー演算子から山括弧を使った表記を経て、BEAF に至るまでの途中にあるもののようなので、非常に重要であることは間違いなく、訳してしまいたいところです。記事が重複するといけないので、記事を作った人がおられましたら、コメントをお願いします。作っているとしたらふぃっしゅっしゅ氏でしょうか。

    次に、英語版でも特に記事が作られていないようですが、ハイパー演算子の亜種である bar notation をどう訳したものか、考えがまとまらずそのままにしてあります。直訳なら棒表記ですが、bar で辞書を引いたら柵や鉄格子といった単語が出てきました。確かにこれは棒というより柵です。

    \[a + b,\, a \cdot b,\, a^b,\, {}^ab,\, \overline{a}^b,\, {}^b\overline{a},\, \overline{\overline{a}}^b,\, {}^b\overline{\overline{a}},\, \ldots\]

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  • Limitofempty

    英語版記事のところどころで、 という表記がヘルプに記載されていますが(例: ドナルド・クヌース)、リンク先 URL に en.wikipedia が出た上で ja:日本語版の記事名 とすると ja.wikipedia に飛ばす仕様は全く一般的ではなく、見る人がぎょっとするのではないかと思いますので、必要な場所ではこちらを利用したほうがいいかと思います。

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  • Limitofempty

    現在では「矢印表記」という記述が日本語圏の巨大数界隈では一般的と見ていいかと思うのですが、一部にはまだ「タワー表記」という記述が見られます。たとえば Wikipedia における「クヌースの矢印表記」のページや、個人ブログなどです。

    一番ひどいのは Wikipedia の「巨大数」のページにある説明です。

    クヌースの矢印表記(タワー表記)は、指数の積み重なりである指数タワーを記述するための、非常に単純な表記法である。

    これは明確に違うでしょう。

    冪乗のことを英語では power と言いますが、それを右上に連ねていくテトレーションを、その見た目から "power tower"、日本語だと「指数タワー」と呼ぶことはあります。しかしそのテトレーションもその右項を左上に書くと、例えば \( 3 \uparrow \uparrow 3 = {^3} 3 \) などと書けます。そしてペンテーションではもはや、トリトリなど多くの場合において指数タワーでの記述は現実的でないものになります。

    確かに矢印が 1 つの時が矢印表記として一番弱い状態であり、あとはそれを数え上げて数え上げて数え上げて……とやって強くするだけではあるので、タワーを名前に含めようとするのもわからないではありませんが、それならばハイパー演算子についても「後者関数の積み重なり」と説明できることになってしまいます。しかしこの説明では +1 のみで大きくする巨大関数全てが当て嵌まってしまいますし、そもそもこれは集合論における自然数の定義である \( n+1 = n \cup \{n\} \) そのままです。基本的な考え方のみで巨大数を記述することに限界があるので、新しいものを定義しているのですから、きちんとその説明をして、誤解を招く ……

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  • Limitofempty

    MediaWiki における記事名の制約でこういうタイトルになってしまいましたが、正確には \(H[ε_0] 以下の関数\) です。

    ふぃっしゅっしゅ氏が 2重リストアッカーマンの計算というエントリを書いてらっしゃいますが、そもそもの定義について、『巨大数論』が「まだ書きかけ版」の頃から理解ができていない状態でした。そちらではずっと第 1 式が \(A(X_1, [X, 0], X_2) = A(Y_1, Y_2)\) となっていますよね。たろう氏が元の文書でこう書いていた、ということなのだと思いますが、ここからもうさっぱりでした。ここが この Wiki における 2重リストアッカーマン関数のページでは修正されていて、\(A(Y_1, [X, 0], Y_2) = A(Y_1, Y_2)\) となっているので、\(X_1\) をどうやったら \(Y_1\) になるのだろうという混乱は消え、ああ、やっと私のような者にも理解する機会がやってきたな、という次第です。これなら読めます。あとはどのように数え上げを続けているかを掴むだけですね。元の式は、混乱していた人も多いのではないかと思います。とてもわかりやすくなりました。

    ふぃっしゅ数バージョン5 はなかなか難しいですね。後回しになっていたので早く理解したいところです。私は書き下して構造を理解するタイプなのですが、そういう行為も重要だと認識しつつも、やっとここまで到達して、ちょっと限界を感じています。書くは書くにしても、抽象化したものを概念として掴めないと先には進めないし、たとえば ε-δ 論法なんて、ずっと書いていたってしょうがないですよね。

    というわけで『寿司 虚空編』査読班の皆さん、以前より、アンドレイ・マルコフ(父)などが参 ……

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  • Limitofempty

    表題についてですが、このエントリのようにしたほうがいいのではないでしょうか。各人のブログで URL の規則が統一されている必要はないと思いますが、こちらのほうがわかりやすいと思いますから、私はこうしておきます。

    既に書いてしまった古いものも統一したい場合については、MediaWiki の Help:Redirects/ja を参照するといいのではないかと思います。一応この Wiki にも ヘルプ:Redirects というページがあります。しかし両方とも翻訳されていませんね。こういったところの翻訳もやりたいところで、暇な時にやろうか知らないけれども、どうでしょう、あまり時間を取ることができていません。私は translatewiki.net への登録申請も通っていますので、これが Wikia そのものへの翻訳作業が必要な場合でも対応が可能です。日本ウィキアはあまり知られていませんから、日本語への翻訳はあまり進んでいないようです。

    ところで、この Wiki の名前は、後からすぐに変更できないと知らずに本家と同じ「Googology Wiki」のままにしてしまいました。デザイン上のタイトルである「巨大数研究 Wiki」に変更すべきなのですが、Community Central のどこかに申請する場所があるのでしょうか。あとで探しておきます。

    追記: で出てくる、この Wiki でいうところの「Googology Wiki」という名称は、言語間リンクのように申請が必要なのですが、w:c:ja.community:Wikia:各種依頼を見たところ、「2013年11月以降の依頼に関してはお手数ですが、こちらからご連絡下さい。」とあります。そもそも元のフォーラムを見る限り、きちんとした ……

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  • Kyodaisuu

    2重リストアッカーマン関数のページで、ぼちぼちと計算をしているけど、

    \[A([n, 1], [n]) \approx f_{\omega^\omega}(n)\]

    これがようやく分かった。次に、リストの中を多変数化したときは、これも多変数アッカーマンと同じような関係になっていることは想像出来るのだけど、なかなか具体的な計算として納得出来ない。

    それにしても、よくこんな式を考えついたものだ。

    バード氏も多重リストをやっているので、比較したらどうなるか。

    \[A([1,2,3,4],[5,6],[7]) \approx f_{\omega^{(\omega^2+\omega\times2+3)\times 4}+\omega^{5-1} \times 6}(7) \]

    こんな感じか?indexの大きい順番というのは、順序数の計算では大きい順序数から先に足さないといけないから。

    式は複雑なんだけど、きちんと理解さえできれば、順序数との対応がきっちりとできるのはいいよなぁ。

    つまり、この順序数のヒドラツリーを書いてみれば、2重リストアッカーマン漸化式の構造が見えるということか。

    とりあえず定義式を貼っておく。

    \begin{eqnarray} A(Y_1, [X, 0], Y_2) & = & A(Y_1, Y_2) \\ A(Y_1, [Z, X], Y_2) & = & A(Y_1, [X], Y_2) \\ \\ A([a]) & = & a+1 \\ A(Y, [1, b+1]) & = & A(Y, [1, b], [1]) \\ A(Y, [1, b+1], [a+1]) & = & A( Y, [1, b], [A(Y, [1, b+1], [a])] ) \\ A(Y, [X, ……

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  • Kyodaisuu

    F4

    2013年12月16日 by Kyodaisuu

    ここに入れるのは遠慮していたのだけど、入れてくれたようだ…。

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  • Aetonal

     FGHのまだ極限順序数に達してないレベル\(f_m(n)\)について、具体的な計算をしてみたところ、以下の様な表が得られました。数を近似する参考にして頂ければ幸いです。

    http://www51.atwiki.jp/largenumbers/pages/28.html

     計算結果の振る舞いに多少の紆余曲折こそありましたが、最終的に\(f_m(n)\approx(n+1)\uparrow^{m-1}(n+1)\)に近似していくようです。

     ω+m以上についても今後検証していく予定です。

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  • Negineesan

    それ・追記

    2013年12月14日 by Negineesan

    これは、\( S\)変換や\( S2 \)変換を使わないで書いたもの。

    原版では\( S2 \)変換でワンクッション置いてたような操作を、まとめてチョクでぶっこんでいます。


    \(f_0(x) = x+1\)

    \( m_0 = 3 \)


    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)


    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(k_i = f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1)\)

    \(p_0 = 0\)

    \(q_0 = 0\)

    \( p_{i+1} = {k_{q_{i+1}}}{\cdot}{\prod_{t=1}^{i+1}}{p_t} \)

    \( q_{i+1} = {p_u}} \)


    \( { :  }{[{m_0},}}(1)},}(x)}]} \)


    このとき

    \( { :  }{[{m_0},}}(1)},}(x)}]} \)

    について、

    \( }}(1)} = F_1 \) とする。

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  • Kyodaisuu

    数式のヘルプ

    2013年12月14日 by Kyodaisuu

    (追記)コメントで、数式の機能はウィキア共通のものではなくてこのウィキで設定したものであることを教えてもらったので、共通ページを編集するプロジェクトは中断します。


    wikiaのw:c:ja.help:ヘルプ:編集の仕方には、数式のことがまったく書いてないので、勝手に追加しようというプロジェクトです。まずは、Googology wiki の About からコピー。


    Googology Wiki uses LaTeX (tutorial), and more specifically MathJax. Use \(x + 1 = 2\) for inline equations and \[x + 1 = 2\] for separate ones. The built-in MediaWiki math system also works, but use it sparingly — specifically, it is useful when MathJax is slow or doesn't load in blog comments.

    これを元にヘルプの形で書くと、こんな感じか?数式には、スキューズ数で出て来る素数定理を入れてみた。


    数式は、LaTeX の文法を使って入力します。ウィキアでは、MathJax あるいは MediaWiki の数式 システムを使って、数式を表示します。\(x + 1 = 2\) と書くと \(x + 1 = 2\) のように本文の中に表示され、\[lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{Li}(x)}{\pi(x)} =1\]\[ ]\ でかこんで書くと、\[lim_{x \to \infty} \frac{\mat ……



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  • Negineesan

    それ

    2013年12月14日 by Negineesan

    前の記事を延々直していても仕方ないというか、とりあえず先に進めないこともない程度にはなったのでこっちへ。

    IIの1文字にくっついて見えるやつの書き方わかったので、観念して\( {S{I\hspace{-.3em}I}}_{i} \)変換を導入しましょう。

    したらしたで要らなかったという説もあるなど。


    \(m_0 = 3\)

    \(f_0(x) = x+1\)

    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)

    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(S_0 : [m_i , f_i(x)] → [f_{i+1}(m_i) , f_{i+1}(x)]\)

    \(k_i = f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1)\)

    \( p_0 = 0 , q_0 = 0 \)

    \( p_{i+1} = {k_{q_{i+1}}}{\cdot}{\prod_{t=1}^{i+1}}{p_t} \)

    \( q_{i+1} = {p_u}} \)

    \( _{0}} = S_0 \)

    \( {S{I\hspace{-.3em}I}}_{i+1} = {S_0}^{p_{i+1}} \)

    \( { :  }{[{m_0},_{0}}}] → [}}(1)},}(x)},_{i+1}}]} \)

    このとき

    \( { :  }{[{m_0},_{0}}}] → [}}(1)},}(x)},_{63}}]} \)

    について、

    \( }}(1)} = F_1 \) とする。

    ……
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  • Kyodaisuu

    というのは、まぁ結論としては意味なんてなくてもいいと思ってやっているのでどうでもいいのですが、グラハム数が意味のある数の中で最大だけど、大きいだけの巨大数には価値が無い、という意見をちらほら見るので、それは今となっては色々微妙なところだと思います。

    まず、意味のある中で最大といえば、グラハム数ができたときから、すでにビジービーバー関数というものがありました。ここに数字をぽんと入れればあっという間にグラハム数をこえてしまう。ガードナーがおもしろおかしくグラハム数を紹介したから有名になって、ギネスブックにのったというだけの話であって、その前からグラハム数よりも大きな数は意味のある考察の対象になっていました。まさか、チューリングマシンが意味がないだなんて、誰も言わないでしょう。

    そして、今となってはここに書かれている様に、計算可能な範囲でも、TREE(3)とかSCG(13)とか、グラハム数よりもずっと大きくて、数学的に意味のある考察のなされている数がいくらでも出ているわけです。そうすると、グラハム数が最大であるということを主張するためには、どういう限定をつけるかといえば、「計算可能な範囲で」「なんだか有名な数」ということになるだろうと思います。おそらく、一番重要な事実は「ギネスブックに載った」ということでしょう。

    意味の無い巨大数や関数には価値がない、ということになれば、ではチェーン表記やモーザー数は価値がないのか、といえば、これらはプロの数学者が純粋に大きな数を作るという目的のためだけに作ったものなので、「大きい」という以外の意味はないわけです。

    もともと、数学なんてそんなに意味を考えずに遊ぶものじゃないかと思っています。たとえば、素数の性質は今では色々なところで応用されていて実用 ……

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  • Kyodaisuu

    数式について

    2013年12月13日 by Kyodaisuu

    ヘルプ:編集の仕方

    ここに、数式について一言も書かれていないのは不親切だよな、ということでトークページに書き込んでおいた。

    参考になるのはこことか。

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  • Kyodaisuu

    Great and Terrible Tethrathoth

    これ、なんて訳すのがいいだろう?

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  • Kyodaisuu

    なんでもウィキア

    2013年12月13日 by Kyodaisuu

    ここ、なんでもありのウィキアっぽいけど「数学」とかいうカテが用意されているので、なにかぶち込むかな。とりあえず寿司とか。

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  • Kyodaisuu

    バージョン2

    2013年12月12日 by Kyodaisuu

    ふぃっしゅ数バージョン2の説明を書きました。巨大数論では、バージョン3でもっと簡単に分かるのだからいいだろうと、まじめに計算していませんでしたが、たぶんこんな感じになるのではなかろうかと。これで分かりますかね…。もし、なにか変なところがあったり、説明を分かりやすくしたり、計算を詳しく書き加えたりするところがありましたら、どんどん編集して下さい。それが Wiki というものなので…。

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  • Negineesan

    あれ

    2013年12月12日 by Negineesan

    とりあえず\( F_1\)を例の形で書いてみようという。

    かなりあやしいです。どんどん直す。


    \(m_0 = 3\)

    \(f_0(x) = x+1\)


    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)


    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(S_0 : [m_i , f_i(x)] → [f_{i+1}(m_i) , f_{i+1}(x)]\)


    ここで

    \(f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1) = k_i\) とする。


    っていうか、\(SS\)変換やって確かめましょう。上で定義してないけど、定義はもちろんあれです。

    \([m_0 , f_0(x)]\) に\(SS\)変換をするというのは、つまり\(S_0\)変換を\(k_0\)回することです。ので、\(SS\)変換1回目終了時には、

    \([{f_{k_0}(m_}\)  回です。これもまあいい。

    実際\(SS\)変換2回目で何やるかっつうと、\([{f_{k_0}(m_}\)回です。

    ということは、\(SS\)変換2回目にはこうなるんですよね。

    \({[f_})}}(m_})}}-1})} , {f_})}}(x)}]\)

    はい。というわけで、\(SS\)変換3回目あたりから雲行きが(表記的に)困ったことになってきます。

    \(SS\)変換3回目の、\(S_0\)変換の回数を出してみましょう。これは、

    \( {k_0}{\cdot}}{\cdot}{f_})}}}(m_})}}) \ ……






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  • Kyodaisuu

    どこからが巨大数?

    2013年12月12日 by Kyodaisuu

    どこからが巨大数なのかというのは人それぞれで、その人が「これは巨大だなぁ」と驚けば巨大数なわけです。チェーンとかふぃっしゅ数とか当たり前のように使っていると、無量大数では驚かなくなってしまいますが、まぁ無量大数を巨大数とすることには、多くの人は違和感がないでしょう。英語だとlarge numberと言うので、これは日本語の「巨大数」とは違って「大きな数」という意味です。Sbiis Saibianは、最小のlarge numberは2であるとしていて、これは2は1よりも大きいから大きな数になる、ということです。たしかに、英語だとそうなりますね。本家 Googology wiki では、最近まで100以上の数を対象としていたのですが、最近その制限を解除して100までの数も対象とするようにしたそうです。百科事典として、項目を増やして充実させようということでしょう。

    「巨大数」という日本語は、単に大きい数というよりも、もっとものすごく大きい数、という語感がありますから、最小値を100まで下げるのはやりすぎでしょう。億にするか、兆にするか、京にするか、人によっていろいろとあるでしょうが、とりあえず京までは日常でもそれなりに耳にすることはあるので、めったに使われない垓の上から項目を立てておきました。

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  • Negineesan

    ピュモー

    2013年12月11日 by Negineesan

    ブログ書こうと思ったけど最近はあんまり巨大数の関心事ないかな。と思ったのでそんなツカミになってしまったものの。

    ホントウにそうかな?というと、勿論そんなことはなくて、自分的には先日先々日と\(F_1\)のお話なんかを

    人に説いたりして、その際にあれがあったのが、まあ瑣末なことですけども。


    \(B(m,n)\)から\(C,D,E,…\)と関数の名前を進めるのは、まあポップではあるけど煩雑なので、

    巨大数論p43のように \(s_i(m,n)\) で書いた方が便利

    この表記いつも忘れてて\( B\)から書き始めて、あとから後悔するっていう。


    そんで、

    \(B(1,1) = B(0,B(1,0)) = B(0,B(0,1)) = B(0,1+1) = 3\)

    まあこれはいいや。\(g(x)\)っていうか、\(s_i(x,x)\)に\(m\)を入れていくじゃないですか。

    このとき、

    \(s_1(3,3) = s_2(0,3) = s_2(0,s_1(1,1))  = s_2(0,s_2(0,1)) = s_2(0,s_2(1,0)) = s_2(1,1)\)

    だもんで、同様にして、

    \(s_2(s_2(1,1),s_2(1,1)) = s_3(0,s_2(1,1)) = s_3(0,s_3(0,1)) = s_3(0,s_3(1,0)) = s_3(1,1)\)

    \(s_3(s_3(1,1),s_3(1,1)) = s_4(0,s_3(1,1)) = s_4(0,s_4(0,1)) = s_4(0,s_4(1,0)) = s_4(1,1)\)

    \(s_4(s_4(1,1),s_4(1,1)) = s_5(0,s_4(1,1)) = s_5(0,s_5(0,1)) = s_5(0,s_5(1,0)) = s ……



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  • Kyodaisuu

    ふぃっしゅ数と海外の巨大数の作り方の比較について、計算可能関数の範囲内で、個人的に考えることを書きます。

    海外の巨大数論では、BEAFが標準になっていて、考え方は

    • 数字をたくさん一列に並べる配列表記を考える(多変数アッカーマン関数と同じこと)
    • 2次元、3次元と次元を増やす
    • さらに、デュラトリのように、次元の上の次元を考える
    • さらに、その上の次元を考える

    といったような拡張です。

    この「次元の拡張」という考え方と、もう一つは「関数をネストする」という考え方があります。Bird's Nested Array Notation です。たろう氏の「多重リストアッカーマン関数」も、同じ考え方です。ネストのしかたを色々と工夫して強めていくと、バードの配列表記ができたりいろいろできるような感じです。

    他にも色々な海外産の巨大数作成方法がありますが、海外で生まれた巨大数はこの2つの考え方が標準だろうと思います。まだあまり理解していないので、あやしいですが…。

    それに対して、ふぃっしゅ数は考え方のスタートが違いました。「数から数への変換である関数」から、「関数から関数への変換である写像」「その写像からその写像へと変換する写像」と、概念を高めて行くことで、どこまで関数が大きくなるだろうか、というのがふぃっしゅ数の考え方です。この抽象化を高めるという考え方が分かりにくいことが、ふぃっしゅ数がなかなか理解されない理由ではありますが、こういう考え方で巨大数を作った例は海外の巨大数論にはありませんから、そこがふぃっしゅ数のオリジナリティである、と言えます。

    バージョン4と7は計算不可能の話なので除外して、バージョン5が最高傑作だと思っています。バージョン3までは、バージョン5ができるまでの試作品のようなもので、バージ ……

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  • Kyodaisuu

    Googology Wiki 5周年

    2013年12月10日 by Kyodaisuu

    英語版の Googology Wiki を立ち上げた人にお祝いしてもらった。

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  • Kyodaisuu

    言語間リンク2

    2013年12月9日 by Kyodaisuu

    言語間リンクのリクエストはここに投げられていて、ここの処理状況を見ると、気が向いたときに一気に処理をしている感じなので、設定されるのがいつになるのかは不明。

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  • Kyodaisuu

    言語間リンク

    2013年12月7日 by Kyodaisuu

    言語間リンクにはなにか特殊な設定が必要らしく、よく分からないので、本家のブログで質問を投げておいた。

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  • Kyodaisuu

    上のナビゲーションメニューを使えるようにした。

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  • Kyodaisuu

    一番上のメニュー

    2013年12月6日 by Kyodaisuu

    「数」とか「関数」とかのメニューのところ、どうやって編集するんだろう?

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