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ブログの記事

  • Limitofempty

    このところまとまった時間が確保できずにいるので、手短に。

    豪華陣で執筆されている、あの『数学基礎論講義―不完全性定理とその発展』ですが、FGH と思われるものの訳語が「急成長階層」ではなく、「急増加関数」みたいなものになっていました。すみません、立ち読みでちら見した程度で、詳細は追っていません。「急成長階層」ではなかったというだけで、正確な記述は更に違った可能性もあります。そのすぐ下にあった定義は FGH だったようですが、文脈が異なるので違う概念を指している可能性もあります。一応メモ程度のものとして記しておきます。雑な情報ですみません。誰か専門性の高い方、調査お願いします……。

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  • Kyodaisuu

    Fish numbers to go

    だそうです。

    誰かが作ったネタなので、本気にしないで下さい…。

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  • くんどらべったらどっぽれ名無し

    ジンバブエ・ドルのインフレ率の推移

    2004 624%

    2年で2倍

    2006 1281%

    4ヶ月で2倍

    2007-4 3714%

    2007-6 11000%(非公式)

    2007-7 7638%

    2007-9 20000%(非公式)

    3ヶ月で2倍

    2008-2 66212%

    2008-4 10万%

    2008-5 16万%

    3ヶ月で2倍

    2008-6 35万%

    1ヶ月で2倍

    2008-7 903万%(非公式)

    25日くらいで2倍

    2008-8 220万%

    12日くらいで2倍

    2008-9 1120万%

    1日ちょっとで2倍

    2008-11 897垓%

    6時間くらいで2倍

    2009-1 6.5*10^108%

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  • Limitofempty

    記念すべき巨大数研究 Wiki 設立初年の最終日です。今日は巨大数納めとして、ふぃっしゅ数バージョン5 の読解に努めました。ちょっと急いで書いたので細かいところが雑です。ご了承ください。

    まず事前知識として、別分野ですが『圏論の基礎』の「はじめに」から以下を引用します。

    各射 \(f:X \rightarrow Y\) が関数を表すとしよう.つまり集合 \(X\),集合 \(Y\) および,各要素 \(x \in X\) に要素 \(fx \in Y\) を割り当てる規則 \(x \mapsto fx\) を表す.可能な限り \(f(x)\) ではなく \(fx\) と書き,不要な括弧は省略することにする.

    ここで、この文章が示す圏論に入る前の知識の話をしたいのではありません。私は知らなかったのですが、関数を書く時に括弧を省略する記法があるということを示したかったのです。これに気付くまでに、少しばかり時間を使ってしまいました。

    ではまず、『巨大数論』にあるふぃっしゅ数バージョン5 の定義をここに引用します。

    [1] 集合 \(M_n (n = 0, 1, 2, ...)\) を以下のように定める。
    • \(M_0\) = 自然数の集合
    • \(M_{n+1}\) = 写像 \(M_n \rightarrow M_n\) 全体の集合
    • \(M_n\) の元を \(M_n\) 変換と呼ぶ

    [2] \(M_n\)変換 \(m(n) (n \ge 1)\) を以下のように定める。

    \(f_n \in M(n)\) に対して、 \(m(n+1)(f_n) = g_n\) を以下で定める。
    \(f_{n-1} \in M(n-1)\) に対して、 \(g_n(f_{n-1}) = g_{n-1}\) を以下で定め ……
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  • Limitofempty

    『巨大数論』超勝手正誤表というのを作ってから、忘れていました。リンクしておきます。

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  • Aetonal

    てすとぺーじ

    2013年12月20日 by Aetonal

    主に草稿とかを書くページ


    \(f(n)=x\), when \((10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}x\)

    • \(f(1,1)=f(54)\) = Level 1
    • \(f(1,a)=f(\frac{1}{f(1,a-1)})\), Here \(\frac{1}{f(a-1)}\) might not be integer, so round it off (and so forth).
    • \(f(2,1)=f(1,54)\)
    • \(f(2,a)=f(\frac{1}{f(1,a-1)})\)
    • \(f(b,1)=f(b-1,54)\)
    • \(f(b,n)=f(b-1,\frac{1}{f(b,n-1)})\)
    • \(f(1,1,1)=f(54,1)\) = Level 2
    • \(f(1,1,a)=f(\frac{1}{f(1,1,a-1)},1)\)
    • \(f(c,1,1)=f(c-1,54,1)\)
    • \(f(c,1,a)=f(c-1,\frac{1}{f(c,1,a-1)},1)\)
    • \(f(c,b,1)=f(c,b-1,54)\)
    • \(f(c,b,a)=f(c,b-1,\frac{1}{f(c,b,a-1)})\)
    • \(f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\) = Level 3
    • \(f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\) = Level 4

    ...in general,

    • \(f(1,1,\underbrace{1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1}) = f(54,\underbrace{1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1})\)
    • \(f(1,1 ……

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  • Kyodaisuu

    寿司4話

    2013年12月19日 by Kyodaisuu

    来ましたね。ニュースに載せておきました。

    最初から最後まで、ストーリーといい数学的な内容といいどんどん展開が進んで、さすが面白かったです。

    そして、見事にアイコンが採用されました。(笑)

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  • Limitofempty

    ハイパー演算子をおおむね訳し終えました。細かいところが雑だったりするので、気が向いた人は修正をお願いします。今日は疲れたので明日にでも自分で再確認しておきます。

    ところで、この記事を訳すにあたり 2 点問題が残っています。

    まず Expansion の訳記事は、スタブか何かで存在しますでしょうか。Bowers 氏がハイパー演算子から山括弧を使った表記を経て、BEAF に至るまでの途中にあるもののようなので、非常に重要であることは間違いなく、訳してしまいたいところです。記事が重複するといけないので、記事を作った人がおられましたら、コメントをお願いします。作っているとしたらふぃっしゅっしゅ氏でしょうか。

    次に、英語版でも特に記事が作られていないようですが、ハイパー演算子の亜種である bar notation をどう訳したものか、考えがまとまらずそのままにしてあります。直訳なら棒表記ですが、bar で辞書を引いたら柵や鉄格子といった単語が出てきました。確かにこれは棒というより柵です。

    \[a + b,\, a \cdot b,\, a^b,\, {}^ab,\, \overline{a}^b,\, {}^b\overline{a},\, \overline{\overline{a}}^b,\, {}^b\overline{\overline{a}},\, \ldots\]

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  • Limitofempty

    英語版記事のところどころで、 という表記がヘルプに記載されていますが(例: ドナルド・クヌース)、リンク先 URL に en.wikipedia が出た上で ja:日本語版の記事名 とすると ja.wikipedia に飛ばす仕様は全く一般的ではなく、見る人がぎょっとするのではないかと思いますので、必要な場所ではこちらを利用したほうがいいかと思います。

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  • Limitofempty

    現在では「矢印表記」という記述が日本語圏の巨大数界隈では一般的と見ていいかと思うのですが、一部にはまだ「タワー表記」という記述が見られます。たとえば Wikipedia における「クヌースの矢印表記」のページや、個人ブログなどです。

    一番ひどいのは Wikipedia の「巨大数」のページにある説明です。

    クヌースの矢印表記(タワー表記)は、指数の積み重なりである指数タワーを記述するための、非常に単純な表記法である。

    これは明確に違うでしょう。

    冪乗のことを英語では power と言いますが、それを右上に連ねていくテトレーションを、その見た目から "power tower"、日本語だと「指数タワー」と呼ぶことはあります。しかしそのテトレーションもその右項を左上に書くと、例えば \( 3 \uparrow \uparrow 3 = {^3} 3 \) などと書けます。そしてペンテーションではもはや、トリトリなど多くの場合において指数タワーでの記述は現実的でないものになります。

    確かに矢印が 1 つの時が矢印表記として一番弱い状態であり、あとはそれを数え上げて数え上げて数え上げて……とやって強くするだけではあるので、タワーを名前に含めようとするのもわからないではありませんが、それならばハイパー演算子についても「後者関数の積み重なり」と説明できることになってしまいます。しかしこの説明では +1 のみで大きくする巨大関数全てが当て嵌まってしまいますし、そもそもこれは集合論における自然数の定義である \( n+1 = n \cup \{n\} \) そのままです。基本的な考え方のみで巨大数を記述することに限界があるので、新しいものを定義しているのですから、きちんとその説明をして、誤解を招く ……

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  • Limitofempty

    MediaWiki における記事名の制約でこういうタイトルになってしまいましたが、正確には \(H[ε_0] 以下の関数\) です。

    ふぃっしゅっしゅ氏が 2重リストアッカーマンの計算というエントリを書いてらっしゃいますが、そもそもの定義について、『巨大数論』が「まだ書きかけ版」の頃から理解ができていない状態でした。そちらではずっと第 1 式が \(A(X_1, [X, 0], X_2) = A(Y_1, Y_2)\) となっていますよね。たろう氏が元の文書でこう書いていた、ということなのだと思いますが、ここからもうさっぱりでした。ここが この Wiki における 2重リストアッカーマン関数のページでは修正されていて、\(A(Y_1, [X, 0], Y_2) = A(Y_1, Y_2)\) となっているので、\(X_1\) をどうやったら \(Y_1\) になるのだろうという混乱は消え、ああ、やっと私のような者にも理解する機会がやってきたな、という次第です。これなら読めます。あとはどのように数え上げを続けているかを掴むだけですね。元の式は、混乱していた人も多いのではないかと思います。とてもわかりやすくなりました。

    ふぃっしゅ数バージョン5 はなかなか難しいですね。後回しになっていたので早く理解したいところです。私は書き下して構造を理解するタイプなのですが、そういう行為も重要だと認識しつつも、やっとここまで到達して、ちょっと限界を感じています。書くは書くにしても、抽象化したものを概念として掴めないと先には進めないし、たとえば ε-δ 論法なんて、ずっと書いていたってしょうがないですよね。

    というわけで『寿司 虚空編』査読班の皆さん、以前より、アンドレイ・マルコフ(父)などが参 ……

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  • Limitofempty

    表題についてですが、このエントリのようにしたほうがいいのではないでしょうか。各人のブログで URL の規則が統一されている必要はないと思いますが、こちらのほうがわかりやすいと思いますから、私はこうしておきます。

    既に書いてしまった古いものも統一したい場合については、MediaWiki の Help:Redirects/ja を参照するといいのではないかと思います。一応この Wiki にも ヘルプ:Redirects というページがあります。しかし両方とも翻訳されていませんね。こういったところの翻訳もやりたいところで、暇な時にやろうか知らないけれども、どうでしょう、あまり時間を取ることができていません。私は translatewiki.net への登録申請も通っていますので、これが Wikia そのものへの翻訳作業が必要な場合でも対応が可能です。日本ウィキアはあまり知られていませんから、日本語への翻訳はあまり進んでいないようです。

    ところで、この Wiki の名前は、後からすぐに変更できないと知らずに本家と同じ「Googology Wiki」のままにしてしまいました。デザイン上のタイトルである「巨大数研究 Wiki」に変更すべきなのですが、Community Central のどこかに申請する場所があるのでしょうか。あとで探しておきます。

    追記: で出てくる、この Wiki でいうところの「Googology Wiki」という名称は、言語間リンクのように申請が必要なのですが、w:c:ja.community:Wikia:各種依頼を見たところ、「2013年11月以降の依頼に関してはお手数ですが、こちらからご連絡下さい。」とあります。そもそも元のフォーラムを見る限り、きちんとした ……

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  • Kyodaisuu

    2重リストアッカーマン関数のページで、ぼちぼちと計算をしているけど、

    \[A([n, 1], [n]) \approx f_{\omega^\omega}(n)\]

    これがようやく分かった。次に、リストの中を多変数化したときは、これも多変数アッカーマンと同じような関係になっていることは想像出来るのだけど、なかなか具体的な計算として納得出来ない。

    それにしても、よくこんな式を考えついたものだ。

    バード氏も多重リストをやっているので、比較したらどうなるか。

    \[A([1,2,3,4],[5,6],[7]) \approx f_{\omega^{(\omega^2+\omega\times2+3)\times 4}+\omega^{5-1} \times 6}(7) \]

    こんな感じか?indexの大きい順番というのは、順序数の計算では大きい順序数から先に足さないといけないから。

    式は複雑なんだけど、きちんと理解さえできれば、順序数との対応がきっちりとできるのはいいよなぁ。

    つまり、この順序数のヒドラツリーを書いてみれば、2重リストアッカーマン漸化式の構造が見えるということか。

    とりあえず定義式を貼っておく。

    \begin{eqnarray} A(Y_1, [X, 0], Y_2) & = & A(Y_1, Y_2) \\ A(Y_1, [Z, X], Y_2) & = & A(Y_1, [X], Y_2) \\ \\ A([a]) & = & a+1 \\ A(Y, [1, b+1]) & = & A(Y, [1, b], [1]) \\ A(Y, [1, b+1], [a+1]) & = & A( Y, [1, b], [A(Y, [1, b+1], [a])] ) \\ A(Y, [X, ……

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  • Kyodaisuu

    F4

    2013年12月16日 by Kyodaisuu

    ここに入れるのは遠慮していたのだけど、入れてくれたようだ…。

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  • Aetonal

     FGHのまだ極限順序数に達してないレベル\(f_m(n)\)について、具体的な計算をしてみたところ、以下の様な表が得られました。数を近似する参考にして頂ければ幸いです。

    http://www51.atwiki.jp/largenumbers/pages/28.html

     計算結果の振る舞いに多少の紆余曲折こそありましたが、最終的に\(f_m(n)\approx(n+1)\uparrow^{m-1}(n+1)\)に近似していくようです。

     ω+m以上についても今後検証していく予定です。

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  • Negineesan

    それ・追記

    2013年12月14日 by Negineesan

    これは、\( S\)変換や\( S2 \)変換を使わないで書いたもの。

    原版では\( S2 \)変換でワンクッション置いてたような操作を、まとめてチョクでぶっこんでいます。


    \(f_0(x) = x+1\)

    \( m_0 = 3 \)


    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)


    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(k_i = f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1)\)

    \(p_0 = 0\)

    \(q_0 = 0\)

    \( p_{i+1} = {k_{q_{i+1}}}{\cdot}{\prod_{t=1}^{i+1}}{p_t} \)

    \( q_{i+1} = {p_u}} \)


    \( { :  }{[{m_0},}}(1)},}(x)}]} \)


    このとき

    \( { :  }{[{m_0},}}(1)},}(x)}]} \)

    について、

    \( }}(1)} = F_1 \) とする。

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  • Kyodaisuu

    数式のヘルプ

    2013年12月14日 by Kyodaisuu

    (追記)コメントで、数式の機能はウィキア共通のものではなくてこのウィキで設定したものであることを教えてもらったので、共通ページを編集するプロジェクトは中断します。


    wikiaのw:c:ja.help:ヘルプ:編集の仕方には、数式のことがまったく書いてないので、勝手に追加しようというプロジェクトです。まずは、Googology wiki の About からコピー。


    Googology Wiki uses LaTeX (tutorial), and more specifically MathJax. Use \(x + 1 = 2\) for inline equations and \[x + 1 = 2\] for separate ones. The built-in MediaWiki math system also works, but use it sparingly — specifically, it is useful when MathJax is slow or doesn't load in blog comments.

    これを元にヘルプの形で書くと、こんな感じか?数式には、スキューズ数で出て来る素数定理を入れてみた。


    数式は、LaTeX の文法を使って入力します。ウィキアでは、MathJax あるいは MediaWiki の数式 システムを使って、数式を表示します。\(x + 1 = 2\) と書くと \(x + 1 = 2\) のように本文の中に表示され、\[lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{Li}(x)}{\pi(x)} =1\]\[ ]\ でかこんで書くと、\[lim_{x \to \infty} \frac{\mat ……



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  • Negineesan

    それ

    2013年12月14日 by Negineesan

    前の記事を延々直していても仕方ないというか、とりあえず先に進めないこともない程度にはなったのでこっちへ。

    IIの1文字にくっついて見えるやつの書き方わかったので、観念して\( {S{I\hspace{-.3em}I}}_{i} \)変換を導入しましょう。

    したらしたで要らなかったという説もあるなど。


    \(m_0 = 3\)

    \(f_0(x) = x+1\)

    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)

    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(S_0 : [m_i , f_i(x)] → [f_{i+1}(m_i) , f_{i+1}(x)]\)

    \(k_i = f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1)\)

    \( p_0 = 0 , q_0 = 0 \)

    \( p_{i+1} = {k_{q_{i+1}}}{\cdot}{\prod_{t=1}^{i+1}}{p_t} \)

    \( q_{i+1} = {p_u}} \)

    \( _{0}} = S_0 \)

    \( {S{I\hspace{-.3em}I}}_{i+1} = {S_0}^{p_{i+1}} \)

    \( { :  }{[{m_0},_{0}}}] → [}}(1)},}(x)},_{i+1}}]} \)

    このとき

    \( { :  }{[{m_0},_{0}}}] → [}}(1)},}(x)},_{63}}]} \)

    について、

    \( }}(1)} = F_1 \) とする。

    ……
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  • Kyodaisuu

    というのは、まぁ結論としては意味なんてなくてもいいと思ってやっているのでどうでもいいのですが、グラハム数が意味のある数の中で最大だけど、大きいだけの巨大数には価値が無い、という意見をちらほら見るので、それは今となっては色々微妙なところだと思います。

    まず、意味のある中で最大といえば、グラハム数ができたときから、すでにビジービーバー関数というものがありました。ここに数字をぽんと入れればあっという間にグラハム数をこえてしまう。ガードナーがおもしろおかしくグラハム数を紹介したから有名になって、ギネスブックにのったというだけの話であって、その前からグラハム数よりも大きな数は意味のある考察の対象になっていました。まさか、チューリングマシンが意味がないだなんて、誰も言わないでしょう。

    そして、今となってはここに書かれている様に、計算可能な範囲でも、TREE(3)とかSCG(13)とか、グラハム数よりもずっと大きくて、数学的に意味のある考察のなされている数がいくらでも出ているわけです。そうすると、グラハム数が最大であるということを主張するためには、どういう限定をつけるかといえば、「計算可能な範囲で」「なんだか有名な数」ということになるだろうと思います。おそらく、一番重要な事実は「ギネスブックに載った」ということでしょう。

    意味の無い巨大数や関数には価値がない、ということになれば、ではチェーン表記やモーザー数は価値がないのか、といえば、これらはプロの数学者が純粋に大きな数を作るという目的のためだけに作ったものなので、「大きい」という以外の意味はないわけです。

    もともと、数学なんてそんなに意味を考えずに遊ぶものじゃないかと思っています。たとえば、素数の性質は今では色々なところで応用されていて実用 ……

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  • Kyodaisuu

    数式について

    2013年12月13日 by Kyodaisuu

    ヘルプ:編集の仕方

    ここに、数式について一言も書かれていないのは不親切だよな、ということでトークページに書き込んでおいた。

    参考になるのはこことか。

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  • Kyodaisuu

    Great and Terrible Tethrathoth

    これ、なんて訳すのがいいだろう?

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  • Kyodaisuu

    なんでもウィキア

    2013年12月13日 by Kyodaisuu

    ここ、なんでもありのウィキアっぽいけど「数学」とかいうカテが用意されているので、なにかぶち込むかな。とりあえず寿司とか。

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  • Kyodaisuu

    バージョン2

    2013年12月12日 by Kyodaisuu

    ふぃっしゅ数バージョン2の説明を書きました。巨大数論では、バージョン3でもっと簡単に分かるのだからいいだろうと、まじめに計算していませんでしたが、たぶんこんな感じになるのではなかろうかと。これで分かりますかね…。もし、なにか変なところがあったり、説明を分かりやすくしたり、計算を詳しく書き加えたりするところがありましたら、どんどん編集して下さい。それが Wiki というものなので…。

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  • Negineesan

    あれ

    2013年12月12日 by Negineesan

    とりあえず\( F_1\)を例の形で書いてみようという。

    かなりあやしいです。どんどん直す。


    \(m_0 = 3\)

    \(f_0(x) = x+1\)


    \(s_{i+1}(0,n) = f_i(n)\)

    \(s_{i+1}(m+1,0) = s_{i+1}(m,1)\)

    \(s_{i+1}(m+1,n+1) = s_{i+1}(m,s_{i+1}(m+1,n))\)

    \(f_{i+1}(x) = s_{i+1}(x,x)\)


    \(m_{i+1} = f_{i+1}(m_i) = f_{i+2}(1)\)

    \(S_0 : [m_i , f_i(x)] → [f_{i+1}(m_i) , f_{i+1}(x)]\)


    ここで

    \(f_i(m_i) = {f_{i+1}}(1) = k_i\) とする。


    っていうか、\(SS\)変換やって確かめましょう。上で定義してないけど、定義はもちろんあれです。

    \([m_0 , f_0(x)]\) に\(SS\)変換をするというのは、つまり\(S_0\)変換を\(k_0\)回することです。ので、\(SS\)変換1回目終了時には、

    \([{f_{k_0}(m_}\)  回です。これもまあいい。

    実際\(SS\)変換2回目で何やるかっつうと、\([{f_{k_0}(m_}\)回です。

    ということは、\(SS\)変換2回目にはこうなるんですよね。

    \({[f_})}}(m_})}}-1})} , {f_})}}(x)}]\)

    はい。というわけで、\(SS\)変換3回目あたりから雲行きが(表記的に)困ったことになってきます。

    \(SS\)変換3回目の、\(S_0\)変換の回数を出してみましょう。これは、

    \( {k_0}{\cdot}}{\cdot}{f_})}}}(m_})}}) \ ……






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  • Kyodaisuu

    どこからが巨大数?

    2013年12月12日 by Kyodaisuu

    どこからが巨大数なのかというのは人それぞれで、その人が「これは巨大だなぁ」と驚けば巨大数なわけです。チェーンとかふぃっしゅ数とか当たり前のように使っていると、無量大数では驚かなくなってしまいますが、まぁ無量大数を巨大数とすることには、多くの人は違和感がないでしょう。英語だとlarge numberと言うので、これは日本語の「巨大数」とは違って「大きな数」という意味です。Sbiis Saibianは、最小のlarge numberは2であるとしていて、これは2は1よりも大きいから大きな数になる、ということです。たしかに、英語だとそうなりますね。本家 Googology wiki では、最近まで100以上の数を対象としていたのですが、最近その制限を解除して100までの数も対象とするようにしたそうです。百科事典として、項目を増やして充実させようということでしょう。

    「巨大数」という日本語は、単に大きい数というよりも、もっとものすごく大きい数、という語感がありますから、最小値を100まで下げるのはやりすぎでしょう。億にするか、兆にするか、京にするか、人によっていろいろとあるでしょうが、とりあえず京までは日常でもそれなりに耳にすることはあるので、めったに使われない垓の上から項目を立てておきました。

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  • Negineesan

    ピュモー

    2013年12月11日 by Negineesan

    ブログ書こうと思ったけど最近はあんまり巨大数の関心事ないかな。と思ったのでそんなツカミになってしまったものの。

    ホントウにそうかな?というと、勿論そんなことはなくて、自分的には先日先々日と\(F_1\)のお話なんかを

    人に説いたりして、その際にあれがあったのが、まあ瑣末なことですけども。


    \(B(m,n)\)から\(C,D,E,…\)と関数の名前を進めるのは、まあポップではあるけど煩雑なので、

    巨大数論p43のように \(s_i(m,n)\) で書いた方が便利

    この表記いつも忘れてて\( B\)から書き始めて、あとから後悔するっていう。


    そんで、

    \(B(1,1) = B(0,B(1,0)) = B(0,B(0,1)) = B(0,1+1) = 3\)

    まあこれはいいや。\(g(x)\)っていうか、\(s_i(x,x)\)に\(m\)を入れていくじゃないですか。

    このとき、

    \(s_1(3,3) = s_2(0,3) = s_2(0,s_1(1,1))  = s_2(0,s_2(0,1)) = s_2(0,s_2(1,0)) = s_2(1,1)\)

    だもんで、同様にして、

    \(s_2(s_2(1,1),s_2(1,1)) = s_3(0,s_2(1,1)) = s_3(0,s_3(0,1)) = s_3(0,s_3(1,0)) = s_3(1,1)\)

    \(s_3(s_3(1,1),s_3(1,1)) = s_4(0,s_3(1,1)) = s_4(0,s_4(0,1)) = s_4(0,s_4(1,0)) = s_4(1,1)\)

    \(s_4(s_4(1,1),s_4(1,1)) = s_5(0,s_4(1,1)) = s_5(0,s_5(0,1)) = s_5(0,s_5(1,0)) = s ……



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  • Kyodaisuu

    ふぃっしゅ数と海外の巨大数の作り方の比較について、計算可能関数の範囲内で、個人的に考えることを書きます。

    海外の巨大数論では、BEAFが標準になっていて、考え方は

    • 数字をたくさん一列に並べる配列表記を考える(多変数アッカーマン関数と同じこと)
    • 2次元、3次元と次元を増やす
    • さらに、デュラトリのように、次元の上の次元を考える
    • さらに、その上の次元を考える

    といったような拡張です。

    この「次元の拡張」という考え方と、もう一つは「関数をネストする」という考え方があります。Bird's Nested Array Notation です。たろう氏の「多重リストアッカーマン関数」も、同じ考え方です。ネストのしかたを色々と工夫して強めていくと、バードの配列表記ができたりいろいろできるような感じです。

    他にも色々な海外産の巨大数作成方法がありますが、海外で生まれた巨大数はこの2つの考え方が標準だろうと思います。まだあまり理解していないので、あやしいですが…。

    それに対して、ふぃっしゅ数は考え方のスタートが違いました。「数から数への変換である関数」から、「関数から関数への変換である写像」「その写像からその写像へと変換する写像」と、概念を高めて行くことで、どこまで関数が大きくなるだろうか、というのがふぃっしゅ数の考え方です。この抽象化を高めるという考え方が分かりにくいことが、ふぃっしゅ数がなかなか理解されない理由ではありますが、こういう考え方で巨大数を作った例は海外の巨大数論にはありませんから、そこがふぃっしゅ数のオリジナリティである、と言えます。

    バージョン4と7は計算不可能の話なので除外して、バージョン5が最高傑作だと思っています。バージョン3までは、バージョン5ができるまでの試作品のようなもので、バージ ……

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  • Kyodaisuu

    Googology Wiki 5周年

    2013年12月10日 by Kyodaisuu

    英語版の Googology Wiki を立ち上げた人にお祝いしてもらった。

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  • Kyodaisuu

    言語間リンク2

    2013年12月9日 by Kyodaisuu

    言語間リンクのリクエストはここに投げられていて、ここの処理状況を見ると、気が向いたときに一気に処理をしている感じなので、設定されるのがいつになるのかは不明。

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  • Kyodaisuu

    言語間リンク

    2013年12月7日 by Kyodaisuu

    言語間リンクにはなにか特殊な設定が必要らしく、よく分からないので、本家のブログで質問を投げておいた。

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  • Kyodaisuu

    上のナビゲーションメニューを使えるようにした。

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  • Kyodaisuu

    一番上のメニュー

    2013年12月6日 by Kyodaisuu

    「数」とか「関数」とかのメニューのところ、どうやって編集するんだろう?

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  • Negineesan

    アーオ

    2013年12月6日 by Negineesan

    アオアオアオー

    ホーオ

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  • Negineesan

    test

    2013年12月5日 by Negineesan

    アオ

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