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  • KurohaKafka

    計算と証明

    2016年8月16日 by KurohaKafka

    独自研究よりの内容のメモ。


    証明とは、公理と呼ばれる前提条件から推論規則を有限回適用して、正しいということを示したい論理式を導き出すことを言う。

    標準的な論理では、矛盾した公理からは任意の論理式が証明できてしまうため、本当に正しい証明を得るためにはその前提条件が無矛盾でなければならない。しかし無矛盾であることの証明自体にも同じことが言えてしまう。そのため、本当に正しい証明は、たとえ存在するとしてもそれがなんであるかを知ることができない、ということになってしまう。

    そこで、逆に無条件で正しいとする前提条件を作り、そこから矛盾が導かれる場合は推論規則なり方法論なりが間違っているとする立場について考える。


    これまで人間がやっていた証明を機械で自動的に扱うことはできないか、「証明する」という行為や証明そのものについて、メタな視点からなんらかのメタな定理を得られないか、という研究が20世紀初頭から興り始めたとか、詳しいことはgoogle先生に聞いてください。

    type as proposition の立場から、モダスポーネンスが関数の適用に当たる。

    ゲーデル数を利用して妥当性を形式的に確認することができるために不完全性定理が成り立ってしまう。

    論理が健全であることを示すのに、その任意の形式的証明が論理的帰結に反しないことが挙げられるが、形式主義的には論理が健全であることが先に定義される。健全でないと主張する者に対しては証明の解釈や読み方が間違っていると延々と指摘し続ければ否定しようがない、ただし自分自身その論理が理解できなくなってしまうというリスクが伴う。要するにゴリ押し。


    チューリング完全よりも弱い言語で目的のプログラムを出力するだけなら、そしてチューリング完全よりも弱い言語でいい限り、プログ ……




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  • Alemagno12

    Since Bashicu Matrix System is so strong, I divide the analysis in parts.

    This first part will cover analysis of Primitive Sequence System in FGH (Fast Growing Hierarchy)

    This is NOT meant to be accurate.


    If ordinal α is the FGH ordinal, it's a shorthand for fα(n).



    Bashicu Matrix System FGH Ordinal
    (0)[n] 2
    (0)(0)[n] 3
    (0)(0)(0)[n] 4
    (0)(1)[n] ω
    (0)(1)(0)[n] ω+1
    (0)(1)(0)(1)[n] ω2
    (0)(1)(0)(1)(0)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)[n] ω2
    (0)(1)(1)(0)(1)(1)[n] ω22
    (0)(1)(1)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)(1)(1)[n] ω4
    (0)(1)(2)[n] ωω

    Under Construction

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  • Nayuta Ito

    需要があるかどうかは分かりませんが、もしかしたら「寿司虚空編的なもの」を作る上での参考資料になるかもしれないので。


    マシモスケールは13個あるので、それらの区切り目を小さい方から順に


    (まだ私はψ関数を知らないのでM_6以降の計算ができない。多分マシモスケールの小数点以下は全て0か9だろう。)

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  • Hex347

    ラヨ数に関するメモ

    2016年6月26日 by Hex347

    メモ。正しいかどうかは分からないので注意してください。


    ユーザーブログ:Kyodaisuu/偽ラヨ数という物があることを初めて知った。最初はなぜラヨ数と違いがあるのか分からなかったが、偽ラヨ数、ラヨ数でいう「グーゴル個以内の記号で表現できる正の整数」の分布は連続的ではなく隙間があると考えると納得できた。


    自分は、ラヨ数でいう一階集合理論(FOST)は単にZFC集合論の事だと思っていたが、本当は一階述語理論によって定義された、述語関数「\( = \)」「\( \in \)」を含む理論の事であった。

    それを聞いて、「空集合などが含まれていると保障されていないといけないのでは?」と思ったが、答えがラヨ数の記事に書いてあった。説明2の節に「FOSTはを領域(domain)とするの体系である。」とある。体系と書いてあることから、ZFC集合論のようなただ一つの理論に限定されたものではないことが分かる。また、「フォン・ノイマン宇宙を領域とする」と書かれていることから、FOSTは少なくとも、フォン・ノイマン宇宙に含まれる必要がある集合の存在が保障されていることになる。


    ユーザーブログ:Hex347/アッカーマン関数の簡潔な表記でだらだら書いていたハイパー演算子の拡張(今は削除済)が、自分で納得できるものになったのでメモしておく。配列表記などで既に実現されたアイデアの気もするが気にしないでおく。

    ハイパー演算子のペア数列的表現。ある数xを取り、括弧を使ってスタック的な記法で表す。
    スタックがない場合の値の取り出し(=零変数版) [a]=a
    ここから括弧の連続を...で表す。
    一変数版 ...()[a]=...[a+x]
    二変数版 ...(1)[a]=...[a+x] ...(y)[1]=...[x] .. ……






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  • Mikadukim

    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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  • BashicuHyudora

    広義原始数列

    2016年5月28日 by BashicuHyudora
    • 原始数列
    初項\(S_{0}\)は\(0\)、\(S_{i}\)は整数、\(S_{i+1}-S_{i}≦1\)かつ\(S_{0}-S_{i}≦0\)
    • 広義原始数列
    \(S_{i}\)は整数、\(S_{0}-S_{i}≦0\)
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  • KurohaKafka

    定義はBM2によります。

    ψ関数はDeedlit氏の定義を若干変えて採用しています。 Ψ関数の左端の0は省略してます。

    C は Main Ordinal Notation System の定義を採用しています。

    B は以前の解釈による C( Cの解釈が本当に正しいのかという問題は依然として残っている。)

    σ=C(Ω_2\cdot2,0) a^+=C(Ω_2,a)

    要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2+ψ_{Ω_3}(Ω_ω\cdotΩ_2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&am ……

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  • Junjosuu

    Rayo 氏の Higher Infinite や Computability に関する講義が edx で 2015 年の 8 月にあったようです.

    https://www.edx.org/course/paradox-infinity-mitx-24-118x

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  • KurohaKafka

    行列 \(G\frown B\frown N\) をβ-簡約して

    \(G\frown B_0\frown B_1\frown\cdots\frown B_n\)

    が得られたとする。このとき、

    \(B_k\frown N_k

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  • Hex347
    この記事は執筆中です。

    この関数は計算不可能な関数にみられる共通点に着目したアイデアにより作られました。まず、非常に大雑把に言ってしまえば、計算不可能な関数は次のように表現できると思っています。

    • ビジービーバー関数は「x文字以下のプログラムで表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • クサイ関数は「x文字以下の、神託コンビネータ\(Ω\)を追加したSKIコンビネータ計算(=プログラム)で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • ラヨ数を生成する関数は「x文字以下の、一階集合理論(FOST)の言語で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。

    このように書くと、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点が見られます。〇〇の表現力が高いほど、この形式の関数の増加速度は速くなると考えられます。つまり、この推測が正しければ、〇〇の表現力を一階集合理論(FOST)よりも高めると、ラヨ数を生成する関数よりも増加速度が速い関数を作れると考えられます。この方法で作られた関数がビッグフットを生成する関数だと認識しています。

    Hex関数は、上の「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点に関する認識が正しいことを前提にした関数です。つまり、これが正しくなければ崩壊する「取らぬ狸の皮算用」的な関数です。ただ、作ってしまったので、このまま正しいとして進めていきます。

    また、この関数は、「理論とは、論理式に関する記号と公理規則と推論規則しか定義されていない一階述語論理に、対象記号と関数記号と述語記号を付け加えたものである。」という認識に依存しています。


    まず、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」の〇〇に何を入れるかですが、「一階述語論理において、自然数を表現できる理論全て」を入 ……


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  • Hex347

    この記事は執筆中です。

    アッカーマン関数は理解しづらいなと思っていました。しかし、考えを巡らせていたところ、アッカーマン関数を簡潔な表記で表す方法を見つけましたのでここにメモします。


    アッカーマン関数は非負の整数に対して次のようにして定義されます。


    このくらいにしておきます。さて、2の壁がなくなったとき、大量の1が出来ました。1の壁は積み重なった0の壁を作り、2の壁は積み重なった1の壁を作り、nの壁は積み重なったn-1の壁を作るというのが、もう一つの規則性です。

    このリストのような表記法で計算するというのは、「アッカーマン関数」「スタック」と検索すれば出てくる手法です。

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  • KurohaKafka

    言語Lが完全であるとは、Lで記述される任意の文章について、それが正しいのであれば正しいという証明をLによる表現のみで導くことができることを意味する。

    「正しい」とはどういうことかについては、最終的に各個人の直観なり信仰なりに委ねるしかなく、そこは数学で扱うところではない(完全かどうかも最終的には各個人に委ねることになる)。

    モデルとは、2値論理に限定して、任意の概念について矛盾することなく真か偽を決定することで決まる。

    Lが完全であるとき、モデルが存在するのであればそのモデルの存在をLから矛盾を導けないことで保証してもらうことができる。

    言語Lで記述可能な式(簡単のため可算無限個だけ存在するとする)を \(φ_0,φ_1,φ_2,\cdots\) と並べる。

    \(φ_0\) から真理値を矛盾が導かれないよう割り当てていく。

    さて、ここで \(φ_n\) の真理値をどこまでも矛盾が導かれることなく割り当てることができたとき、すべての真理値を割り当て終えた後も矛盾が導かれないかどうかが問題となる。

    矛盾しているのであればモデルは存在しない。また完全性が成り立つのであれば、必ず矛盾を導き出すことができる、すなわち矛盾しているという証明が存在する。

    その証明に表れる式は有限個である(ここでは有限言語のみで考える)ため、任意の \(n\) の段階で矛盾が導かれないのであれば全体でも矛盾が導かれることはない。

    よってコンパクト性定理が成り立つ。

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  • Hex347

    新しい関数の提案

    2016年2月26日 by Hex347
    恥ずかしいことに、この記事には大きな間違いが含まれています。

    少なくともラヨ数より大きい数を作る方法を思いつきました。なので、ここに書き留めておきたいと思います。


    ラヨ関数は一階述語論理の上に構築されたZFC集合論を基礎として作られています。しかし、集合論はそのほかにも選択公理を認めない集合論、巨大基数が存在するという公理を付け加えた集合論、連続体仮説を否定するか肯定するかのどちらかの公理をZFC集合論に付け加えた集合論など様々なものがあります。 このことから、一階述語論理で表せる論理そのものを対角化した、「一階述語論理の上でx文字以内で構築できる論理で表すことが出来る数を返す関数f(x)」は明らかにラヨ関数よりも強いと考えられます。

    ただし、論理はさまざまな種類があるので、それによって作られる物にはさまざまなものがあります。それらの中には数とはとても呼べないようなものも含まれています。これは難しい問題ですが、ペアノの公理を満たすものだけを数と定義すれば、うまく数と呼べないものを除けるのではないのでしょうか。

    これを考慮した定義を言葉で表すのは難しいので、架空的な計算過程を書くことで定義とします。

    1. 一階述語論理を基礎として、その論理を定める物(公理や推論規則など)がx文字以内で構築できる論理全体のリストOを求める。
    2. Oのうち、ペアノの公理を満たす構造を定義できない論理を除いたリストQを求める。
    3. Qを構成する論理すべてに次の操作をする。
      1. この論理を使って定義できるペアノの公理を満たす構造全体のリストNを求める。
      2. Nを構成する構造すべてに次の操作をする。
        1. この構造である物のうち、この論理を使ってx文字以内で定義できる物全体のリストRを求める。
        2. リストRを構成する物のうち、「これより小さい物Aとこ ……

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  • KurohaKafka

    不完全性定理

    2016年2月19日 by KurohaKafka

    ある言語で記述可能な論証体系における任意の証明が妥当であるかどうかの判断を、その理論による形式的な証明におきかえることができる場合にのみ成り立つ。不動点定理を使って証明する。ロッサー文で直接矛盾に条件を弱めた場合を証明できる。便利。


    妥当であることの判断をその理論による証明に置き換えられないような証明の方法によって、その論証体系があずかるその理論の無矛盾性を自分で証明できることが考えうる。

    ただし存在を示すことができたところでそれが実際に人間に扱える言語であるとは限らない。

    言語としてのプレスバーガー算術なら人間でも扱うことができる。

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  • KurohaKafka

    ラヨ関数

    2016年2月16日 by KurohaKafka
    • 0はいかなる数の後者でもないただひとつの自然数
    • 任意の自然数は後者と呼ばれるただひとつの自然数を持つ
    • 異なる自然数は異なる後者を持つ
    • 任意の自然数の部分集合は最小値を持つ

    以上をそれぞれの言語に翻訳すればよい。またラヨ関数を定義するためには以上を非自明な公理としてあれば十分である。


    • その言語で定義できない関数の導入→ふぃっしゅ数バージョン7
    • ラヨ階層を議論対象へ追加、あるいは真理述語の導入→ビッグフット
    • 真理述語の階層を議論対象へ追加→リトルビッゲドン
    • 関数記号の導入→FOFT(1階の関数論)
    • 無条件の定義可能性に関する述語の導入→(未定)

    FOST で記述できない程十分複雑な関数 f を FOST に追加することでラヨ関数を定義できるようになる。さらに1階述語論理で決定不可能な関数を導入することでより多くを望むことができるようになる。


    \(∀x(φ(x)∧x\in0)\)

    \(∀x(φ(x)∧x\in a→x\in succ(a))∧a\in succ(a)\)

    \(a≠b→succ(a)≠succ(b)\)

    φ はFOSTで記述できない述語。a_0 がユニークに定義されなくてもある自然数 n の条件を必ず満たされなければならないとき、その論理式は n を命名しているとする。

    計算可能レベルに還元できることが望ましい

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  • KurohaKafka

    Z 2

    2016年2月14日 by KurohaKafka

    \(\mathcal{M}=\{ 0,S,+,\cdot,

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  • KurohaKafka


    Dは多次元空間の座標系で、その要素はすべて非負整数。 e_iはDのi番目の要素


    次数が小さくなっていくことを利用して再帰に利用するなりエンコードとして使うなり。

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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン1とバージョン2で使われるSS変換を, 自分が見やすいと思う書き方で表示してみます. 書き方を変えただけなので新しい内容は何もないです, 念のため.  間違っていたら指摘していただけると助かります.


    • 0以上の整数を「数」, 数全体から数全体への写像を「関数」, 関数全体から関数全体への写像を「変換」と呼ぶことにする. S変換は変換の一例である.
    • 変換 \(S\) に対して, 新たな変換 \( S^* \)を次で定義する.

    \[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x). \]


    「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」から「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」への写像 SS を以下のように定義し, SS変換と呼ぶ.


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, S^{f(m)}f,\, S^{f(m)}) \).


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \).


    SSをバージョンiのSS変換とする(i=1,2). 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を, \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) は S変換 とするとき, \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をバージョンiのふぃっしゅ数, 第2成分をバージョンiのふぃっしゅ関数と定義する.

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  • Kyodaisuu

    『巨大数論』の2版を作り始めました。初版を発行してから、この巨大数研究 Wiki 等で色々とやってきてアップデートされた知見を盛り込んでいきたいと考えています。まずは、ベータ版を発行して、少しずつ内容を更新していきます。こちらにベータ版をアップしました。

    ベータ版では、初版からの更新箇所を青字で記しています。細かい修正は除きます。

    随時アップデートして、たまに更新情報などをここにコメントで書き込もうと思います。

    誤字脱字、内容に関する疑義や質問等は、著者へ連絡していただけるとありがたいです。

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  • Dummy index
    • \( \text{base} \approx \exp(1/e) \)で通過するのに時間がかかるあたりで速度むらがないこと、という要請を立てて、base=1.5, 1.45, 1.445の3パターンでテトレーションの補間式を作った
    • \( {}^xa \gg a \)の場合に\( {}^{x+1}a = a^{{}^xa} \approx b^{{}^xa} \)である(≫や≈の意味とか後述)、という件を発展させて、\( {}^xa \approx {}^yb \)なら\( {}^{x+c}a \approx {}^{y+c}b \)という要請を立てて、底を振れるようにした
    • \( \text{base} = e \)で某所 と答え合わせをしたら…

    普通の(高さが整数の)テトレーションにより、つなげたい点をいくつかピックアップできる。さて、これをいきなり多項式補間しても振動が激しくなり気持ち悪い。問題の性質からy=a^xの曲線とy=xの間のギャップに比例して値の移動速度が決まるとして、一番近くなった点を中心に二次まで考慮して微分方程式を立てて解くとtanが現れる。点の動き方がtanぽくなることが予めわかっているのでyを変数変換し多項式補間への負担を軽くしてあげよう。

    以下gnuplot表記

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  • Dummy index

    近似式案

    工学系の人間としては複雑な正解より簡単な近似式がほしいのです。

    • 面倒なパラメータはなるべく少なく
    • 区間境界で微係数が一致するだけではなくなるべく広範囲にわたってゆるやかに近似できる関数がよい
    • つまり気持ちは全域正解を目指す
    • 一定の距離の関係(例えば\(f(x+1)=f(x)+1\))だけが与えられたら、いくらでもバリエーションができてしまう(例えば\(f(x)=x\)に対して\(g(x)=x+\sin(2 \pi x)\))
    • であるから必要な関数だけを自然な形で含んでいる近似式が正解に近いはず(願望)

    境界条件は

    \(f(-1)=0, f(0)=1, \tfrac{df}{dx}(0)=\tfrac{df}{dx}(-1)\log(a)\)

    ここでaは底である。 

    系A(一次微係数のつじつまをexpの当てはめで、p(a)部分は恣意的)

    \[p(a,x)=(x+1)(x+0.5)x\log(a)^{0.62}/5\]

    \[ q(a,x)= \begin{cases} x+1+p(a,x) & \text{if}\ a=e, \\ \frac{\exp((x+1+p(a,x)) \log(\log(a)))-1}{\log(a)-1} & \text{otherwise}. \end{cases} \]

    \[ ^xa \approx \text{teta}(a,x)= \begin{cases} \log(\text{teta}(a,x+1))/\log(a) & \text{if}\ x \le -1, \\ q(a,x) & \text{if}\ -1 < x \le 0, \\ \exp(\text{teta}(a,x-1) \log(a)) & \text{otherwise}. ……

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  • 巨大数はじめました



    【0】 はじめに

    『プロジェクト・オメガ』とは…、

    簡単に言うと、ε₀以上の順序数を、ωで表記しよう、ということです。

    ωとBEAFで表記することで、それぞれの順序数の位置関係が見えてくることでしょう。
    (テトレーションやチェーン表記もBEAFで表記できます)
    『極限順序数の一覧』も、併せてご覧ください。

    ε₀は、『イプシロン・ゼロ』『イプシロン・ヌル』『イプシロンノート』などの読み方がありますが、
    ここでは、『0番目のイプシロン』という読み方も、状況により使います。
    また、『ε(0)』という表記も使うこともあります。
    『ε(n)』は、『n番目のイプシロン』ということになります。

    (何かありましたら、コメントにてご連絡ください)


    【1】 ε₀、そしてその先へ…。

    ε₀は、α=ω↑αが成立する最小の順序数である。
    つまり、ε₀=ω↑ε₀ が成立する。

    ε₀=ω↑↑ω とすると、
    ε₀=ω↑ε₀ は、
    ω↑↑ω=ω↑↑(1+ω) と書くこともできる。

    では、ω↑↑(ω+1) は、どうするか?
    このまま、ω↑ε₀ と書くと、 ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) の区別がつかない。
    しかし、
    ω↑ε₀ = ω↑↑(1+ω) = ω↑↑(ω+1)
    とするわけにもいかない。
    ( ∵ 1+ω ≠ ω+1 )
    では、どうしたものか?



    【2】 ε(0)からε(1)まで

    ここで、 ε₀+1 を出発点とすることにする。
    そして、 ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+1) という近似式を使う。

    これにより、ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) を区別することができるようになった。

    ω↑↑ω ≒ ε₀+1 であり、
    ω↑↑(1+ω) ≒ (ω↑ε₀)+1 = ε₀+1 であり、
    ω↑↑(ω+1) ≒ ω↑(ε₀+1) である。

    このとき、
    ω↑ω↑(ε ……
















































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  • BashicuHyudora
    A=9:dim B[∞] for C=0 to 9 for D=1 to A B[D+1]=D next for E=A+1 to step -1 A=A*A for F=0 to E if B[E-F] 全文を読む >
  • Junjosuu

    hoge

    2015年7月7日 by Junjosuu
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  • 巨大数はじめました

    ふぃっしゅ数ver2のSS変換は、この図を使うと計算できるかもしれません。
    S変換が大きくなる過程が省略されていますが、ご了承ください…。






    【 SS変換1回目 】

    m=3 と f(x)=x+1 より、f(m)=3+1=4 となる。
    m=3 と f(x)=x+1 に、S変換を4回繰り返すと、n=A(4,1,1) と p(x)=A(4,0,x) が生み出される。
    m=3 と f(x)=x+1 に、S変換をx回繰り返すと、q(x)=A(x,1,1) と g(x)=A(x,0,x)=A(1,0,0,x) が生み出される。

    n=A(4,1,1) と g(x)=A(x,0,x)=A(1,0,0,x) を、次のSS変換で使う。
    p(x) と q(x) は、使わない。




    (ここから先は検証が必要です)

    【 SS変換2回目 】

    m=A(4,1,1) 、 f(x)=A(1,0,0,x) とする。
    ここで、m=A(4,1,1)≒A(1,0,1,1) と近似する。
    大きく異なるが、こまけぇこたぁいいんだよ(ぉ)。

    m=A(1,0,1,1) と f(x)=A(1,0,0,x) に、S変換をf(m)回繰り返すと、 n=A(1,f(m),1,1) が生み出される。
    ここで、A(1,f(m),1,1)≒A(2,0,1,1) と近似する。
    (f(m)の計算は省略して、そのままf(m)を用いています、ご了承ください…。)
    (p(x)は省略)
    m=A(1,0,1,1) と f(x)=A(1,0,0,x) に、S変換をx回繰り返すと、 g(x)=A(1,x,0,x)=A(2,0,0,x) が生み出される。
    (q(x)は省略)


    【 SS変換3回目 】

    m=A(2,0,1,1) 、 f(x)=A(2,0,0,x) とする。
    m=A(2,0,1,1) と ……




































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  • BashicuHyudora

    フェファーマン・シュッテの順序数である\(\Gamma_0\)を越える分析から,独自の順序数表記,順序数崩壊φ階層を使用します.


    \begin{array}{ll} (0)&=&\\ 1&=&\\ \phi_0(0)\\ \\ (0)(0)&=&\\ 2&=&\\ \phi_0(0)+\phi_0(0)\\ \\ (0)(0)(0)&=&\\ 3&=&\\ \phi_0(0)+\phi_0(0)+\phi_0(0)\\ \\ (0)(1)&=&\\ \phi_0(1)\\ \\ (0)(1)(0)(1)&=&\\ \phi_0(1)+\phi_0(1)\\ \\ (0)(1)(1)&=&\\ \phi_0(2)\\ \\ (0)(1)(1)(1)&=&\\ \phi_0(3)\\ \\ (0)(1)(2)&=&\\ \phi_0(\phi_0(1))&=&\\ \phi^2_0(1)&=&\\ \phi^3_0(0)\\ \\ (0)(1)(2)(1)&=&\\ \phi_0(\phi_0(1)+1)\\ \\ (0)(1)(2)(3)&=&\\ \phi_0^4(0)\\ \\ (0,0)(1,1)&=&\\ \phi_1(0)\\ \\ (0,0)(1,1)(1,0)&=&\\ \phi_0(\phi_1(0)+1)\\ \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)&=&\\ \phi_0(\phi_1(0)+\phi_1(0))\\ \\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)&=&\\ \phi_0(\phi_0(\phi_1(0)+1))&=&\\ \phi_0^2(\phi_1(0)+1)\\ \\ (0,0)(1,1)(1,1)&=&\\ \p ……


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  • Limitofempty

    このエントリの内容は検証のために記述したものですが、コメント欄による各位の指摘によって適切な理解に到達できました。とりわけふぃっしゅっしゅ氏の

    \(s(2)^2f(x)=s(2)s(2)f(x)\)を考えた時に、右側の \(s(2)f(x)\) を最初に計算してしまうと、それは「関数」ではなくて「数」になってしまいます

    という説明が助けになりました。今見れば当たり前のことですが、当時はだいぶ混乱してしまっていたようです。長らく放置してしまいましたが、とりあえず検証はできたということで、修正記事のほうに戻ります。

    (2015-12-26 に追記)


    先の記事に対し、途中まで訂正を行なった記事に引き続き訂正をしたいところなのですが、まず検証をします。前の訂正記事の最後に「ユーザー:Kyodaisuu

    さて、s(n)変換の定義からです。

    \begin{align} s(1)f &:= g; g(x)=f^x(x) \\ s(n)f &:= g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (n>1) \end{align}

    これを順に計算していきます。以下、この記事では常に \(f(x) = x + 1\) です。

    \begin{align} s(1)f(x) &= f^x(x) \\ &= x+x \\ &= 2x \end{align}

    これが急増加関数の \(f_1(x)\) と等しいことは自明です。次に、\(g(x) = 2x\) とした時、

    \begin{align} s(1)^{2}f(x) &= s(1)s(1)f(x) \\ &= s(1)g(x) \\ &= 2^x x \end{align}

    となり、これは \(f_2(x)\) と等しいですね。そして \(s(1)^{3}f(x) ……

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  • Anpokan

    もしかしたら編集活動もしてしまうかもしれないので、数式の練習兼気になったことを。


    http://ja.googology.wikia.com/wiki/BEAF%E5%85%A5%E9%96%80

    この「BEAF入門」の多次元配列の段落の最初のところ。

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  • Limitofempty

    最近本当に活動できていないのですが、とりあえず表題の件について。

    ユーザーブログ:Mikadukim/ふぃっしゅ数ver.1の補正型についての画像部分を文字起こしします。これは Mikadukim さんが「数式を打ち込む気力がないのでとりあえず手書きスキャンで」と仰っているので代行しているだけであり、よければ先のブログのほうに移すなどしてご活用ください。


    自然数列 \(n_0, n_1, n_2, \cdots\) を,
    \(n_0 = 3, ~ n_{k+1} = (S^{n_k}f)(n_k)\) で定める.
    但し \(S\) は S変換,\(f\) は \(f(x) = x+1\).

    \(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k=0, 1, 2, \cdots)\)
    特に \(F_{1}' := n_{63}\) とおくと,\(A(1, 0, 1, 63) \leqslant F_{1}' \leqslant A(1, 0, 1, 64)\).


    \(A\) をアッカーマン関数とするとき,\((S^k f)(x) = A(k, 0, x)\).

    \(A(1, 0, 1, 0) = 3, ~ A(1, 0, 1, 1) = A(3, 0, 3) > 3\)
    だから \(k = 0\) のときは O.K.

    \(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k \geqslant 0)\) が成り立っていると仮定するとき,

    \begin{align} n_{k+1} =& (S^{n_k}f)(n_k) \\ =& A(n_k, 0, n_k) \\ ……








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  • Mikadukim

    SS変換を使わずS変換のみを用いて、ふぃっしゅ数ver1に期待されているのと同じ程度の大きさの巨大数が作れる、というお話です。 "補正型ふぃっしゅ数ver.1" \(F'_1\) は \(F'_1 < F_1\) かつ \(\mathrm{Ack}(1,0,1,63) < F'_1

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  • Limitofempty

    以前より活動なさっていた 115.38.175.101 さんは、ログインできない状態が続いていただけで実際には Ryo.C. という名義で活動していることを編集コメントで述べておられたのですが、Ryo.C. さんとしての名義で、編集できるようになったようです。いつもご協力ありがとうございます、参考になっております。

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  • Nayuta Ito

    次のように定義された関数に関する質問がフォーラムに投稿されていた:

    [a,b,c]=[a,b[a+1,b-1,c-1],c-1] [a,0,0]=a [a,b,0]=a+b [a,0,b]=a^b

    質問は次のようなものである:

    [4,4,4],[5,5,5],[6,6,6]はそれぞれどれくらいの大きさか?
    [[9,9,9],[9,9,9],[9,9,9]]はマシモスケールで言うといくつか?

    [4,4,4]に関しては、コンピューターで計算すると一瞬で答えが出た:

    + 3 9351099336 9072041336 7241220996 1694004953 1026814952 0596369134 8122129956 3765040193 2509332811 2381933108 4945211448 7758261309 9707068263 8460915272 4495756932 8496481066 9212090315 7913294519 3867059111 3670204526 2296767761 3872284191 9751569653 9979149745 8096471870 1901925073 4432496899 5019995737 5329343476 2109271753 1930060585 9685072447 9968033629 3365855780 1656699639 6032257392 8240643859 133 ……
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  • Limitofempty

    引用部分CSS

    2014年9月16日 by Limitofempty

    表題の件につきまして、要は本文中の blockquote タグに対し CSS を付けました。「“」と「”」を :before と :after に付けるような、よくあるやつです。

    以下にサンプルを示します。『ヒルベルトのケーニヒスベルクでの講演』からの引用です。

    昨今,哲学者のような身振りや悟りきったうような言調で文明の没落について予言したり, 科学的不可知論に逃げこんだりする人たちがいるが,我々は彼等の言葉を決して信じるべきではない. 我々にとって不可知論はあり得ないし,自然科学全体にとってもこれは全くあり得ないことであると確信する. ナンセンスな不可知論とは正反対に,我々の合言葉は次のようなものである:

    我々は識らなくてはならない,
    (そして必ずや)識るに至るであろう

    ミーミーミーロッカプーワ・ウンパなどでも引用の実例を確認できます。

    PC 版 UI における引用部分の標準 CSS があまりにもひどく、「ユーザー_ブログ:Limitofempty/2013/12/31/巨大数納め」などにあるように、長い定義を引用した場合などにどこからどこまでなのか一目では非常にわかりづらかったのですが、改善しました。ユーザー_ブログ:Limitofempty などを見ると、確かに引用かも知れないけども、どうなんだろう、というレンダリングになっているところが出てしまっていますね。そのうち考えます。

    この対応は、プレビュー画面、スマホ版 UI には無関係です。

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  • Kyodaisuu

    アペタイザー

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    en:User_blog:Deedlit11/Bignum_Bakeoff_appetizer というのがあったので、原始数列のプログラムでエントリしておきました。Bignum Bakeoff ルール準拠で 161 文字。

    ただ、今回はC言語じゃなくてもいいそうです。

    int b で b=0 になるからいいかと思っっていたら、C では 0 に初期化されるとは限らないということのようなので、b=9 にしたら 163 文字になった。

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  • Kyodaisuu

    FBさん改名

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    名前変えたみたいです。en:User_blog:Vel!/Rebranding

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  • Kyodaisuu

    ω^ω^ω

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    バシク行列計算機で、nを一定にして (0,0)(1,1)[3] の計算、つまり (0)(1)(2)(3)[3] の計算をやると、数列の長さが 12288 よりも大きくはならずに、延々と計算が続きます。長さが爆発するのではなくて、同じくらいの長さで計算が続くので、どのくらい続くんだろうと思って計算をやっていました。結果を貼っておきます。

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  • Kyodaisuu

    ユーザー_ブログ:BashicuHyudora/バシク行列システムの定義とバシク数について に、バシク数のオリジナルBASICコードとしてこのようなコードがアップされました。


    となるので、これを定義とするのが分かりやすいと思います。新しいプログラムを書くと、それを動かすための検証コードを書いて、それがすでに確認されている検証コードと一致することを確認しないとならないので、面倒です。まずは、こちらを「定義」として固めてしまってから、この定義に沿う別のプログラムを書く、というのであればいいのですが、定義なのですからすでに検証がされているものを使う方が安全です。

    ちなみに、Bignum っぽいのもやってみましたが、340文字です。問題は、これが本当にきちんと定義されるかどうか(計算が終了するかどうか)、です。証明はまだ難しいですが終了しそうな気がしますし、そうすればミーミーミーロッカプーワ・ウンパは超えそうな気がします。ローダー数は、得体が知れない感じですね…。

    とりあえずは、バシク行列の定義がプログラムの形でしか出ていないので、ほとんどの人は理解出来ていないと思います。計算の手順について、言葉による説明を待ちたいところです。


    1. define A a[l+f
    2. define M = malloc(20),
    3. define W while (

    main(f) {

    int *a M *b M d=10, g, j, k, l, m, n=9, y; W d--) { y=n; f=j=y*2; W j--) a[j++] = j= A ]) j = 0; if (j) {l=y; g=k; W l-- ) b[l] = l < m-1? A ]- A - k]: 0;} ……

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  • BashicuHyudora

    順序数の整理

    2014年9月12日 by BashicuHyudora
    BIGG≒f_{ψ_Ω(ψ_{I_ω}(0))}(200)≒{L,X,2}200,200≒(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)[200]
    {L,X,2}=ψ_Ω(ψ_I(I_ω)) {L,X,3}=ψ_Ω(ψ_I(I_{ω^2}))
    {L,X,X}=ψ_Ω(ψ_I(I_{ω^ω}))
    {L,L,X,2}=ψ_Ω(ψ_I(I_I))
    {L(1)X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(0)))
    {L(2)X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ω)))
    {X^^X&L,X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ε_0)))
    {{LX,X}&L,X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ψ_Ω(Ω_ω)))) 全文を読む >
  • Kyodaisuu

    バシクさんのブログに投稿されたトリオ数列検証コードを、書き直してみました。yabasic で実行した時の出力は、元の検証コードと同じになることを確認しています。トリオ数列なので C=2 ですが、C=3 とすれば4つ組数列に拡張でき、さらに一般的にバシク行列の計算ができるのではないかと思います。また、元のコードで A(x) はここでは A(0,x) に、B(x) はここでは A(1,x) に、C(x) はここでは A(2,x) になります。

    初期値は、最初に A$ で設定した値を解釈して入れています。ここを、ウェブのフォームから入力して結果を出力するようなシステムを構築すると、検証が楽になりそうです。

    matrix.bas

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  • Kyodaisuu

    en:User_blog:Kyodaisuu/A program of Kirby-Paris hydra に、巨大数探索スレッドにアップされた \(f_{\epsilon_0+1}(10)\) を計算するプログラムをアップしました。このプログラムを、User:Aycabta さんが C に移植したものを元にして、ハーディー階層を計算するプログラムにしました。いじったところは、

    • c のループを外した
    • b=b*b の計算を外して、b++ の処理を後続順序数の時にだけする
    • 首をコピーする個数を b-1 にする; for (h = 1; h 100000000 または e > 10000 で終了する(b=2とb=3 では、e の条件を外した)
    • g > 0 の時に、途中経過を表示すること

    です。そして、このプログラムで、ハーディー階層の展開をしてみました。以下が、結果です。

    • \(H_{\omega^{\omega}}(2)\): b=2
    • \(H_{\omega^{\omega^\omega}}(3)\): b=3
    • \(H_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(4)\): b=4

    ここで、b=4では、計算の途中までですが、bの値が増えていません。これは、ここまでの計算がすべて極限順序数であり、後続順序数が出ていないことを意味します。したがって、b=4の計算は、FGHの展開でも計算結果が表示されている範囲では同じ結果になります。

    b=3 の時は、

    0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ……

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  • Kyodaisuu

    テトレーションの連続関数化では、テトレーションの連続化と逆関数を拡張して、ペンテーション、そして矢印表記を連続関数化しました。続いて、チェーン表記の連続関数化について考えます。

    まずは、矢印表記の式を3つ組チェーン表記に直して、定義域を \(x > 0, n \ge 1, n \in \mathbb{N}\) とします。

    \begin{equation} a \rightarrow x \rightarrow n = \begin{cases} a^x & \text{if } 0 < x \le 1 \text{ or } n=1 \\ a \rightarrow (a \rightarrow x-1 \rightarrow n) \rightarrow n-1 & \text{if } 1 < x, 1 < n \end{cases} \end{equation}

    この定義を一般化して、任意長のチェーンにするためには、\(n \in \mathbb{N}\) を実数に拡張する必要があります。

    チェーンの数字はすべて正の実数、\(x>0, y>0, a>0, A\) を任意長のチェーンとして

    \begin{equation} A \rightarrow x \rightarrow y = \begin{cases} a^{xy} & \text{if } 0 < y \le 1, A=a \\ A \rightarrow xy & \text{if } 0 < y \le 1, \text{Aが2個以上の数字} \\ A \rightarrow x \rightarrow (y-1) & \text{if } 0 < x \le 1, 1 < y \\ A \rightarro ……

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  • Limitofempty

    あったほうが便利だろうと思い、テンプレート:Doi を作成しました。へのリンクを自動的に生成します。


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  • Limitofempty

    色々と精査した結果、User_blog:Limitofempty/急増加関数とs(n)変換 の細かいところにミスがあることがわかり、修正しました。

    訂正前に、具体的には以下の急増加関数の書き下し部分で間違えていました。繰り返し書いておきますが、この書き下しは間違いです。

    \begin{align} f_{\omega \times 2}(3) =& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ =& f_{\omega + 3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}^{3}(3) \\ =& f_{\omega + 1}^{27}(3) \\ =& f_{\omega}^{7625597484987}(3) \\ & \vdots \\ \end{align}

    以上の書き下しは間違いです。ちなみに \(f_{\omega + 2}^{3}(3) = f_{\omega + 1}^{27}(3)\) の時点でおかしくなっています。このような法則はありません。後はこの間違いを前提に書き下しが続いていたので省略しています。

    そこで以下が正しい書き下しです。

    \begin{align} f_{\omega \times 2}(3) =& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ =& f_{\omega + 3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}^{3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(3))) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(3))) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{ ……

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  • Kyodaisuu

    CKF関数

    2014年7月2日 by Kyodaisuu

    CKF関数 は、自然数を引数として順序数を返す関数である。

    \begin{eqnarray*} CKF(0) &=& 1 \\ CKF(1) &=& 2 \\ CKF(2) &=& 3 \\ CKF(3) &=& \omega \\ CKF(4) &=& \omega+1 \\ CKF(5) &=& \omega 2 \\ CKF(6) &=& \omega^2 \\ CKF(7) &=& \omega^\omega \\ CKF(8) &=& \omega^{\omega^\omega} \\ CKF(9) &=& \epsilon_0 = \phi(1,0) = \psi(0) \\ CKF(10) &=& \epsilon_1 = \phi(1,1) = \psi(1) \\ CKF(11) &=& \zeta_0 = \phi(2,0) = \psi(\Omega) \\ CKF(12) &=& \Gamma_0 = \phi(1,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega}) = \vartheta(\Omega) \\ CKF(13) &=& \phi(1,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^2}) = \vartheta(\Omega^2) \\ CKF(14) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\omega}) = \vartheta(\Omega^\omega) \\ CKF(15) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\Omega}) = \vartheta(\Omega^\Omega) \\ CKF(16) &=& \psi(\epsilon_{\Omega+1}) = \vartheta(\v ……

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  • Kyodaisuu

    巨大数スケール関数の作成は、Veblen階層まで来たので、次はバッハマン・ハワード順序数を目指します。そのためには順序数崩壊関数を使うので、まずは整理します。

    Googology wiki にはΘ関数とΦ関数、Ψ関数のページがあり、急増加関数では1変数のθ関数が使われています。Wikipedia では、 で\(\psi\)関数が説明されています。ここでは、急増加関数のページにおけるθ関数と、Wikipedia の ψ関数を比較します。


    \(f_{\alpha}(n)\) のBEAF近似


    \(X \uparrow\uparrow\uparrow X \&\ n\)

    \(X \uparrow^{4} X \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,2X,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,2,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,3 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X (1) 2 \rbrace \&\ n\)
    \(\{X,X,2(1)2\}\&n\)
    \(\{X,X,2(0,1)2\}\&n\)
    \(\{X,X,2((1)1)2\}\&n\)
    \(X\uparrow\uparrow X\&X\&n\)

    ハーディー階層やFGHによる定義をするためには、基本列を定める必要があります。基本列の定め方については、 に書かれています。この基本列を使って、BHO関数を

    \[BHO(n) = f_{\psi(\varepsil ……


















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  • Kyodaisuu

    巨大数スケール関数で、\(\epsilon_0\)以上のレベルを作るために、多変数アッカーマン関数の1変数化と同様にして多変数 Veblen 階層 + ハーディー階層の1変数化をしてみます。ここでは、3進数で展開してみます。

    \[V(\sum_{k=0}^{n} 3^k a_k) = H_{\phi(..., a_3, a_2, a_1, a_0)}(3) \]

    ここで採用する Veblen 階層の基本列については、以下の計算の中で示します。

    \begin{eqnarray*} V(0) &=& H_{\phi(0,0)}(3) = H_1(3) = 4 \\ V(1) &=& H_{\phi(0,1)}(3) = H_\omega(3) = 6 \\ V(2) &=& H_{\phi(0,2)}(3) = H_{\omega^2}(3) = 24 \\ V(3) &=& H_{\phi(1,0)}(3) = H_{\epsilon_0}(3) = H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \approx A(1,0,0,0,3) \\ V(4) &=& H_{\phi(1,1)}(3) = H_{\epsilon_1}(3) = H_{\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}}(3) = H_{\epsilon_0^{\omega}}(3) = H_{\epsilon_0^3}(3) = f_{\epsilon_0 3}(3)\\ V(5) &=& H_{\phi(1,2)}(3) = H_{\epsilon_2}(3) = f_{\epsilon_1 3}(3) \\ V(6) &=& H_{\phi(2,0)}(3) ……

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  • Kyodaisuu

    マシモ関数

    2014年6月28日 by Kyodaisuu

    マシモ関数を考案中です。様々な関数によって、様々なレベルの巨大数が作られますが、関数によって定義される巨大数の大きさはだいたい決まって来るため、それほど大きくない巨大数から非常に大きな巨大数まで、ちょうどいい案配で作成できる関数を作成したい、というのがその主旨です。「巨大数スケール関数」としていましたが、名前を変えました。マシモ関数の記事を作成しました。

    今のところ、次のような関数を考えています。適宜、このブログ記事で改訂をしていこうと思います。

    \(x \ge 1\) の時、 \[M(x) = max(10^{10x}, ^{x/5}e, H(^{x/20}2,2), H(^{H(x-70,2)}3,3), \\ V(x-72), V(3^{x-80}), BHO(x-83), O(x-85), OF(x-86),\\ L(x-90), D(5(x-94),10), \\ FC(x-80), RC(x-120)) \]

    \(0 \le x < 1\)の時、\(M(x) = 10^{10x}\)

    \(x < 0\) の時、\(M(x) = M(-x)^{-1}\)

    このように、13個の関数を max 関数でつないでいます。ここで、max 関数は引数の中で最大値を返す関数であるとします。\(M(x)\)は、\(x\)が実数の時にも定義がされる単調増加の連続関数です。テトレーションの連続関数化については、 に書かれている定義を使います。


    マシモ関数は、定義域が実数で値域が正の実数の単調増加連続関数なので、正の実数 \(x\) に対して、\(M(r) = x\) を満たす \(r\) が一意に定まります。このことは、マシモ関数の逆関数を使うと、\(r = M^{-1}(x)\) と書くこ ……


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  • Kyodaisuu

    テトレーションの連続関数化についての記事を書いていましたが、 の方法が分かりやすく簡便なので、この方法で書き直します。\(^{x}a\) を、実数\(x\)に対して次のように定義します。

    \begin{equation} {}^{x}a = \begin{cases} \log_a(^{x+1}a) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x \end{cases} \end{equation}

    すなわち、\(x>0\)の時は

    \[a \uparrow \uparrow x = \underbrace{a \uparrow a \uparrow … \uparrow a}_{floor(x)+1個のa} \uparrow (x-floor(x)) \]

    となります。ここで、floor はです。この関数は、\(a=e\) の時に最も滑らかになります。

    巨大数の大きさを比較する時には、\(a\)を同じ値にそろえればいいのですが、数学的には最も滑らかな\(a=e\)にそろえるのが良く、実用的には、\(a=10\)にそろえるのも、10の指数表記による直感が働き、Hypercalc の計算結果をそのまま使えるので、便利でいいと思います。

    以下は、計算例です。

    \begin{eqnarray} 10^{100} &=& 10 \uparrow 10 \uparrow 2 = 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow log_{10}(2) \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.301 = 10 \uparr ……

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  • Kyodaisuu

    多変数アッカーマン関数を1変数化して、\(f_{\omega^\omega}(n)\) の増加速度を持つ関数を作るためには、 \[f(n) = A(\underbrace{1,1,...,1}_n) \approx f_{\omega^\omega}(n) \] とするのが手っ取り早いわけですが、もう少し刻みを細かく取ることはできないか、ということで、こんな関数を考えてみました。 \[f(\sum_{k=0}^{n} 10^k a_k) = A(..., a_3, a_2, a_1, a_0, 10) \approx f_{... + \omega^3・a3 + \omega^2・a2 + \omega・a1 + a0}(10) \] ただし、\(f(0)=1\)とします。すなわち、次のように計算できます。

    \begin{eqnarray*} f(0) &=& 1 \\ f(1) &=& A(1,10) = 12 \\ f(2) &=& A(2,10) = 23 \\ f(3) &=& A(3,10) = 2^{13}-3 = 8189 \\ f(4) &=& A(4,10) = 2↑↑13-3 \approx 10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑19727.78 \\ f(11) & f(99) \\ f(101) & F_1\\ f(1000.1) &=& A(1,0,0,1,1) = A(1,0,0,0,3) < F_2 \approx A(1,0,0,0,63) \\ f(1000.2) &=& A(1,0,0,1,2) = A(1,0,0,0,A(1,0,0,1,1)) > F_2 \\ \end{eqnarray*}

    となります。さらに細かく定 ……

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