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  • Junjosuu

    hoge

    2015年7月7日 by Junjosuu
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  • 巨大数はじめました

    ふぃっしゅ数ver2のSS変換は、この図を使うと計算できるかもしれません。
    S変換が大きくなる過程が省略されていますが、ご了承ください…。






    【 SS変換1回目 】

    m=3 と f(x)=x+1 より、f(m)=3+1=4 となる。
    m=3 と f(x)=x+1 に、S変換を4回繰り返すと、n=A(4,1,1) と p(x)=A(4,0,x) が生み出される。
    m=3 と f(x)=x+1 に、S変換をx回繰り返すと、q(x)=A(x,1,1) と g(x)=A(x,0,x)=A(1,0,0,x) が生み出される。

    n=A(4,1,1) と g(x)=A(x,0,x)=A(1,0,0,x) を、次のSS変換で使う。
    p(x) と q(x) は、使わない。




    (ここから先は検証が必要です)

    【 SS変換2回目 】

    m=A(4,1,1) 、 f(x)=A(1,0,0,x) とする。
    ここで、m=A(4,1,1)≒A(1,0,1,1) と近似する。
    大きく異なるが、こまけぇこたぁいいんだよ(ぉ)。

    m=A(1,0,1,1) と f(x)=A(1,0,0,x) に、S変換をf(m)回繰り返すと、 n=A(1,f(m),1,1) が生み出される。
    ここで、A(1,f(m),1,1)≒A(2,0,1,1) と近似する。
    (f(m)の計算は省略して、そのままf(m)を用いています、ご了承ください…。)
    (p(x)は省略)
    m=A(1,0,1,1) と f(x)=A(1,0,0,x) に、S変換をx回繰り返すと、 g(x)=A(1,x,0,x)=A(2,0,0,x) が生み出される。
    (q(x)は省略)


    【 SS変換3回目 】

    m=A(2,0,1,1) 、 f(x)=A(2,0,0,x) とする。
    m=A(2,0,1,1) と ……




































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  • BashicuHyudora

    トリオ数列までの細かな解析 1  2


    \begin{array}{ll} \Psi_0(0)&=&(0)\\ \Psi_0(1)&=&(0)(1)\\ \Psi_0(n)&=&(0)(1)\cdot n\\ \Psi_0(\Psi_0(\Omega))&=&(0,0)(1,1)\\ \Psi_0(\Omega\cdot n)&=&(n,n)\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+1))&=&(1,1,1)\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+n))&=&(1,1,1)(2,2,1)\cdot n\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot2))))&=&(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot2))+n))&=&(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(2,2,1)\cdot n\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot2+1)))&=&(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot2+n)))&=&(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)\cdot n\\ \Psi_0(\phi_0(\Omega+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot2+\Psi_0(\phi_0(\Omega\cdot3))))&=&(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,3,0)\\ \Psi_0(\phi_0(\phi_0(\Omega+1)))&=&(1 ……


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  • Limitofempty

    このエントリの内容は検証のために記述したものですが、コメント欄による各位の指摘によって適切な理解に到達できました。とりわけふぃっしゅっしゅ氏の

    \(s(2)^2f(x)=s(2)s(2)f(x)\)を考えた時に、右側の \(s(2)f(x)\) を最初に計算してしまうと、それは「関数」ではなくて「数」になってしまいます

    という説明が助けになりました。今見れば当たり前のことですが、当時はだいぶ混乱してしまっていたようです。長らく放置してしまいましたが、とりあえず検証はできたということで、修正記事のほうに戻ります。

    (2015-12-26 に追記)


    先の記事に対し、途中まで訂正を行なった記事に引き続き訂正をしたいところなのですが、まず検証をします。前の訂正記事の最後に「ユーザー:Kyodaisuu

    さて、s(n)変換の定義からです。

    \begin{align} s(1)f &:= g; g(x)=f^x(x) \\ s(n)f &:= g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (n>1) \end{align}

    これを順に計算していきます。以下、この記事では常に \(f(x) = x + 1\) です。

    \begin{align} s(1)f(x) &= f^x(x) \\ &= x+x \\ &= 2x \end{align}

    これが急増加関数の \(f_1(x)\) と等しいことは自明です。次に、\(g(x) = 2x\) とした時、

    \begin{align} s(1)^{2}f(x) &= s(1)s(1)f(x) \\ &= s(1)g(x) \\ &= 2^x x \end{align}

    となり、これは \(f_2(x)\) と等しいですね。そして \(s(1)^{3}f(x) ……

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  • Anpokan

    もしかしたら編集活動もしてしまうかもしれないので、数式の練習兼気になったことを。


    http://ja.googology.wikia.com/wiki/BEAF%E5%85%A5%E9%96%80

    この「BEAF入門」の多次元配列の段落の最初のところ。

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  • Limitofempty

    最近本当に活動できていないのですが、とりあえず表題の件について。

    ユーザーブログ:Mikadukim/ふぃっしゅ数ver.1の補正型についての画像部分を文字起こしします。これは Mikadukim さんが「数式を打ち込む気力がないのでとりあえず手書きスキャンで」と仰っているので代行しているだけであり、よければ先のブログのほうに移すなどしてご活用ください。


    自然数列 \(n_0, n_1, n_2, \cdots\) を,
    \(n_0 = 3, ~ n_{k+1} = (S^{n_k}f)(n_k)\) で定める.
    但し \(S\) は S変換,\(f\) は \(f(x) = x+1\).

    \(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k=0, 1, 2, \cdots)\)
    特に \(F_{1}' := n_{63}\) とおくと,\(A(1, 0, 1, 63) \leqslant F_{1}' \leqslant A(1, 0, 1, 64)\).


    \(A\) をアッカーマン関数とするとき,\((S^k f)(x) = A(k, 0, x)\).

    \(A(1, 0, 1, 0) = 3, ~ A(1, 0, 1, 1) = A(3, 0, 3) > 3\)
    だから \(k = 0\) のときは O.K.

    \(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k \geqslant 0)\) が成り立っていると仮定するとき,

    \begin{align} n_{k+1} =& (S^{n_k}f)(n_k) \\ =& A(n_k, 0, n_k) \\ ……








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  • Mikadukim

    SS変換を使わずS変換のみを用いて、ふぃっしゅ数ver1に期待されているのと同じ程度の大きさの巨大数が作れる、というお話です。 "補正型ふぃっしゅ数ver.1" \(F'_1\) は \(F'_1 < F_1\) かつ \(\mathrm{Ack}(1,0,1,63) < F'_1

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  • Limitofempty

    以前より活動なさっていた 115.38.175.101 さんは、ログインできない状態が続いていただけで実際には Ryo.C. という名義で活動していることを編集コメントで述べておられたのですが、Ryo.C. さんとしての名義で、編集できるようになったようです。いつもご協力ありがとうございます、参考になっております。

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  • Nayuta Ito

    次のように定義された関数に関する質問がフォーラムに投稿されていた:

    [a,b,c]=[a,b[a+1,b-1,c-1],c-1] [a,0,0]=a [a,b,0]=a+b [a,0,b]=a^b

    質問は次のようなものである:

    [4,4,4],[5,5,5],[6,6,6]はそれぞれどれくらいの大きさか?
    [[9,9,9],[9,9,9],[9,9,9]]はマシモスケールで言うといくつか?

    [4,4,4]に関しては、コンピューターで計算すると一瞬で答えが出た:

    + 3 9351099336 9072041336 7241220996 1694004953 1026814952 0596369134 8122129956 3765040193 2509332811 2381933108 4945211448 7758261309 9707068263 8460915272 4495756932 8496481066 9212090315 7913294519 3867059111 3670204526 2296767761 3872284191 9751569653 9979149745 8096471870 1901925073 4432496899 5019995737 5329343476 2109271753 1930060585 9685072447 9968033629 3365855780 1656699639 6032257392 8240643859 133 ……
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  • Limitofempty

    引用部分CSS

    2014年9月16日 by Limitofempty

    表題の件につきまして、要は本文中の blockquote タグに対し CSS を付けました。「“」と「”」を :before と :after に付けるような、よくあるやつです。

    以下にサンプルを示します。『ヒルベルトのケーニヒスベルクでの講演』からの引用です。

    昨今,哲学者のような身振りや悟りきったうような言調で文明の没落について予言したり, 科学的不可知論に逃げこんだりする人たちがいるが,我々は彼等の言葉を決して信じるべきではない. 我々にとって不可知論はあり得ないし,自然科学全体にとってもこれは全くあり得ないことであると確信する. ナンセンスな不可知論とは正反対に,我々の合言葉は次のようなものである:

    我々は識らなくてはならない,
    (そして必ずや)識るに至るであろう

    ミーミーミーロッカプーワ・ウンパなどでも引用の実例を確認できます。

    PC 版 UI における引用部分の標準 CSS があまりにもひどく、「ユーザー_ブログ:Limitofempty/2013/12/31/巨大数納め」などにあるように、長い定義を引用した場合などにどこからどこまでなのか一目では非常にわかりづらかったのですが、改善しました。ユーザー_ブログ:Limitofempty などを見ると、確かに引用かも知れないけども、どうなんだろう、というレンダリングになっているところが出てしまっていますね。そのうち考えます。

    この対応は、プレビュー画面、スマホ版 UI には無関係です。

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  • Kyodaisuu

    アペタイザー

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    en:User_blog:Deedlit11/Bignum_Bakeoff_appetizer というのがあったので、原始数列のプログラムでエントリしておきました。Bignum Bakeoff ルール準拠で 161 文字。

    ただ、今回はC言語じゃなくてもいいそうです。

    int b で b=0 になるからいいかと思っっていたら、C では 0 に初期化されるとは限らないということのようなので、b=9 にしたら 163 文字になった。

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  • Kyodaisuu

    FBさん改名

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    名前変えたみたいです。en:User_blog:Vel!/Rebranding

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  • Kyodaisuu

    ω^ω^ω

    2014年9月15日 by Kyodaisuu

    バシク行列計算機で、nを一定にして (0,0)(1,1)[3] の計算、つまり (0)(1)(2)(3)[3] の計算をやると、数列の長さが 12288 よりも大きくはならずに、延々と計算が続きます。長さが爆発するのではなくて、同じくらいの長さで計算が続くので、どのくらい続くんだろうと思って計算をやっていました。結果を貼っておきます。

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  • Kyodaisuu

    ユーザー_ブログ:BashicuHyudora/バシク行列システムの定義とバシク数について に、バシク数のオリジナルBASICコードとしてこのようなコードがアップされました。


    となるので、これを定義とするのが分かりやすいと思います。新しいプログラムを書くと、それを動かすための検証コードを書いて、それがすでに確認されている検証コードと一致することを確認しないとならないので、面倒です。まずは、こちらを「定義」として固めてしまってから、この定義に沿う別のプログラムを書く、というのであればいいのですが、定義なのですからすでに検証がされているものを使う方が安全です。

    ちなみに、Bignum っぽいのもやってみましたが、340文字です。問題は、これが本当にきちんと定義されるかどうか(計算が終了するかどうか)、です。証明はまだ難しいですが終了しそうな気がしますし、そうすればミーミーミーロッカプーワ・ウンパは超えそうな気がします。ローダー数は、得体が知れない感じですね…。

    とりあえずは、バシク行列の定義がプログラムの形でしか出ていないので、ほとんどの人は理解出来ていないと思います。計算の手順について、言葉による説明を待ちたいところです。


    1. define A a[l+f
    2. define M = malloc(20),
    3. define W while (

    main(f) {

    int *a M *b M d=10, g, j, k, l, m, n=9, y; W d--) { y=n; f=j=y*2; W j--) a[j++] = j= A ]) j = 0; if (j) {l=y; g=k; W l-- ) b[l] = l < m-1? A ]- A - k]: 0;} ……

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  • BashicuHyudora

    順序数の整理

    2014年9月12日 by BashicuHyudora
    BIGG≒f_{ψ_Ω(ψ_{I_ω}(0))}(200)≒{L,X,2}200,200≒(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)[200]
    {L,X,2}=ψ_Ω(ψ_I(I_ω)) {L,X,3}=ψ_Ω(ψ_I(I_{ω^2}))
    {L,X,X}=ψ_Ω(ψ_I(I_{ω^ω}))
    {L,L,X,2}=ψ_Ω(ψ_I(I_I))
    {L(1)X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(0)))
    {L(2)X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ω)))
    {X^^X&L,X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ε_0)))
    {{LX,X}&L,X}=ψ_Ω(ψ_I(ψ_χ(1,0)(ψ_Ω(Ω_ω)))) 全文を読む >
  • Kyodaisuu

    バシクさんのブログに投稿されたトリオ数列検証コードを、書き直してみました。yabasic で実行した時の出力は、元の検証コードと同じになることを確認しています。トリオ数列なので C=2 ですが、C=3 とすれば4つ組数列に拡張でき、さらに一般的にバシク行列の計算ができるのではないかと思います。また、元のコードで A(x) はここでは A(0,x) に、B(x) はここでは A(1,x) に、C(x) はここでは A(2,x) になります。

    初期値は、最初に A$ で設定した値を解釈して入れています。ここを、ウェブのフォームから入力して結果を出力するようなシステムを構築すると、検証が楽になりそうです。

    matrix.bas

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  • Kyodaisuu

    en:User_blog:Kyodaisuu/A program of Kirby-Paris hydra に、巨大数探索スレッドにアップされた \(f_{\epsilon_0+1}(10)\) を計算するプログラムをアップしました。このプログラムを、User:Aycabta さんが C に移植したものを元にして、ハーディー階層を計算するプログラムにしました。いじったところは、

    • c のループを外した
    • b=b*b の計算を外して、b++ の処理を後続順序数の時にだけする
    • 首をコピーする個数を b-1 にする; for (h = 1; h 100000000 または e > 10000 で終了する(b=2とb=3 では、e の条件を外した)
    • g > 0 の時に、途中経過を表示すること

    です。そして、このプログラムで、ハーディー階層の展開をしてみました。以下が、結果です。

    • \(H_{\omega^{\omega}}(2)\): b=2
    • \(H_{\omega^{\omega^\omega}}(3)\): b=3
    • \(H_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(4)\): b=4

    ここで、b=4では、計算の途中までですが、bの値が増えていません。これは、ここまでの計算がすべて極限順序数であり、後続順序数が出ていないことを意味します。したがって、b=4の計算は、FGHの展開でも計算結果が表示されている範囲では同じ結果になります。

    b=3 の時は、

    0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ……

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  • Kyodaisuu

    テトレーションの連続関数化では、テトレーションの連続化と逆関数を拡張して、ペンテーション、そして矢印表記を連続関数化しました。続いて、チェーン表記の連続関数化について考えます。

    まずは、矢印表記の式を3つ組チェーン表記に直して、定義域を \(x > 0, n \ge 1, n \in \mathbb{N}\) とします。

    \begin{equation} a \rightarrow x \rightarrow n = \begin{cases} a^x & \text{if } 0 < x \le 1 \text{ or } n=1 \\ a \rightarrow (a \rightarrow x-1 \rightarrow n) \rightarrow n-1 & \text{if } 1 < x, 1 < n \end{cases} \end{equation}

    この定義を一般化して、任意長のチェーンにするためには、\(n \in \mathbb{N}\) を実数に拡張する必要があります。

    チェーンの数字はすべて正の実数、\(x>0, y>0, a>0, A\) を任意長のチェーンとして

    \begin{equation} A \rightarrow x \rightarrow y = \begin{cases} a^{xy} & \text{if } 0 < y \le 1, A=a \\ A \rightarrow xy & \text{if } 0 < y \le 1, \text{Aが2個以上の数字} \\ A \rightarrow x \rightarrow (y-1) & \text{if } 0 < x \le 1, 1 < y \\ A \rightarro ……

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  • Limitofempty

    あったほうが便利だろうと思い、テンプレート:Doi を作成しました。へのリンクを自動的に生成します。


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  • Limitofempty

    色々と精査した結果、User_blog:Limitofempty/急増加関数とs(n)変換 の細かいところにミスがあることがわかり、修正しました。

    訂正前に、具体的には以下の急増加関数の書き下し部分で間違えていました。繰り返し書いておきますが、この書き下しは間違いです。

    \begin{align} f_{\omega \times 2}(3) =& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ =& f_{\omega + 3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}^{3}(3) \\ =& f_{\omega + 1}^{27}(3) \\ =& f_{\omega}^{7625597484987}(3) \\ & \vdots \\ \end{align}

    以上の書き下しは間違いです。ちなみに \(f_{\omega + 2}^{3}(3) = f_{\omega + 1}^{27}(3)\) の時点でおかしくなっています。このような法則はありません。後はこの間違いを前提に書き下しが続いていたので省略しています。

    そこで以下が正しい書き下しです。

    \begin{align} f_{\omega \times 2}(3) =& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ =& f_{\omega + 3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}^{3}(3) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(3))) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(f_{\omega + 2}(3))) \\ =& f_{\omega + 2}(f_{ ……

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  • Kyodaisuu

    CKF関数

    2014年7月2日 by Kyodaisuu

    CKF関数 は、自然数を引数として順序数を返す関数である。

    \begin{eqnarray*} CKF(0) &=& 1 \\ CKF(1) &=& 2 \\ CKF(2) &=& 3 \\ CKF(3) &=& \omega \\ CKF(4) &=& \omega+1 \\ CKF(5) &=& \omega 2 \\ CKF(6) &=& \omega^2 \\ CKF(7) &=& \omega^\omega \\ CKF(8) &=& \omega^{\omega^\omega} \\ CKF(9) &=& \epsilon_0 = \phi(1,0) = \psi(0) \\ CKF(10) &=& \epsilon_1 = \phi(1,1) = \psi(1) \\ CKF(11) &=& \zeta_0 = \phi(2,0) = \psi(\Omega) \\ CKF(12) &=& \Gamma_0 = \phi(1,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega}) = \vartheta(\Omega) \\ CKF(13) &=& \phi(1,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^2}) = \vartheta(\Omega^2) \\ CKF(14) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\omega}) = \vartheta(\Omega^\omega) \\ CKF(15) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\Omega}) = \vartheta(\Omega^\Omega) \\ CKF(16) &=& \psi(\epsilon_{\Omega+1}) = \vartheta(\v ……

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  • Kyodaisuu

    巨大数スケール関数の作成は、Veblen階層まで来たので、次はバッハマン・ハワード順序数を目指します。そのためには順序数崩壊関数を使うので、まずは整理します。

    Googology wiki にはΘ関数とΦ関数、Ψ関数のページがあり、急増加関数では1変数のθ関数が使われています。Wikipedia では、 で\(\psi\)関数が説明されています。ここでは、急増加関数のページにおけるθ関数と、Wikipedia の ψ関数を比較します。


    \(f_{\alpha}(n)\) のBEAF近似


    \(X \uparrow\uparrow\uparrow X \&\ n\)

    \(X \uparrow^{4} X \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,2X,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,2,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,3 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X,1,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
    \(\lbrace X,X (1) 2 \rbrace \&\ n\)
    \(\{X,X,2(1)2\}\&n\)
    \(\{X,X,2(0,1)2\}\&n\)
    \(\{X,X,2((1)1)2\}\&n\)
    \(X\uparrow\uparrow X\&X\&n\)

    ハーディー階層やFGHによる定義をするためには、基本列を定める必要があります。基本列の定め方については、 に書かれています。この基本列を使って、BHO関数を

    \[BHO(n) = f_{\psi(\varepsil ……


















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  • Kyodaisuu

    巨大数スケール関数で、\(\epsilon_0\)以上のレベルを作るために、多変数アッカーマン関数の1変数化と同様にして多変数 Veblen 階層 + ハーディー階層の1変数化をしてみます。ここでは、3進数で展開してみます。

    \[V(\sum_{k=0}^{n} 3^k a_k) = H_{\phi(..., a_3, a_2, a_1, a_0)}(3) \]

    ここで採用する Veblen 階層の基本列については、以下の計算の中で示します。

    \begin{eqnarray*} V(0) &=& H_{\phi(0,0)}(3) = H_1(3) = 4 \\ V(1) &=& H_{\phi(0,1)}(3) = H_\omega(3) = 6 \\ V(2) &=& H_{\phi(0,2)}(3) = H_{\omega^2}(3) = 24 \\ V(3) &=& H_{\phi(1,0)}(3) = H_{\epsilon_0}(3) = H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \approx A(1,0,0,0,3) \\ V(4) &=& H_{\phi(1,1)}(3) = H_{\epsilon_1}(3) = H_{\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}}(3) = H_{\epsilon_0^{\omega}}(3) = H_{\epsilon_0^3}(3) = f_{\epsilon_0 3}(3)\\ V(5) &=& H_{\phi(1,2)}(3) = H_{\epsilon_2}(3) = f_{\epsilon_1 3}(3) \\ V(6) &=& H_{\phi(2,0)}(3) ……

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  • Kyodaisuu

    マシモ関数

    2014年6月28日 by Kyodaisuu

    マシモ関数を考案中です。様々な関数によって、様々なレベルの巨大数が作られますが、関数によって定義される巨大数の大きさはだいたい決まって来るため、それほど大きくない巨大数から非常に大きな巨大数まで、ちょうどいい案配で作成できる関数を作成したい、というのがその主旨です。「巨大数スケール関数」としていましたが、名前を変えました。マシモ関数の記事を作成しました。

    今のところ、次のような関数を考えています。適宜、このブログ記事で改訂をしていこうと思います。

    \(x \ge 1\) の時、 \[M(x) = max(10^{10x}, ^{x/5}e, H(^{x/20}2,2), H(^{H(x-70,2)}3,3), \\ V(x-72), V(3^{x-80}), BHO(x-83), O(x-85), OF(x-86),\\ L(x-90), D(5(x-94),10), \\ FC(x-80), RC(x-120)) \]

    \(0 \le x < 1\)の時、\(M(x) = 10^{10x}\)

    \(x < 0\) の時、\(M(x) = M(-x)^{-1}\)

    このように、13個の関数を max 関数でつないでいます。ここで、max 関数は引数の中で最大値を返す関数であるとします。\(M(x)\)は、\(x\)が実数の時にも定義がされる単調増加の連続関数です。テトレーションの連続関数化については、 に書かれている定義を使います。


    マシモ関数は、定義域が実数で値域が正の実数の単調増加連続関数なので、正の実数 \(x\) に対して、\(M(r) = x\) を満たす \(r\) が一意に定まります。このことは、マシモ関数の逆関数を使うと、\(r = M^{-1}(x)\) と書くこ ……


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  • Kyodaisuu

    テトレーションの連続関数化についての記事を書いていましたが、 の方法が分かりやすく簡便なので、この方法で書き直します。\(^{x}a\) を、実数\(x\)に対して次のように定義します。

    \begin{equation} {}^{x}a = \begin{cases} \log_a(^{x+1}a) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x \end{cases} \end{equation}

    すなわち、\(x>0\)の時は

    \[a \uparrow \uparrow x = \underbrace{a \uparrow a \uparrow … \uparrow a}_{floor(x)+1個のa} \uparrow (x-floor(x)) \]

    となります。ここで、floor はです。この関数は、\(a=e\) の時に最も滑らかになります。

    巨大数の大きさを比較する時には、\(a\)を同じ値にそろえればいいのですが、数学的には最も滑らかな\(a=e\)にそろえるのが良く、実用的には、\(a=10\)にそろえるのも、10の指数表記による直感が働き、Hypercalc の計算結果をそのまま使えるので、便利でいいと思います。

    以下は、計算例です。

    \begin{eqnarray} 10^{100} &=& 10 \uparrow 10 \uparrow 2 = 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow log_{10}(2) \\ &\approx& 10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 0.301 = 10 \uparr ……

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  • Kyodaisuu

    多変数アッカーマン関数を1変数化して、\(f_{\omega^\omega}(n)\) の増加速度を持つ関数を作るためには、 \[f(n) = A(\underbrace{1,1,...,1}_n) \approx f_{\omega^\omega}(n) \] とするのが手っ取り早いわけですが、もう少し刻みを細かく取ることはできないか、ということで、こんな関数を考えてみました。 \[f(\sum_{k=0}^{n} 10^k a_k) = A(..., a_3, a_2, a_1, a_0, 10) \approx f_{... + \omega^3・a3 + \omega^2・a2 + \omega・a1 + a0}(10) \] ただし、\(f(0)=1\)とします。すなわち、次のように計算できます。

    \begin{eqnarray*} f(0) &=& 1 \\ f(1) &=& A(1,10) = 12 \\ f(2) &=& A(2,10) = 23 \\ f(3) &=& A(3,10) = 2^{13}-3 = 8189 \\ f(4) &=& A(4,10) = 2↑↑13-3 \approx 10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑10↑19727.78 \\ f(11) & f(99) \\ f(101) & F_1\\ f(1000.1) &=& A(1,0,0,1,1) = A(1,0,0,0,3) < F_2 \approx A(1,0,0,0,63) \\ f(1000.2) &=& A(1,0,0,1,2) = A(1,0,0,0,A(1,0,0,1,1)) > F_2 \\ \end{eqnarray*}

    となります。さらに細かく定 ……

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  • Kyodaisuu

    偽ラヨ数

    2014年6月18日 by Kyodaisuu

    偽ラヨ数 (Pseudo Rayo's number) とは、一階の集合論()の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できない最小の正の整数であるよりは大きい)であるが、\(10^{10^{45}}\) よりは大きいのではないかと推定された。


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  • くんどらべったらどっぽれ名無し
    • 2[2,2] = dumevalka

    22

    • 2[2,3] = dutrimevalka

    2222222222222222222222

    • 2[2,4] = duquomevalka

    \(2\cdot\frac{10^{2222222222222222222222}-1}{9}\approx 10^{10^{22}}\)

    • 2[2,5] = duquinmevalka

    \(10^{10^{10^{22}}}\)

    • 2[2,6] = duheximevalka

    \(10^{10^{10^{10^{22}}}}\)

    • 2[2,7] = duseptimevalka

    \(10^{10^{10^{10^{10^{22}}}}}\)

    • 2[2,8] = duoctimevalka

    \(10^{10^{10^{10^{10^{10^{22}}}}}}\)

    • 2[2,9] = dunonmevalka

    \(10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{22}}}}}}}\)

    • 2[3,2] = dutridumevalka

    22

    • 2[3,3] = dutritrimevalka
    • 2[3,4] = dutriquomevalka
    • 2[3,5] = dutriquinmevalka
    • 2[3,6] = dutriheximevalka
    • 2[3,7] = dutriseptimevalka
    • 2[3,8] = dutrioctimevalka
    • 2[3,9] = dutrinonmevalka

    22

    • 2[4,2] = duquodumevalka
    • 2[4,3] = duquotrimevalka
    • 2[4,4] = duquoquomevalka
    • 2[4,5] = duquoquinmevalka
    • 2[4,6] = duquoheximevalka
    • 2[4,7] = ……
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  • くんどらべったらどっぽれ名無し

    \(n[m]=n\cdot\frac{10^m-1}{9}\approx n\cdot 10^{m-1}(0

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  • けんぼー

    brainf*ckってのは難解プログラミング言語と呼ばれるジャンルの実用性は無いけど面白いプログラミング言語の1つです。 難解プログラミング言語界の中でもbrainf*ckは最もシンプルで分かりやすい言語です。詳しくはググれ。

    というわけで具体的に計算を作ってみました。m,nの部分を任意の個数の+に置換して数を表現して下さい。 ウォーミングアップとしてまずは足し算から。

    m>n[-]

    とってもシンプルです。nの部分にある値が0になるまでmに1を加えてnから1を引くということを繰り返しています。

    掛け算

    m>n[>+>+[-]+>+>+[-]+[>+[-]+[-] # m , n , 1 , m ,(0) >+ # m , n , 0 , m ,(1), 0 [>+[-] # m , n , 1 , m , 1 ,(0) n>a-[->+>+[-]+>+>+[-]+[-][-]+[-]+[>+[-] 全文を読む >
  • Kyodaisuu

    注目のウィキアン

    2014年5月29日 by Kyodaisuu

    注目のウィキアンの3人目として、紹介されました。巨大数研究 Wiki の宣伝になればいいと思います。

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  • Kyodaisuu

    国際寿司

    2014年5月27日 by Kyodaisuu

    というわけで、寿司 虚空編のコメント欄で英訳のリクエストがあったのでやりましたが、リクエストしてきたのは Googology Wiki の設立者です。

    寿司は、ジャンル的には教育漫画なのかギャグ漫画なのかグルメ漫画なのか謎でしたが、国際的には教育漫画ということになりました。

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  • Kyodaisuu

    Aetonalさんとの議論で、ようやく配列表記の理解が深まり、

    \begin{eqnarray*} f_{\omega^2}(n) &>& \lbrace n,n,n,n \rbrace = \lbrace n,2,1,1,2 \rbrace \approx A(1,0,0,n) \\ f_{\omega^3}(n) &>& \lbrace n,n,n,n,n \rbrace = \lbrace n,2,1,1,1,2 \rbrace \approx A(1,0,0,0,n) \\ f_{... + \omega^3 a_3 + \omega^2 a_2 + \omega a_1 + a_0}(n) &>& \lbrace n,2,a_0+1,a_1+1,a_2+1,a_3+1,... \rbrace \approx A(..., a_3, a_2, a_1, a_0, n) \\ \end{eqnarray*}

    という近似にたどりついて、とりあえず日本語版の急増加関数の近似を更新しました。問題なさそうであれば、英語版も更新します。

    そこで、結局のところ配列表記の2番目のエントリは、何を意味するのだろうかという疑問になります。これは合成作用素ではないかな、という気がしてきました。

    多重帰納関数のエントリで書いたように、原始帰納→2重帰納→3重帰納、と数え上げるにつれて帰納の程度が上がるわけですが、そもそも原始帰納作用素は合成作用素を数え上げているわけです。合成→原始帰納→2重帰納→3重帰納と、合成作用素をスタート地点と考えて、合成の回数が配列表記の2番目に反映されている、と考えると、配列表記は FGH の +1 よりも細かく帰納の程度を見ていると考えることができます。

    FGH ……

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  • Kyodaisuu

    多重帰納関数

    2014年5月25日 by Kyodaisuu

    多重帰納関数のエントリを作ってみました。

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  • Negineesan

    会お疲れ様でした

    2014年5月24日 by Negineesan


    主催が遅刻するというアクシデント等ありましたが怪我人もなく無事遂行できました。ありがとうございます。

    僕の微妙なSS変換の回数の話のほか、s(n)変換やFGHの展開や関数の支配、対角化や原始帰納でない関数まわりあれこれの議論が行われました。

    個人的にはFGH一覧の下の方の、ちんげみたいなやつ\(f_{\vartheta(\Omega^{\vartheta(\Omega^{\vartheta(\Omega^\omega)})})}(n)\) とか

    が、大ヴェブレン順序数的なものをぶっこんだものだったというのが分かって良かったです。あとXi関数とか。

    調べればあるし言われたらああそりゃそうだなという感じですが、わからんもんはわからんので、こういうとき会があるととても助かります。

    そのうちまたやりましょう。以上ざっくりレポです。

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  • Aycabta

    MathJax On Blog Entry

    2014年5月22日 by Aycabta

    Mission all over!

    • MathJax successes to work nomally when comments on blog entries lazy load too late by scrolling
    • MathJax successes to work nomally when comments are posted, replied, edited
    • Preview dialog logic on edit page is organized

    I'll do another occasion <math> tag.

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  • Limitofempty

    「対角化と支配する」のエントリのコメント欄におけるふぃっしゅっしゅさんとの議論についてです。とりあえず引用します。

    まずはふぃっしゅっしゅさんから。

    よく考えると必ずしも対角線でなくても良くて、下に降りて行くだけでいいのですね。つまり、必ずしも対角化しなくても「変数化」したり、下方向へ操作を「数え上げ」すればいいと、そういうことです。

    次に私です。

    私は今回ちょっといっぱいいっぱいで書いていて、「やっぱり対角化しないといけないな」と再確認した部分もあったつもりだったのですが、そうですね、確かに下にさえ行けば充分ですね。今びっくりしています。

    今は、どの関数をどの関数が支配しているのかということが、どうやら巨大数の大きさについての本質的な理解に繋がるようだと考えています。ここまで来るのに銅蟲さんと同じ話を何度もぐるぐる続けていました。

    そして再びふぃっしゅっしゅさん。

    対角線ではなくて下へ降りればいいというのは、たしか巨大数スレッドの誰かに指摘されてはじめて「なるほど」と納得したことで、それまでは対角線論法が頭にあったのですが、対角線じゃなくてもいいなら数え上げの方が本質なのかな、となったわけです。巨大数論では、28ページの一番下の方で、「これは対角線ではありませんが関数の合成回数を数え上げています。」と、その違いを明確化したつもりです。

    この文脈において重要なのは、「数を大きくするために右方向へ移動する(引数の数をでかくする)必要があるのか」ということですね。前回のエントリにある以下の書き下しが役立つと思います。

    \begin{eqnarray*} f_{\omega \times 2}(3) &=& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ &=& f_{\omeg ……

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  • Limitofempty

    以下、一部計算ミスがあります。現在修正中です。

    以前に書いた User_blog:Limitofempty/対角化と支配する からの続きです。超限帰納法による急増加関数を詳細に追います。

    急増加関数の定義は以下のようになっています。

    • \(f_0(x) = x + 1\)
    • \(f_{\alpha+1}(x) = f^x_\alpha(x)\)
    • \(f_\alpha(x) = f_{\alpha[x]}(x)\) (\(\alpha\) が極限順序数の時かつその時に限り)

    ここで、\(\alpha = 1\) の時、

    \begin{align} f_1(x) &= f_0^x(x) \\ &= x \underbrace{+ 1 + 1 + \cdots + 1}_{x\ times} \\ &= x + x \\ &= 2x \end{align}

    となります。加算を行う関数を \(g(x) = x + m\) とすると、任意の \(m\) について \(f_1(x)\) が \(g\) を支配します。その \(m\) を超える \(x\) を与えた時点で、より大きな数となるためです。これにより、あらゆる加算を支配する関数 \(f_1(x)\) の存在がわかります。

    次に \(\alpha = 2\) の時、

    \begin{align} f_2(x) &= f_1^x(x) \\ &= \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{x\ times} \times x \\ &= 2^x x \end{align}

    となります。これも同様に、あらゆる乗算を支配しています。冪乗であれば充分なので、最後に \(\times x\) があるのは余計な ……

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  • Mikadukim

    先回のブログで2重帰納関数の定義が固まってきました。目標とするのは『3変数アッカーマン関数は全ての2重帰納関数を支配する』という次の予想です(この予想が成り立つように \(\mathcal{F}_2\) は定義されるべきだし、もし成り立たないなら \(\mathcal{F}_2\) の定義は修正されるべきです)。

    予想(支配定理): 任意の \(f(x_1,\ldots,x_n) \in \mathcal{F}_2\) に対して、ある非負整数 \(N\) が存在して、任意の非負整数 \(x_1,\ldots,x_n\) に対して \( f(x_1,\ldots,x_n) \le A(N,0,\mathrm{max}(x_1,\ldots,x_n)) 。 \)□

    ただし、\(\mathcal{F}_2\) の定義については先回のブログを参照。\(A(x,y,z)\) は次で定義される3変数アッカーマン関数。

    • \( A(0,0,z)=z+1 \)
    • \( A(x+1,0,z)=A(x,z,z) \)
    • \( A(x,y+1,0)=A(x,y,1) \)
    • \( A(x,y+1,z+1)=A(x,y,A(x,y+1,z)) \)

    もしこの支配定理が成り立つならば、系として \(A(x,y,z) \not \in \mathcal{F}_2\) がわかります。実際、\(A(x,y,z) \in \mathcal{F}_2\) だと仮定すると、ある非負整数 \(N\) が存在して任意の非負整数 \(x,y,z\) について \(A(x,y,z)


    本ブログは 原始帰納的函数とアッカーマン函数 - 藤田 博司 を大いに参照しています。予想の証明に向けて必要になる補題たちを列挙していきます。(まだ証明をして ……


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  • Negineesan

    ひらたくいうとまだどのように進行をしたらよいか全く考えていません。

    以前に会をやった際は少人数でテーマも絞られていたのでなんとかなった記憶があります。

    現時点で参加見込みが5~10人という感じですので、混乱というほど混乱もしないのかもしれませんが、

    なにか考えておくに越したことはないだろうという感じです。

    はい

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  • Kyodaisuu
    • 2014年5月24日(土) 15:00
    • 巨大数の土曜日@東洋大学
    • 詳細: http://twipla.jp/events/92102

    だそうです。

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  • Kyodaisuu

    利用者:Kyodaisuu/注目のウィキアン で回答を下書き中。

    巨大数研究Wikiのトップページの絵は、漫画家の小林銅蟲さんが描いたものです。小林銅蟲さんは、巨大数漫画「寿司 虚空編」の連載をされている漫画家です。小林銅蟲さんを中心に、定期的に集まって巨大数の研究をするコミュニティがあって、その人たちが巨大数研究Wikiを立ち上げました。漫画家とその仲間たちによって立ち上げられた学術的なコミュニティというのは、ユニークだと思います。

    というような書き方で、問題ないだろうか?

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  • Kyodaisuu

    注目のウィキアン (Featured Wikian) 企画なる連絡が来た。とりあえず返信。

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  • Limitofempty

    別件で忙しくろくに時間を取ることができずにいるのですが、びっくりしたのでこれだけ。

    ふぃっしゅっしゅ氏のウォールに、注目のウィキアン企画に選出する申し出が書き込まれていました。コミュニティーセントラルでこの企画をやっているのは以前より把握していたのですが、いきなりふぃっしゅっしゅ氏に白羽の矢が立ったのは驚きです。巨大数スレの初期から日本語圏での巨大数を主に牽引してきた方々のうち、現在も活動がアクティブなのはあと銅蟲さんぐらいですし、個人的には是非とも応じていただきたいと思っています。私からの問い合わせにご返答頂いた時の内容を通じ、ウィキアの運営の方々は大変融通が利くと認識していますので、些細な都合があっても対応してくださると思います。これまでの 2 人の内容を見てもフレキシブルなインタビューになっていますし。

    そういえばミカヅキモ氏の多重帰納関数の定義について、非常に中途半端な(更には間違えている)コメント書いてしまったまま時間が無くなってしまったのですが、やたら進化してますね。ちょっと先にこれを精読したいところです。

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  • Aycabta

    MathJax Task

    2014年4月27日 by Aycabta
    • Converts <math> tag to MathJax form
      • The Greasemonkey script in this article is so helpful: http://docs.mathjax.org/en/latest/dynamic.html
      • For mobile; MathJax viewing is no harm to iPad, but iPhone is not
    • Applies MathJax viewing and conversion above to comment area
      • Example: http://ja.googology.wikia.com/wiki/User_blog:Mikadukim/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8E%B3%E5%AF%86%E3%81%AA%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6#comm-1124
      • MathJax using lazy load, comments too, loading sequence is not under control
        • So plain TeX texts remain when comments loaded after MathJax, this is just *luck*
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  • Limitofempty

    クサイ関数に次のような記述が追加されていました。

    人によってはクサイ関数は"臭い関数"との呼び名となりイメージ悪化を招くためXI関数と呼ぶことも多い。

    まあそういうこともあるかな、とは思うのですが、出典無しのままでこういった記述が増え続けてしまうとしたらあまり望ましくないかな、とも思うので、どこかで具体的に言及されているならば、その出典があったほうがいいように思います。

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  • Mikadukim

    特に2重帰納関数がどのように定義されるべきか、その定義の候補を考えてみました。それなりに良い定義としてまとまってきた感触あります。

    続き→ 2重帰納関数の評価_~支配定理に向けて~


    非負整数 \(n\) に対して、写像 \(f:\mathbb{Z}_{\ge 0}^n \to \mathbb{Z}_{\ge 0}\) のことを \(n\) 変数関数と呼ぶことにします。 \(n=0\) のときは \(\mathbb{Z}_{\ge 0}^0 = 1点集合\) なので、\(0\) 変数関数は定数関数になります。

    \( \mathcal {F} = \{f | f は n 変数関数\, (n: 非負整数) \} \) とおきます。\( \mathcal{F}_1\) を原始帰納関数(=1重帰納関数)全体とします。もちろん \( \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}\) です。 このとき、\( \mathcal {F}\) の部分集合\( \mathcal {F}_2\) を、次の公理を満たす集合 \( \mathcal {F}_2\) の中で、(包含関係に関して)最小のものと定義します。

    • \( \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\).
    • \(f(y_1,\ldots,y_k), g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_m) \in \mathcal{F}_2\) ならば、\(h(x_1,\ldots,x_m)=f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_m))\) と定めたとき、\(h \in \mathcal{F}_2\). ……

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  • Limitofempty

    カリー化の練習

    2014年4月15日 by Limitofempty

    とりあえずメモです。有益な結論の出ているエントリではありません。

    \(f(x) = 2x\) という関数 \(f\) があった場合、ラムダ計算では関数の名前 \(f\) を消して \(\lambda x. 2x\) と書きます。ラムダ計算では関数の引数が常に 1 つなので、多変数関数の場合、「1 つの引数」を取り、「残りの引数をとる関数」を返す関数に変換します。これがカリー化です。

    ここで、任意の関数 \(g\) をカリー化することを \(curry(g)\) と書くことにします。例えば \(g(x, y) = x^y\) という関数をカリー化したものは、\(curry(g) = \lambda x. (\lambda y. x^y)\) となります。

    重要なのは、カリー化した関数を単に呼び出した場合に出てくる関数がどういったものであるかです。\(g(x, y) = x^y\) をカリー化したものに引数として \(3\) を与えると \(curry(g)(3) = h(y) = \lambda y. 3^y\) となります。ここで自由変数 \(x\) が \(h(y)\) において \(3\) に束縛されています。つまり、元の \(g(x, y)\) の \(x\) に \(3\) を部分適用した関数 \(h(y)\) を定義したことになります。

    このカリー化を導入することで、を

    \begin{align} hyper\ n(a, b) &= a^{(n)}b \\ &= \begin{cases} b+1, & \mbox{if }n=0 \\ a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\ 0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\ 1, & \mbox{if ……

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  • Limitofempty

    このところ、対角化についての細かい議論を銅蟲さんと続けていました。そもそもどういった状態をもって急増加関数での近似としているのかが正しく掴めていなかったので、様々な事例を追っていたというところです。

    銅蟲さんが \(F_3\) の定義を書き下して丁寧な理解をしようとしていたところから話が始まっていますが、いまいち本質的な理解に到達できず、一時期はもっと簡単な形にした s(n)変換で検証を試みようとしていたようで、本人がその一部をアップロードしています。この後、第一クロちゃん数について、近似についての議論があり、4 月 4 日に銅蟲さんの家で開催した「巨大数の土曜日」。

    ところで最後に書いておきますが、支配することの定義から自明なように、関数の引数は \(x\) とだけしてあればよく、そこをいじる必要はありません。現時点において、フカシギの数え方に \(f_2(n^2)\) という近似がありますが、こういったものは美しくない答えを避けるという考えからすると、改善の余地があるものと思います。そもそも関数そのものが操作を行うものであり、この形では引数部分で操作が発生してしまいますから、そこにも問題があります。

    ではまた。

    追記: 続きである User_blog:Limitofempty/急増加関数とs(n)変換 を書き終えました。


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  • Wythagoras

    I read your discussion on the forum about 第一クロちゃん数.

    Here I'll present my analysis for my result.

    \(x! \approx f_2(x)\)

    \(f(x) = x!^x \approx f_3(x)\)

    \(f(x)\uparrow^{2} 2 = f^{f(x)}(x) \approx f_4(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{2} 3 = f^{f(x)\uparrow^{2} 2}(x) \approx f_4(f_4(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{2} k+1 = f^{f(x)\uparrow^{2} k}(x) \approx f_4^k(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} 2 = f(x)\uparrow^{2}f(x) \approx f_5(f_3(x))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} 3 = f(x)\uparrow^{2}(f(x)\uparrow^{3} 2) \approx f_5(f_5(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{3} k+1 = f(x)\uparrow^{2}(f(x)\uparrow^{3} 2) \approx f_5^k(f_3(x)))\)

    \(f(x)\uparrow^{y} k+1 \approx f_{y+2}^k(f_3(x)))\)

    \(K(4) = f(3) \uparrow^{4} f(3) \approx f_{6}^{720!}(720!) = f_{7}(720!)\)

    \(K(n) = f(3) \uparrow^{n} f(3) \a ……

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