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  • じぇいそん

    帰化拡張法ver.2

    2017年10月20日 by じぇいそん
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  • Rpakr

    急増加関数の拡張

    2017年9月23日 by Rpakr

    急増加関数を、順序数に拡張した関数を定義しました。 \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は、\(f^\beta_\alpha(\gamma)\)に対応します。 引数\(\gamma\)または回数\(\beta\)が\(\omega\)以上のとき、\(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は\(\omega\)以上になります。 \(\beta\)も\(\gamma\)も自然数のときは普通のFGHと同じです。


    記法

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)

    規則

    複数の規則が適用可能な時、最も上にある規則を優先する。

    \(f(\alpha,0,\gamma)=\gamma\)

    \(f(0,1,\gamma)=\gamma+1\)

    \(f(\alpha+1,1,\gamma)=f(\alpha,\gamma,\gamma)\)

    \(f(\alpha,1,n)=f(\alpha[n],1,n)\)

    \(f(\alpha,1,\gamma)[n]=f(\alpha[n],1,\gamma)\)

    \(f(\alpha,\beta+1,\gamma)=f(\alpha,1,f(\alpha,\beta,\gamma))\)

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)[n]=f(\alpha,\beta[n],\gamma)\)


    \(f(0,0,\omega)=\omega\)

    \(f(0,1,\omega)=\omega+1\)

    \(f(0,2,\omega)=f(0,1,f(0,1,\omega))=f(0,1,\omega+1)=\omega+1+1=\omega+2\)

    \(f(0,n,\omega)=\omega+n\)

    \(f(1,1,\omega)=f(0,\ ……



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  • Hassium108

    配列システム

    2017年9月21日 by Hassium108

    第k配列システムに対して\(A_k(n)=nL_k[1,0,0,…(0がn個)…,0]\)とし、第k配列数を\(A^{10}_k(10)\)とする。


       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L_1"\))

      ・配列構造

       例:\(3L_1[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL_1[\#,a]=(n+a)L_1[\#,0]\)

       (2) \(nL_1[Z]=n\)

       (3) \(nL_1[\#,a+1,0,Z]=nL_1[\#,a,n,Z]\)


       \(nL_1[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)

       \(A^{10}_1(10)\approx f_{\omega+1}(10)\)


        結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。


       ・NFO型(F=\("L_2"\))

       ・配列構造+結合構造

        例:\(2L_2[1,0,5][2,1][1,4][3]\)


       ・\(Z\):0個以上の0

       ・\(\#\):0個以上の非負整数

       ・\(□\):1個以上の配列

       ・\(n\):変数

       ・右端の配列から計算を行う。

        (1) \(nL_2□[Z]=(n+1)L_2□\)

        (2) \(nL_[Z]=n+1\)

        (3) \([\#,a+1]=[\#,a][#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

        (4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)


        第1配列システム\(\approx nL_2[1,0]\)

        \(nL_2[1,0,…0]\approx f_{\o ……










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  • KurohaKafka

    順序数の整理

    2017年9月11日 by KurohaKafka

    全体的に推測

    σ=C(Ω_2*2,0)

    C(σ,0)=ψ_Ω(ψ_I(0))

    C(σ+C(Ω_2+σ+1,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ω)) C(σ+C(Ω_2+σ+C(Ω_2+σ,0),0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(0))) C(σ*2,0)=ψ_Ω(ψ_I(I))

    σ^++が現れたところからσ^+の意味がC(Ω_2+σ^++,0)に移される。

    C(Ω_2,σ)が現れたところからσの意味がC(Ω_2+C(Ω_2,σ))に移される。

    以下同様(と推測)

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  • Kyodaisuu

    ロバート・ムナフォは、6までの自然数はクラス0の数、10^6までの数はクラス1の数、10^10^6までの数はクラス2の数、というように、自然数を使って自然数をクラス分けした

    \(A\)は有限集合なので、\(A\)の元を

    \(\alpha_0 < \alpha_1 < ... < \alpha_N\)

    とする。このとき、\(L(\alpha_n) < L(\alpha_{n+1})\) を示せば良い。

    \(\alpha_{n+1}\)が後続順序数であれば

    \(f_{\alpha_{n+1}}(n) = f_{\alpha_{n}+1}(n) = f_{\alpha_{n}}^n(n) > f_{\alpha_{n}}(n)\)

    より、\(L(\alpha_n) < L(\alpha_{n+1})\)

    \(\alpha_{n+1}\)が極限順序数であれば、\(\alpha_{n}=\alpha_{n+1}[99]\), \(f_{\alpha_{n+1}}(m)=f_{\alpha_{n+1}[m]}(m)\)より

    \(L(\alpha_n) = f_{\alpha_{n+1}[99]}^6(100) < f_{\alpha_{n+1}}^6(100) = L(\alpha_{n+1})\)


    集合\(A\)を定める方法については、ミカヅキモさんのこのブログへのコメントによる。基本列の定め方に関する制限は、Hyp cosさんの英語版ブログへのコメントによる。Aの定義における\(\beta+1 \in A\)ならば\(\beta \in A\)の条件はp進大好きbotさんのコメントによる。


    \(\gamma = \epsilon_0\) として、ワイナー階層を使う。

    • C(100) = 0
    • C(100 ……



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  • Kyodaisuu

    ユーザー:Kyodaisuu/F3の展開を見て、ジョセフさんがふぃっしゅ数ver.3の展開プログラムを作っていただいたので、実行してみました。\(X0 = ss(2)^{63}f(3)\) が展開されます。実行結果を貼ります。[ ] の中は ss(n) 変換で、[ ] の中の [ ] は s(n) 変換です。

    \( s(1)^3 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f(3)\) は

    [[1,1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示され、その次は \( [s(1)^2 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f]^3(3) \) ですが、そこで

    Xn = [[1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示されます。この Xn= というのは、\(F^3(3)\) の計算で一番内側の \(Xn = F(3)\) を計算しています。

    計算はまだ続いていますが、ここでプログラムを終了しました。

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  • Googleaarex

    このブログ記事では、3行から始まる芭蕉行列システムを分析しています。



    記法 レベル
    (0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})+1\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})\omega\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^{\psi(\Omega_{\omega})}\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1)... \(\psi(\Omega_{\omega}+1)[n]\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+1)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\Omega)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\varepsilon_{\Omega+1})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0)(3,3,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\psi_1(\varepsilon_{\Omega_2+1}))\)
    (0,0, ……













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  • Nayuta Ito

    Comakky数の拡張

    2017年7月23日 by Nayuta Ito

    個人的にComakky数を拡張してみることにしました。C型をもとにしています。


    区切り文字としてコンマとコロンの2種類を用いる。本来のC型とは異なり、コンマの後にコロンを置いてもよい。これはコロンを改行とする2次元配列を意図している。

    X_nは0個以上の自然数、Y_nは0個以上の1、Z_nはコロンでつながった2次元配列の一部を表す。


    をα型Comakky数とする。


    多次元配列を意図する。



    テトレーション配列を意図する。

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  • Mikadukim
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  • Mikadukim

    一般化急増加関数

    2017年7月16日 by Mikadukim
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  • Hassium108

    順序数列ゲーム

    2017年7月14日 by Hassium108
    • プレイヤーは前のプレイヤーが言った順序数より小さい順序数を言う
    • 0を言ったら終了

    というルールのゲームは、必ず有限回で終了し、各ターンにてプレイヤーが言える順序数にをうまく制限すればターン数の上限が生まれる。


    プレイヤーは下の3つの関数を組み合わせて表せる順序数を言うことができる。

    ただし、kターン目で使用可能な関数の個数は合計k+n個までで、変数は1~k+nまでの自然数と\({\omega}\)である。

    \(A({\alpha},{\beta})={\alpha+{\beta}}\)

    \(B({\alpha},{\beta})={\alpha×{\beta}}\)

    \(C({\alpha},{\beta})={\alpha^{\beta}}\)

    例(n=1)

    \(C({\omega},C({\omega},{\omega}))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)・・・1ターン目なので、1+1個の関数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},C(3,3)))={\omega^{\omega^{27}}}\)・・・2ターン目なので、2+1個の関数と2+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},B(4,B(3,2))))={\omega^{\omega^{24}}}\)・・・3ターン目なので、3+1個の関数と3+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},B(C({\omega},A(B(5,4),3),5)))={\omega^{\omega^{23}×5}}\)・・・4ターン目なので、4+1個の関数と4+1以下の自然数を使える

    nに対するターン数の上限を\(g(n)\)とすると\(g(n)\approx f_{\ep ……


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  • BashicuHyudora

    https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/ss-101526059

    訂正

    11ページ (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)(4,3,1)=ψ_Ω(ψ_I(χ(M_ω(0)))

    12ページ バシク行列数=Bm^10(9)

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  • Hassium108

    FGHと超限順序数

    2017年6月13日 by Hassium108

    「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。


    \(f_0({\beta})={\beta+1}\)

    \(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)

    \(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)

    \(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)


    \(f_0({\omega})={\omega+1}\)

    \(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)

    \(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)

    \(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)

    \(f_2({\omega})={\omega^2}\)

    \(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)

    \(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)

    \(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega ……



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  • Koteitan

    巨大数専用マストドン Googoldon を作りました。

    Googoldon

    Mathjaxが使えて、半角の$$でくくると数式も書けます。 グローバルなサイトにしたいので、Googology Wikiでも宣伝しています。 でも、日本語OKです。日本語でも英語でもロシア語でも中国語でも何語でもOK!としたいです。 議論をするもよし、質問をしてもしいし、日記でもよいし、独り言やメモでもよい、というゆるい感じで進めようと思います。

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  • Hassium108

    brainfωck

    2017年6月3日 by Hassium108

    「brainfuckでn文字のコードでメモリ上に残すことができる最大の自然数」を\(BF(n)\)とする(メモリの個数も大きさも無限大とする)。brainfuckはチューリング完全(いかなる計算可能関数も表現できる)なので、\(BF(n)\)は計算不可能関数であり、\(f_(n)\)程度の強さである。


    n BF(n)の下限 コード
    1 1 +
    2 2 ++
    3 3 +++
    4 4 ++++
    5 5 +++++
    6 6 ++++++
    7 7 +++++++
    8 8 ++++++++
    9 9 +++++++++
    10 10 ++++++++++
    11 11 +++++++++++
    12 12 ++++++++++++
    13 16 ++++[->++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>+>+[-]+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+>+[-]>>]
    28 9331 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    29 19608 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    30 55987 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    31 137257 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    32 335923 +>+>+>+>+>+>+>+[-]>>]


    44 113037178808 ++++++++++++++[[>]+[-]>>[+++++++>]


    47 \(2^{127}-1\) +++[->+>>+[[->+-]
    ……























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  • KurohaKafka

    ブーフホルツあまり関係ないけどまぁいいだろう。

    バシク行列の2次元の表現を、1次元の数列と入れ子構造、すなわち数列でラベルがつけられたヒドラツリーで表現する。

    バシク行列をそのままツリーに置き換えるやり方

    1行目の値でツリーをつくる。

    2行目以降の値はそれぞれの1行目の値が担う頂点に数列のラベルとして付け加える。

    2行でωを使わないブーフホルツのヒドラと同じ強さになる。

    (0,0)(1,1)=+(0(1))

    (0,0)(1,1)(2,1)=+(0(1(1)))

    (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)=+(0(1(1))(1))

    (0,0,0)(1,1,1)=+(0,0(1,1))

    多次元空間上のツリー

    1行目の値で2次元上に広がるツリーを作る。

    n行目の値で、1行目の値が担う頂点をその値だけn+1番目の次元の方向に上げる。

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  • Hassium108

    物置

    2017年5月15日 by Hassium108

    編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。


    計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

    そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

    • NFO型

      例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

    • FON型

      例:FGH、SGH、ハーディー階層

    • ON型

      例:原始数列システム、バシク行列システム

    • FNO型

      例:ハイパーE表記


    文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

    ※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。

    • 空構造(E)

       "\([]\)"はA型である

    • 代入構造(S)

       数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

    • 係数構造(C)

       A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

    • 結合構造(U)

       A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

       A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

    • ネスト構造(N)

       A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある

       A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

    • 配列構造(A)

       数はC型である

       C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

       C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ

    • 有限レベル構造(fL)

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

    • 拡張レベル構造(eL)

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a ……



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  • Nayuta Ito

    オメガ1将棋

    2017年4月15日 by Nayuta Ito

    Omega One Chessの具体例を見ているときに、チェスの各駒の記号と棋譜がわかりづらいと思ったので、日本人にわかりやすい将棋で(ほぼ)同値な状況を再現することにした。


    • クイーンがない(適宜角行または飛車で置き換える。どちらかで再現不可能の時は「奔」(奔王)でクイーンを表す)
    • マスの数え初めの場所が違う(そのため、基本的にチェス盤を上下反転させた状態で表記する)

    チェスの黒番を先手、白番を後手とする。また、先手の駒を太字で、後手の駒を細字で記す。さらに、盤面は9×9の升目を超えて無限に続いているものとする。


    1 
    一 歩














    ▲3N飛 △2三飛 ▲3四玉 △4三竜 ▲3五玉 △2五飛 ▲3六玉 △4五竜 ▲3七玉 △2七飛 ▲3八玉 △4七竜 ・・・(Nの数に応じていくらでも続けることができる)

    よって、この盤面はωである。

    (詰将棋に詳しい方、これでうまくいっているでしょうか?)

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  • KurohaKafka

    昔バシク行列の強さと計算可能性を計ろうとして失敗したシステム。


    情報とは、0と1の数列や物体の配列など、手段や媒体は何でもいいが、可算無限の意味を表すことができる表現である。

    任意の意味AとBにつき、AをBへ移す写像fが存在する。

    任意の意味Aにつき、Aを含むクラスが存在する。

    定義域Aの要素を値域Bの要素へ移す写像fはAとBどちらにも含まれない。

    任意の写像fにつきfについて閉じているクラスが存在する。

    以上のすべての意味を記述できる言語はいかなる関数も記述できるが、そのような言語は存在しない。

    (関数型言語はすべてを関数として表現する。関数にあちこち写される情報のあり方やデータ構造を重視するのがオブジェクト指向、たぶん)

    用意するもの

    環境 \(Γ\);

    すべての自然数とその型 \(0:M(0),1:M(0),2:M(0),\cdots\)

    ここではすべての自然数からなる集合をM(0)とする。

    後者関数とその型 \(m(1)::=λn.f(nfx):N→N\)

    多相関数 \(λx.nx:*→*\)

    ここで自然数 n がすでに多相的な扱いをされている。

    再帰 \(f(f)\)

    型推論

    \(\displaystyle \frac{Γ|-f:∀α.α→α\quadΓ|-x:A}{Γ|-f(x):A}\)

    m(n)変換

    \(m(n)\in M(n)\)

    \(M(n+1)::=M(n)→M(n)\)

    αが極限順序数のとき、

    \(M(α)::=\cup_{n0 として、

    \(m(α+n+1)::=λm.nm:M(α+n)→M(α+n)\)

    \(m(ω+2)m(ω+1)m(ω)(x)=f_{ε_0}(x)\)

    以上で m(ω^ω) つまり f[φ(ω,0)] まで計算可能

    m(n) 変換では多相化の範囲が有界であるため、λx.n ……


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  • Koteitan

    LittlePeng9 の BIG FOOT の定義文である "First-order Oodle Theory" の日本語対訳です。一番の肝となる ordinal \(\text{Ord}\) の定義の方法が載っている "Sets?" と題された項のところだけ訳してみました。もしも間違いがあれば訂正しますのでコメントで書いてください。

    No.原文日本語1Sets?集合は?2A question arises: how to define sets inside this structure?疑問がひとつ生じます:どうやってこの構造の中で集合を定義するの?3Turns out, it's impossible.結果を言うと、それは無理なんです。4Firstly, because "sets" don't even have definition, secondly, oodleverse could as well work out as a universe of sets.まず、「集合」は定義すら持っていないし、もっと言うと、ooldverse のほうがより集合の宇宙としてうまく働くかもしれません。5However, if we had some quite large oodinal, which we'll denote \(\text{Ord}\), we could define sets as oodles which have rank \(

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  • Kyodaisuu

    「日本語の文章の文頭に英単語があるときに、その単語は小文字ではじめますか、大文字ではじめますか?」という Twitter アンケートの結果は「大文字ではじめる」が32%で「小文字がはじめる」が27%(4択、詳細は本文)と、「大文字ではじめる」の方が若干多かった。文頭を大文字化するという英語の規則は、日本語にもそれなりに取り入れられつつある。


    英語をはじめとするラテン文字を使用する多くの言語では、文章の最初の単語の先頭を大文字にする (capitalization) というルールがある。この規則は日本語にも適用されるのであろうか。

    このことを考えたきっかけは、巨大数論に書いた

    Billion が 1 兆をあらわすロングスケールは、かつてイギリスで使われていましたが、現在はイギリスでもショートスケールが基本です。

    という文章に対して、Billion から billion への修正意見をいただいたことである。文頭なので大文字化するものだと考えていたが、それは英語のルールであって日本語にはそのようなルールはないと言われれば、なるほどと思う。

    まずはネットで検索をしてみたところ、

    • 日本語論文を書く際の英単語の扱いについて (教えて! goo)
    • 日本語は語を借用しているのであって、文頭を大文字で書くという規則を借用しているのではありません (Twitter)

    といったように「小文字のままにするべき」という意見が見つかったが、いずれも個人的な意見であり、出版物の記述を根拠とするようなオーソライズされた記述は見つからなかった。文頭の単語の先頭を大文字化するべきであるという根拠も、してはいけないという根拠もみつからない。そもそもそのようなケースが少なく、そのような場面が生じても、気にする人は文頭の英単語 ……



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  • KurohaKafka

    えらく簡単な計算は、 「a_1を入力されたらb_1を返す、a_2を入力されたらb_2を返す、a_3を入力されたら・・・」 という関数=プログラムがあって、実際にa_iを入力されたらb_iを返す、というような感じになる。

    あらかじめ「これを入力されたらこれを返す」というように、それぞれの入力に対するそれぞれの答えをすべて用意しておく方法ですべての計算が1ステップで終了する。外延的。

    有限種の入力に対する答えを計算するだけなら全部外延的にやっていけばいい。

    無限種の入力に対しては、無限に長いプログラムが許されるならそりゃ同じく全部外延的にやっていけばいい。

    でもそれは現実的でないので、内包的に有限のプログラムによる計算で、無数に想定される入力に対しどこまでやれるか、という問題になる。

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  • Kyodaisuu

    巨大数たんbotのツイートに、

    トランプ52枚を並べてできる最大の素数は 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101011だよ! 素数大富豪ではジョーカー2枚が入るから最大の素数はもう少し大きくなるよ!

    とあったので、確認してみました。素数判定プログラムによるとたしかに素数です。これよりも大きな組み合わせについて、一通り素因数分解した結果をメモしておきます。

    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101101 = 17710737023899 * 5646229665249245290337308952103505611698120270615374999
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110110101 = 1165147 * 74944220861453457037 * 1145186721662029759051989585123492239238859
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101111010101 = 181 * 282907 * 1952868075006798801313217475001050777987956257714253658374803
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111110101010111 = 101 * 379 * 7206 ……
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  • KurohaKafka

    loader.c の解説

    2016年11月2日 by KurohaKafka

    プログラムA

    c - r || ( L ( u) || L ( r) - f || (x /= 2) % 2 && ( u = S (4, d, 4, r ), t = A (t, d) ), f / 2 & (x /= 2) % 2 && ( c = P ( d, c ), t = S(4,13,-4, t ), u = S(4,13,-4, u) ) ),

    プログラムB

    c && (x /= 2) % 2 && ( t = P ( ~u & 2 | (x /= 2) % 2 && ( u = 1 2 ? f - v ? t - (f > v) * c : y : P ( f, P ( S (v, y, c, L ( x) ), S (v+2, t = S(4,13,-4, y ), c, Z (x) )))  : A (S (v, y, c, L ( x) ), S (v, y, c, Z (x) ) );} } A (y, x) { return L ( y) - 1  ? 5 Z (x );}
    S (v, y, c, t) { int f = ……
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  • KurohaKafka

    \(\begin{eqnarray*} (0(2))=(0(1(0)))&=&ε_0\\(0(1(0)))(0(1(0)))&=&ε_0\cdot2\\(0(1(0))(0(1(0))))&=&ε^2_0\\(0(1(0))(1(0)))&=&ε_1\\(0(1(0)(0)))&=&ε_ω\\(0(1(0(1(0)))))&=&ε_{ε_0}\\(0(1(1(0))))&=&ζ_0=ψ(Ω)\\(0(1(1(0)))(1(1(0))))&=&ψ(Ω\cdot2)\\(0(1(1(0))(0(1(1(0))))))&=&ψ(Ω\cdotψ(Ω))\\(0(1(1(0))(1(0))))&=&ψ(Ω^2)\\(0(1(1(1(0)))))&=&ψ(Ω^Ω)\\(0(2(0)))=(0(3))&=&ψ(ε_{Ω+1})\\(0(4))&=&ψ(ε_{Ω_2+1})\\(0(ω))&=&ψ(Ω_ω)\\(0(ω)(ω))&=&ψ(Ω_ω\cdot2)\\(0(ω(ω))&=&ψ(Ω^2_ω)\\(0(ω(ω(ω\cdots))))&=&ψ(ε_{Ω_ω+1}) \end{eqnarray*}\)

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  • KurohaKafka

    Sに限定して、

    \(SS...S(SS)(SS...S)\) で \(x^x\)

    \(SSS(SSS(\cdots(SSS)\cdots))\) で 2^x

    \(SSSSS(SSSSS(\cdots(SSSSS)\cdots))\) で 3^x

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  • KurohaKafka

    自然数は次の5条件を満たす。

    1. 自然数 0 が存在する。
    2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
    3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
    4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
    5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

    5 は数学的帰納法

    これらの条件を述語論理で表し形式的に扱えるようにする。述語論理による表現を解釈することで構造が生まれる。定数記号、関数記号、述語記号の解釈からなる構造を L-構造とよぶ。(純粋に形式的な表現を言語と言いそれに意味を与える解釈を構造という。)

    ペアノ算術の言語

    \(\mathcal{M}=(0,s,

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  • KurohaKafka

    関数の表現の整理

    2016年10月19日 by KurohaKafka

    集合と同様に外延的な定義と内包的な定義がある。また関数と集合は等価である。

    外延的な定義

    定義域内のそれぞれの要素が写る先を一つずつすべて定義する。この方法で無限の定義域を持つ関数を定義することは有限の存在にはできない。

    内包的な定義

    普遍的な規則で定義域内の要素が写る先を定義する。定義域はその規則の議論領域内に収まらなければならない。規則を表すのに最低限必要な表現力が強力であればあるほど、より強い関数を定義できるようになる。


    1.形式的に名前を付けるだけ。個々の意味までは掘り下げない。

    f_0,f_1,f_2,...

    2-1.陽関数

    y=E;Eはyを含まない演算やらなんやらによる表現

    2-2.陰関数

    E=0;Eはyを含んでもよい

    3.λ計算

    λx.E

    4-1.(添え字付き)媒介変数による論理式、定数を割り当てる

    t_0=0∧t_1=1∧t_2=2∧...
    t_0=0∨t_0=1∧t_1=1∨t_0=2∧t_1=2∧∧t_2=2∨...

    4-2.抽象的な意味、すなわち引数と戻り値を媒介するそれぞれの変数に具体的な意味を媒介する変数、あるいは式を割り当てる

    u=x→v=y
    u=x→v=E

    5.ゲーデル数化 名前 全域性の表現 高階関数

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  • Mikadukim

    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。


    この証明はSS変換の定義を勘違いした上で行ったものなので、本来の意味でのふぃっしゅ数バージョン1の評価にはなっていません。すいません。

    SS変換の本来の定義:

    \(\ SS(m,f,T) = (T^{f(m)}(m,f), T^{f(m)}) \quad \) ただしTは(関数, 数)の組から(関数, 数)を返す写像.

    SS変換の, 自分がこうだと勘違いしていた定義:

    \(\ SS(m,f,T) = ((T^{f(m)}f)(m), T^{f(m)}f, T^{f(m)}) \quad \) ただしTは関数から関数を返す写像(いわゆる"変換").

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  • Nayuta Ito

    巨大数に対する理解

    テトレーションレベル・・鼻で笑う 矢印表記レベル・・あと100段階は余裕だ チェーン表記レベル・・何かを感じ始める 多変数アッカーマンレベル・・笑みが消える 高次元配列レベル・・鼓動が高ぶる テトレーション配列レベル・・終わりが近い 計算可能レベル・・限界への挑戦 計算不可能レベル・・限界を超えた 全文を読む >
  • Nayuta Ito


    連鎖E表記
    |Section 1=

    }}

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  • KurohaKafka

    BM1に想定していた展開と評価。型理論的にはこっちの方が解析しやすいかも。それぞれの行の強さはBM2と変わらないかも。

    2行まではBM2と一致

    (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)→(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)・・・

    \begin{eqnarray*}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω・Ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)&=&ψ_Ω(ψ_{I_ω})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,0)&=&\text{pDAN}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(3,3,0)&=&\text{sDAN}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,0,0)&=&\text{PTO of Z\(_2\)?}\\&=&\text{DAN}\end{eqnarray*}

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  • KurohaKafka

    計算と証明

    2016年8月16日 by KurohaKafka

    独自研究よりの内容のメモ。


    証明とは、公理と呼ばれる前提条件から推論規則を有限回適用して、正しいということを示したい論理式を導き出すことを言う。

    標準的な論理では、矛盾した公理からは任意の論理式が証明できてしまうため、本当に正しい証明を得るためにはその前提条件が無矛盾でなければならない。しかし無矛盾であることの証明自体にも同じことが言えてしまう。そのため、本当に正しい証明は、たとえ存在するとしてもそれがなんであるかを知ることができない、ということになってしまう。

    そこで、逆に無条件で正しいとする前提条件を作り、そこから矛盾が導かれる場合は推論規則なり方法論なりが間違っているとする立場について考える。


    これまで人間がやっていた証明を機械で自動的に扱うことはできないか、「証明する」という行為や証明そのものについて、メタな視点からなんらかのメタな定理を得られないか、という研究が20世紀初頭から興り始めたとか、詳しいことはgoogle先生に聞いてください。

    type as proposition の立場から、モダスポーネンスが関数の適用に当たる。

    ゲーデル数を利用して妥当性を形式的に確認することができるために不完全性定理が成り立ってしまう。

    論理が健全であることを示すのに、その任意の形式的証明が論理的帰結に反しないことが挙げられるが、形式主義的には論理が健全であることが先に定義される。健全でないと主張する者に対しては証明の解釈や読み方が間違っていると延々と指摘し続ければ否定しようがない、ただし自分自身その論理が理解できなくなってしまうというリスクが伴う。要するにゴリ押し。


    チューリング完全よりも弱い言語で目的のプログラムを出力するだけなら、そしてチューリング完全よりも弱い言語でいい限り、プログ ……




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  • Alemagno12

    Since Bashicu Matrix System is so strong, I divide the analysis in parts.

    This first part will cover analysis of Primitive Sequence System in FGH (Fast Growing Hierarchy)

    This is NOT meant to be accurate.


    If ordinal α is the FGH ordinal, it's a shorthand for fα(n).



    Bashicu Matrix System FGH Ordinal
    (0)[n] 2
    (0)(0)[n] 3
    (0)(0)(0)[n] 4
    (0)(1)[n] ω
    (0)(1)(0)[n] ω+1
    (0)(1)(0)(1)[n] ω2
    (0)(1)(0)(1)(0)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)[n] ω2
    (0)(1)(1)(0)(1)(1)[n] ω22
    (0)(1)(1)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)(1)(1)[n] ω4
    (0)(1)(2)[n] ωω

    Under Construction

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  • Nayuta Ito

    需要があるかどうかは分かりませんが、もしかしたら「寿司虚空編的なもの」を作る上での参考資料になるかもしれないので。


    マシモスケールは13個あるので、それらの区切り目を小さい方から順に


    (まだ私はψ関数を知らないのでM_6以降の計算ができない。多分マシモスケールの小数点以下は全て0か9だろう。)

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  • Hex347

    ラヨ数に関するメモ

    2016年6月26日 by Hex347

    メモ。正しいかどうかは分からないので注意してください。


    ユーザーブログ:Kyodaisuu/偽ラヨ数という物があることを初めて知った。最初はなぜラヨ数と違いがあるのか分からなかったが、偽ラヨ数、ラヨ数でいう「グーゴル個以内の記号で表現できる正の整数」の分布は連続的ではなく隙間があると考えると納得できた。


    自分は、ラヨ数でいう一階集合理論(FOST)は単にZFC集合論の事だと思っていたが、本当は一階述語理論によって定義された、述語関数「\( = \)」「\( \in \)」を含む理論の事であった。

    それを聞いて、「空集合などが含まれていると保障されていないといけないのでは?」と思ったが、答えがラヨ数の記事に書いてあった。説明2の節に「FOSTはを領域(domain)とするの体系である。」とある。体系と書いてあることから、ZFC集合論のようなただ一つの理論に限定されたものではないことが分かる。また、「フォン・ノイマン宇宙を領域とする」と書かれていることから、FOSTは少なくとも、フォン・ノイマン宇宙に含まれる必要がある集合の存在が保障されていることになる。


    ユーザーブログ:Hex347/アッカーマン関数の簡潔な表記でだらだら書いていたハイパー演算子の拡張(今は削除済)が、自分で納得できるものになったのでメモしておく。配列表記などで既に実現されたアイデアの気もするが気にしないでおく。

    ハイパー演算子のペア数列的表現。ある数xを取り、括弧を使ってスタック的な記法で表す。
    スタックがない場合の値の取り出し(=零変数版) [a]=a
    ここから括弧の連続を...で表す。
    一変数版 ...()[a]=...[a+x]
    二変数版 ...(1)[a]=...[a+x] ...(y)[1]=...[x] .. ……






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  • Mikadukim

    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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  • BashicuHyudora

    広義原始数列

    2016年5月28日 by BashicuHyudora
    • 原始数列
    初項\(S_{0}\)は\(0\)、\(S_{i}\)は整数、\(S_{i+1}-S_{i}≦1\)かつ\(S_{0}-S_{i}≦0\)
    • 広義原始数列
    \(S_{i}\)は整数、\(S_{0}-S_{i}≦0\)
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  • KurohaKafka

    定義はBM2によります。

    ψ関数はDeedlit氏の定義を若干変えて採用しています。 Ψ関数の左端の0は省略してます。

    C は Main Ordinal Notation System の定義を採用しています。

    B は以前の解釈による C( Cの解釈が本当に正しいのかという問題は依然として残っている。)

    \(σ=C(Ω_2\cdot2,0)\quad a^+=C(Ω_2,a)\)

    Z_2まではAlemagno12氏と(たぶん)一致している。そこからさきはほとんど予想ということで。

    要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω ……

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  • Junjosuu

    Rayo 氏の Higher Infinite や Computability に関する講義が edx で 2015 年の 8 月にあったようです.

    https://www.edx.org/course/paradox-infinity-mitx-24-118x

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  • KurohaKafka

    行列 \(G\frown B\frown N\) をβ-簡約して

    \(G\frown B_0\frown B_1\frown\cdots\frown B_n\)

    が得られたとする。このとき、

    \(B_k\frown N_k

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  • Hex347
    この記事は執筆中です。

    この関数は計算不可能な関数にみられる共通点に着目したアイデアにより作られました。まず、非常に大雑把に言ってしまえば、計算不可能な関数は次のように表現できると思っています。

    • ビジービーバー関数は「x文字以下のプログラムで表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • クサイ関数は「x文字以下の、神託コンビネータ\(Ω\)を追加したSKIコンビネータ計算(=プログラム)で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • ラヨ数を生成する関数は「x文字以下の、一階集合理論(FOST)の言語で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。

    このように書くと、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点が見られます。〇〇の表現力が高いほど、この形式の関数の増加速度は速くなると考えられます。つまり、この推測が正しければ、〇〇の表現力を一階集合理論(FOST)よりも高めると、ラヨ数を生成する関数よりも増加速度が速い関数を作れると考えられます。この方法で作られた関数がビッグフットを生成する関数だと認識しています。

    Hex関数は、上の「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点に関する認識が正しいことを前提にした関数です。つまり、これが正しくなければ崩壊する「取らぬ狸の皮算用」的な関数です。ただ、作ってしまったので、このまま正しいとして進めていきます。

    また、この関数は、「理論とは、論理式に関する記号と公理規則と推論規則しか定義されていない一階述語論理に、対象記号と関数記号と述語記号を付け加えたものである。」という認識に依存しています。


    まず、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」の〇〇に何を入れるかですが、「一階述語論理において、自然数を表現できる理論全て」を入 ……


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  • Hex347

    この記事は執筆中です。

    アッカーマン関数は理解しづらいなと思っていました。しかし、考えを巡らせていたところ、アッカーマン関数を簡潔な表記で表す方法を見つけましたのでここにメモします。


    アッカーマン関数は非負の整数に対して次のようにして定義されます。


    このくらいにしておきます。さて、2の壁がなくなったとき、大量の1が出来ました。1の壁は積み重なった0の壁を作り、2の壁は積み重なった1の壁を作り、nの壁は積み重なったn-1の壁を作るというのが、もう一つの規則性です。

    このリストのような表記法で計算するというのは、「アッカーマン関数」「スタック」と検索すれば出てくる手法です。

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  • KurohaKafka

    言語Lが完全であるとは、Lで記述される任意の文章について、それが正しいのであれば正しいという証明をLによる表現のみで導くことができることを意味する。

    「正しい」とはどういうことかについては、最終的に各個人の直観なり信仰なりに委ねるしかなく、そこは数学で扱うところではない(完全かどうかも最終的には各個人に委ねることになる)。

    モデルとは、2値論理に限定して、任意の概念について矛盾することなく真か偽を決定することで決まる。

    Lが完全であるとき、モデルが存在するのであればそのモデルの存在をLから矛盾を導けないことで保証してもらうことができる。

    言語Lで記述可能な式(簡単のため可算無限個だけ存在するとする)を \(φ_0,φ_1,φ_2,\cdots\) と並べる。

    \(φ_0\) から真理値を矛盾が導かれないよう割り当てていく。

    さて、ここで \(φ_n\) の真理値をどこまでも矛盾が導かれることなく割り当てることができたとき、すべての真理値を割り当て終えた後も矛盾が導かれないかどうかが問題となる。

    矛盾しているのであればモデルは存在しない。また完全性が成り立つのであれば、必ず矛盾を導き出すことができる、すなわち矛盾しているという証明が存在する。

    その証明に表れる式は有限個である(ここでは有限言語のみで考える)ため、任意の \(n\) の段階で矛盾が導かれないのであれば全体でも矛盾が導かれることはない。

    よってコンパクト性定理が成り立つ。

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  • Hex347

    新しい関数の提案

    2016年2月26日 by Hex347
    恥ずかしいことに、この記事には大きな間違いが含まれています。

    少なくともラヨ数より大きい数を作る方法を思いつきました。なので、ここに書き留めておきたいと思います。


    ラヨ関数は一階述語論理の上に構築されたZFC集合論を基礎として作られています。しかし、集合論はそのほかにも選択公理を認めない集合論、巨大基数が存在するという公理を付け加えた集合論、連続体仮説を否定するか肯定するかのどちらかの公理をZFC集合論に付け加えた集合論など様々なものがあります。 このことから、一階述語論理で表せる論理そのものを対角化した、「一階述語論理の上でx文字以内で構築できる論理で表すことが出来る数を返す関数f(x)」は明らかにラヨ関数よりも強いと考えられます。

    ただし、論理はさまざまな種類があるので、それによって作られる物にはさまざまなものがあります。それらの中には数とはとても呼べないようなものも含まれています。これは難しい問題ですが、ペアノの公理を満たすものだけを数と定義すれば、うまく数と呼べないものを除けるのではないのでしょうか。

    これを考慮した定義を言葉で表すのは難しいので、架空的な計算過程を書くことで定義とします。

    1. 一階述語論理を基礎として、その論理を定める物(公理や推論規則など)がx文字以内で構築できる論理全体のリストOを求める。
    2. Oのうち、ペアノの公理を満たす構造を定義できない論理を除いたリストQを求める。
    3. Qを構成する論理すべてに次の操作をする。
      1. この論理を使って定義できるペアノの公理を満たす構造全体のリストNを求める。
      2. Nを構成する構造すべてに次の操作をする。
        1. この構造である物のうち、この論理を使ってx文字以内で定義できる物全体のリストRを求める。
        2. リストRを構成する物のうち、「これより小さい物Aとこ ……

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  • KurohaKafka

    不完全性定理

    2016年2月19日 by KurohaKafka

    ある言語で記述可能な論証体系における任意の証明が妥当であるかどうかの判断を、その理論による形式的な証明におきかえることができる場合にのみ成り立つ。不動点定理を使って証明する。ロッサー文で直接矛盾に条件を弱めた場合を証明できる。便利。


    妥当であることの判断をその理論による証明に置き換えられないような証明の方法によって、その論証体系があずかるその理論の無矛盾性を自分で証明できることが考えうる。

    ただし存在を示すことができたところでそれが実際に人間に扱える言語であるとは限らない。

    言語としてのプレスバーガー算術なら人間でも扱うことができる。

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  • KurohaKafka

    ラヨ関数

    2016年2月16日 by KurohaKafka

    ラヨ関数のwell definedに必要なもの。

    • 論理の公理、すなわち、命題論理のトートロジー、量化子に関する公理、等号に関する公理
    • 外延性の公理
    • 自然数の定義に関する公理(自然数のクラスまでは定義しなくていいと思う)、すなわち、自然数、後者関数のFOSTによる表現

    これで必要十分?

    空集合の公理は自然数のFOSTによる実装に含めてしまってもいいような。

    自然数以外の公理を強くすると関数も若干強くなるが、Rayo(x+a)程度の効果しかない・・・? 自然数の公理はFOSTを超越した何かしらの方法で自然数を実装することで、たとえばf(X)=X∪{X}がラヨ関数になるようだとやたら強くなる。


    ∀R { { ∀[ψ], s: R([ψ],t) ↔ ([ψ] = "x_i ∈ x_j" ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨ ([ψ] = "x_i = x_j" ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨ ([ψ] = "(¬θ)" ∧ ¬R([θ], t)) ∨ ([ψ] = "([θ]∧ξ)" ∧ R([θ], t) ∧ R([ξ], t)) ∨ ([ψ] = "∃x_i(θ)" ∧ ∃t′: R([θ], t′)) (where t′ is a copy of t with x_i changed) } ⇒ R([ϕ],s) }


    The smallest number bigger than any number that can be name ……


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  • KurohaKafka

    Z 2

    2016年2月14日 by KurohaKafka

    \(\mathcal{M}=\{ 0,S,+,\cdot,

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  • KurohaKafka


    Dは多次元空間の座標系で、その要素はすべて非負整数。 e_iはDのi番目の要素


    次数が小さくなっていくことを利用して再帰に利用するなりエンコードとして使うなり。

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