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  • KurohaKafka

    バシク行列の2次元の表現を、1次元の数列と入れ子構造、すなわち数列でラベルがつけられたヒドラツリーで表現する。

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  • BashicuHyudora
    Bm^10(9)
    Bm(x) :準備する行列 M[1,a]=0,M[2,a]=1(1≦a≦x+1)の行列. 列の数をS(0≦S)とする. :Bmに値を返す条件 S=0.  :Bに返す値 x. :Mの変形 xを二乗する. Mを「残す行列」G,「刈る列」Nに分ける.  :Nを刈る NをM[S,b](1≦b)とする. Nを刈り,Nが0以外を含むならGの一部分を複製.  :Gの一部分を決める Mを一行ずつNと比較する. 比較するごとに決まる条件を満たすか調べる.  :比較する列の順 M[S-L,c]で,L=0からLを1ずつ増加させて比較.  :比較する要素の順 M[S-L,c]とN[c]で,c=1からcを1ずつ増加させて比較. MよりNが大きければNをMと等しくさせる. 逆または等しい場合,次の列に移る.  :決まる条件 Nの変化後,MとNが全て等しい. 複製するGの一部分,M[S-L+d,e]をB[d,e](0≦d≦L,1≦e)とする.  :Bの複製 Bを一度複製するごとに,Bの要素の一部にそれぞれ同じ数を足す.  :足す数 D[f]=N[f]-B[1,f](1≦f).  :Bに足す   B[1,g](1≦g≦N[g+1]=0になるg)にD[g]を足す. 次にB[h,g](h=1,hをLまで1ずつ増やす)が,Dを足す前のB[1,g]より, 大きいかつ,根元の列のDが足された同じ行の要素にD[g]を足す.  :根元の列 B[h-i,g](iはB[h-i,1] ……
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  • Hassium108

    物置

    2017年5月15日 by Hassium108

    編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。


    計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

    そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

    • NFO型

      例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

    • FON型

      例:FGH、SGH、ハーディー階層

    • ON型

      例:原始数列システム、バシク行列システム

    • FNO型

      例:ハイパーE表記


    括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

    • 空構造

       []は項であり要素でもある。

    • 代入構造

       数nに対し、[n]は項であり要素でもある。

    • 係数構造

       項Aと数nに対しAnは要素である。

    • 結合構造

       項Aと要素Bに対しABは要素である。

    • ネスト構造

       要素Aについて[A]は項であり要素でもある。    

       配列は要素である。

    • 配列構造

       ???

    • レベル構造

       ???

    例:ドル関数の角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造

      ヒドラゲームのヒドラ→空構造+結合構造+ネスト構造

      超階乗配列表記→空構造+代入構造+ネスト構造+配列構造

      ドル関数の拡張角括弧表記→空構造+代入構造+係数構造+結合構造+ネスト構造+レベル構造

      バシク行列システム(数列表記)→結合構造+配列構造



       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L"\))

      ・配列構造

       例:\(3L[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL[\#,a]=(n+a)L[\#,0]\)

       (2) \(nL[Z]=n\)

       (3) \(nL[\#,a+1,0,Z]=nL[\#,a,n,Z]\)


        ……








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  • Nayuta Ito

    オメガ1将棋

    2017年4月15日 by Nayuta Ito

    Omega One Chessの具体例を見ているときに、チェスの各駒の記号と棋譜がわかりづらいと思ったので、日本人にわかりやすい将棋で(ほぼ)同値な状況を再現することにした。


    • クイーンがない(適宜角行または飛車で置き換える。どちらかで再現不可能の時は「奔」(奔王)でクイーンを表す)
    • マスの数え初めの場所が違う(そのため、基本的にチェス盤を上下反転させた状態で表記する)

    チェスの黒番を先手、白番を後手とする。また、先手の駒を太字で、後手の駒を細字で記す。さらに、盤面は9×9の升目を超えて無限に続いているものとする。


    1 
    一 歩














    ▲3N飛 △2三飛 ▲3四玉 △4三竜 ▲3五玉 △2五飛 ▲3六玉 △4五竜 ▲3七玉 △2七飛 ▲3八玉 △4七竜 ・・・(Nの数に応じていくらでも続けることができる)

    よって、この盤面はωである。

    (詰将棋に詳しい方、これでうまくいっているでしょうか?)

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  • BashicuHyudora

    ψ関数

    2017年4月1日 by BashicuHyudora

    ψ関数の強化メモ

    ψ_ω(0)^^ω=ψ_{ψ_ω(0)[1]}(0)
    ψ(ψ_ω(1))= ψ(ψ_ω(0)), ψ(ψ_{ψ_ω(0)[1]}(ψ_{ψ_ω(0)[ω]}(0))), ψ(ψ_{ψ_ω(0)[1]}(ψ_{ψ_{ψ_ω(0)[ω]}(0)[1]}(ψ_{ψ_{ψ_ω(0)[ω]}(0)[ω]}(0)))), ...
    ψ_1(ψ_ω(α))=ψ_Ω(Ω_{α})
    ψ_Ω(Ω_{ω^ω})とバシク行列はよく似てる。もっと言えば、この2つはε_ωに似ている。 ψ_Ω(Ω_{ω^ω})→バシク行列から、小バシク数列→バシク数列
    上に加え、出現をずらす。
    ψ(ψ_{ω^2}(0))→ψ(ψ_ω(ψ_{ω^2}(0))) ψ(ψ_{ω^3}(0))→ψ(ψ_ω(ψ_{ω^2}(ψ_{ω^3}(0)))) ψ(ψ_{ω^ω}(0))→ψ(ψ_ω(ψ_{ω^ω}(0))) ψ(ψ_{ω^ω^ω}(0))→ψ(ψ_ω(ψ_{ω^ω}(ψ_{ω^ω^ω}(0)))) ψ(ψ_{ε_0}(0))→ψ(ψ_{ε_0}(0))
    ψ(ψ_{ε_ω}(0))=バシク行列? ________________________________________________________________________
    黒羽カフカ氏のバシク行列の解析結果を参考にした拡張。
    (0,0,0)= ψ_Ω[0](0)
    (0,0,0)(0,0,0)= ψ_Ω[0](0)ψ_Ω[0](0)
    (0,0,0)(1,0,0)= ψ_Ω[0](1)
    (0,0,0)(1,1,0)= ψ_Ω[0](ψ_Ω[1](0))
    (0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)= ψ_Ω[0](ψ_Ω[1](0)ψ_Ω[1](0))
    (0,0,0)( ……












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  • BashicuHyudora

    数列の組合せ

    2017年3月29日 by BashicuHyudora

    自然数を1から順に並べた無限に長い数列を用意する。x番目に割り当てられた数字をf(x)と表せば、f(x)=xとなる。ここで新たな関数を作るために、数列の要素を欠いて前に詰めることを考える。例えば、一番目から順に一つ飛ばしに数を消す、はf(x)=x+xとなる。では、組合せを全て表現できる言語をなにかしら設定し、x文字で1番目に割り当てられる最大の数を並べた数列を作ったとき、この関数の増加速度はどのくらいになるか。

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  • BashicuHyudora
    X:1個以上の自然数 Y:0個以上の自然数 a,b,c:自然数
    a[1]b=a^b a[X,1]b+1=a[X](a[X,1]b) a[Y,c+1]b+1=a[Y,c](a[Y,c,c+1]b) a[X]1=a
    a[1,1...c個...,1,1]bは、矢印表記a(↑^c)bと一致する。 f(x)=x[x]xとしたとき、関数fは多重帰納になる。 グラハム数 全文を読む >
  • KurohaKafka

    用意するもの

    環境 \(Γ\);

    すべての自然数とその型 \(0:M(0),1:M(0),2:M(0),\cdots\)

    ここではすべての自然数からなる集合をM(0)とする。

    後者関数とその型 \(m(1)::=λn.f(nfx):N→N\)

    多相関数 \(λx.nx:*→*\)

    ここで自然数 n がすでに多相的な扱いをされている。

    再帰 \(f(f)\)

    型推論

    \(\displaystyle \frac{Γ|-f:∀α.α→α\quadΓ|-x:A}{Γ|-f(x):A}\)

    m(n)変換

    \(m(n)\in M(n)\)

    \(M(n+1)::=M(n)→M(n)\)

    αが極限順序数のとき、

    \(M(α)::=\cup_{n0 として、

    \(m(α+n+1)::=λm.nm:M(α+n)→M(α+n)\)

    \(m(ω+2)m(ω+1)m(ω)(x)=f_{ε_0}(x)\)

    以上で m(ω^ω) つまり f[φ(ω,0)] まで計算可能

    m(n) 変換では多相化の範囲が有界であるため、λx.nx をバシク行列ほど広く利用できない。

    2階ラムダ計算、System F で計算できる関数の上限は \(ψ_Ω(Ω_ω)\)

    高階多相ラムダ計算で \(ψ_Ω(Ω_Ω)\)

    λΠ2で \(ψ_Ω(ψ_{χ(ω,0)}(0))\)

    λΠω すなわちCoCで \(ψ_Ω(ε_{M+1})\) 、これはKP + "There exists a recursively Mahlo ordinal"の証明論強さであり、ローダー数は \(f[ψ_Ω(ε_{M+1})+1](5)\) と近似される? loader.cはwhileループが結局原始帰納クラスの仕事しかしてないようにしか見えない。

    多相的に直接巨大数を生成する関数クラスの定 ……

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  • Koteitan

    Wojowu の BIG FOOT を解説した Nathan Ho による "First-order Oodle Theory"  の日本語対訳です。一番の肝となる ordinal \(\text{Ord}\) の定義の方法が載っている "Sets?" と題された項のところだけ訳してみました。もしも間違いがあれば訂正しますのでコメントで書いてください。

    No.原文日本語1Sets?集合は?2A question arises: how to define sets inside this structure?疑問がひとつ生じます:どうやってこの構造の中で集合を定義するの?3Turns out, it's impossible.結果を言うと、それは無理なんです。4Firstly, because "sets" don't even have definition, secondly, oodleverse could as well work out as a universe of sets.まず、「集合」は定義すら持っていないし、もっと言うと、ooldverse のほうがより集合の宇宙としてうまく働くことができます。5However, if we had some quite large oodinal, which we'll denote \(\text{Ord}\), we could define sets as oodles which have rank \(

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  • BashicuHyudora

    トリオ数列2

    2017年3月8日 by BashicuHyudora

    \begin{array}{ll} (0,0,0)&=&1\\ (0,0,0)(0,0,0)&=&2\\ (0,0,0)(1,0,0)&=&\omega\\ (0,0,0)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(0)\\ (0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(1)\\ (0,0,0)(1,1,0)(2,0,0)&=&\psi_\Omega(ω)\\ (0,0,0)(1,1,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega+\Omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega))\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot2)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\Omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,2,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega^2) ……

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  • BashicuHyudora

    平方充填列

    2017年2月18日 by BashicuHyudora

    小バシク数列ともよぶ。


    A=9:dim B[∞],C[∞],D[∞],E[∞],F[∞],G[∞,∞] for H=0 to 9 for I=1 to A for J=1 to I K=K+1:B[K]=I*I-2*(I-J) next next for K=K to 1 step -1 A=A*A for I=0 to K for J=I to K then if B[I] 全文を読む >
  • Kyodaisuu

    「日本語の文章の文頭に英単語があるときに、その単語は小文字ではじめますか、大文字ではじめますか?」という Twitter アンケートの結果は「大文字ではじめる」が32%で「小文字がはじめる」が27%(4択、詳細は本文)と、「大文字ではじめる」の方が若干多かった。文頭を大文字化するという英語の規則は、日本語にもそれなりに取り入れられつつある。


    英語をはじめとするラテン文字を使用する多くの言語では、文章の最初の単語の先頭を大文字にする (capitalization) というルールがある。この規則は日本語にも適用されるのであろうか。

    このことを考えたきっかけは、巨大数論に書いた

    Billion が 1 兆をあらわすロングスケールは、かつてイギリスで使われていましたが、現在はイギリスでもショートスケールが基本です。

    という文章に対して、Billion から billion への修正意見をいただいたことである。文頭なので大文字化するものだと考えていたが、それは英語のルールであって日本語にはそのようなルールはないと言われれば、なるほどと思う。

    まずはネットで検索をしてみたところ、

    • 日本語論文を書く際の英単語の扱いについて (教えて! goo)
    • 日本語は語を借用しているのであって、文頭を大文字で書くという規則を借用しているのではありません (Twitter)

    といったように「小文字のままにするべき」という意見が見つかったが、いずれも個人的な意見であり、出版物の記述を根拠とするようなオーソライズされた記述は見つからなかった。文頭の単語の先頭を大文字化するべきであるという根拠も、してはいけないという根拠もみつからない。そもそもそのようなケースが少なく、そのような場面が生じても、気にする人は文頭の英単語 ……



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  • KurohaKafka

    数学において「計算する」ということは、日常で使われる意味で解釈されるように、「電卓に1+1を入力したら2という答えが返ってきた」というようなコンピュータによる現象のみを指すのではない。地形を変えて変化する川の流れを観測したり、持ち上げたボールから手を離して「ボールが下に落ちた」という結果を観察したりすることも(広い意味で)「計算」と捉えることができる(厳密には「観測者が『計算』という現象を観測した」と捉えられる)。

    数学でいう「計算機」とは、電卓やパソコンのような実体ではなく、概念を意味する言葉であり、サイコロや障子や箪笥でも計算機となりうる。たとえばサイコロを振って出た目によってその日の運勢を占えば、その占いはサイコロによって計算可能ということになる。

    計算の定義には、以下に述べるように計算機の存在(ハード)からの定義と、計算方法(ソフト)からの定義が考えうる。


    厳密で形式的に定義すると・・・

    計算可能とは、定義域内の0と1の有限の数列で表現可能な任意の入力に対して、1ステップずつ、あらかじめ定めた、字母集合となる有限の集合から選ばれる文字によって、有限の文字数で記述可能な規則=プログラムに則りながら、入力と同じく0と1の有限の数列で表現可能な部分的な結果を導き出し、最終的に有限時間内に全体の結果を導き出す(そして終了状態に入る)ことをいう。定義域が有限であれば、あらかじめすべての入力とそれに対応する出力を用意しておけばいいだけなのでただそれだけで計算可能である。

    反対に計算不可能とは、プログラムの長さ、または計算時間のいづれかがどうしても無限に長くなってしまうことをいう。


    メモリの座標、値、状態、遷移関数

    メタな視点からみて、関数を計算するためには、定義域と値域の要素すべてをその ……



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  • Kyodaisuu

    巨大数たんbotのツイートに、

    トランプ52枚を並べてできる最大の素数は 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101011だよ! 素数大富豪ではジョーカー2枚が入るから最大の素数はもう少し大きくなるよ!

    とあったので、確認してみました。素数判定プログラムによるとたしかに素数です。これよりも大きな組み合わせについて、一通り素因数分解した結果をメモしておきます。

    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101101 = 17710737023899 * 5646229665249245290337308952103505611698120270615374999
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110110101 = 1165147 * 74944220861453457037 * 1145186721662029759051989585123492239238859
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101111010101 = 181 * 282907 * 1952868075006798801313217475001050777987956257714253658374803
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111110101010111 = 101 * 379 * 7206 ……
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  • KurohaKafka

    loader.c の解説

    2016年11月2日 by KurohaKafka

    プログラムA

    c - r || ( L ( u) || L ( r) - f || (x /= 2) % 2 && ( u = S (4, d, 4, r ), t = A (t, d) ), f / 2 & (x /= 2) % 2 && ( c = P ( d, c ), t = S(4,13,-4, t ), u = S(4,13,-4, u) ) ),

    プログラムB

    c && (x /= 2) % 2 && ( t = P ( ~u & 2 | (x /= 2) % 2 && ( u = 1 2 ? f - v ? t - (f > v) * c : y : P ( f, P ( S (v, y, c, L ( x) ), S (v+2, t = S(4,13,-4, y ), c, Z (x) )))  : A (S (v, y, c, L ( x) ), S (v, y, c, Z (x) ) );} } A (y, x) { return L ( y) - 1  ? 5 …… 全文を読む >
  • KurohaKafka

    \(\begin{eqnarray*} (0(2))=(0(1(0)))&=&ε_0\\(0(1(0)))(0(1(0)))&=&ε_0\cdot2\\(0(1(0))(0(1(0))))&=&ε^2_0\\(0(1(0))(1(0)))&=&ε_1\\(0(1(0)(0)))&=&ε_ω\\(0(1(0(1(0)))))&=&ε_{ε_0}\\(0(1(1(0))))&=&ζ_0=ψ(Ω)\\(0(1(1(0)))(1(1(0))))&=&ψ(Ω\cdot2)\\(0(1(1(0))(0(1(1(0))))))&=&ψ(Ω\cdotψ(Ω))\\(0(1(1(0))(1(0))))&=&ψ(Ω^2)\\(0(1(1(1(0)))))&=&ψ(Ω^Ω)\\(0(2(0)))=(0(3))&=&ψ(ε_{Ω+1})\\(0(4))&=&ψ(ε_{Ω_2+1})\\(0(ω))&=&ψ(Ω_ω)\\(0(ω)(ω))&=&ψ(Ω_ω\cdot2)\\(0(ω(ω))&=&ψ(Ω^2_ω)\\(0(ω(ω(ω\cdots))))&=&ψ(ε_{Ω_ω+1}) \end{eqnarray*}\)

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  • KurohaKafka

    万能でないチューリングマシンは任意の計算可能なシステムの物差しとなります、なかなか分かりづらいものさしですが。扱える状態や記号が多ければ多いほどより強力なシステムと同じ強さをもつようになります。

    2-記号に固定し、その非万能チューリングマシンの強さを証明論で評価すれば可算順序数の、ZFC+巨大基数公理で評価すれば巨大基数のビジービーバー関数なるものが出来上がります。

    非万能チューリングマシンで検索しても目当ての記事が出てこないのでここで自分なりに何とかします。別の名前で研究されてるのやも知らんが。

    1-状態2-記号

    停止するプログラムはどれも対称形になったり停止する位置が2マスずれたりするだけで全部同じ。

    • 型レベルでの自然数の定義;マシンが型を本格的に扱えるわけではない。
    • 加法;入力された一つの足し算を一度だけ。1+1=2 とかするだけ。
    • (最大値の設定;コンパイラの助けを必要とする。)
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  • KurohaKafka

    自然数は次の5条件を満たす。

    1. 自然数 0 が存在する。
    2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
    3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
    4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
    5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

    5 は数学的帰納法

    これらの条件を述語論理で表し形式的に扱えるようにする。述語論理による表現を解釈することで構造が生まれる。定数記号、関数記号、述語記号の解釈からなる構造を L-構造とよぶ。(純粋に形式的な表現を言語と言いそれに意味を与える解釈を構造という。)

    ペアノ算術の言語

    \(\mathcal{M}=(0,s,

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  • KurohaKafka

    関数の表現の整理

    2016年10月19日 by KurohaKafka

    集合と同様に外延的な定義と内包的な定義がある。また関数と集合は等価である。

    外延的な定義

    定義域内のそれぞれの要素が写る先を一つずつすべて定義する。この方法で無限の定義域を持つ関数を定義することは有限の存在にはできない。

    内包的な定義

    普遍的な規則で定義域内の要素が写る先を定義する。定義域はその規則の議論領域内に収まらなければならない。規則を表すのに最低限必要な表現力が強力であればあるほど、より強い関数を定義できるようになる。


    1.形式的に名前を付けるだけ。個々の意味までは掘り下げない。

    f_0,f_1,f_2,...

    2-1.陽関数

    y=E;Eはyを含まない演算やらなんやらによる表現

    2-2.陰関数

    E=0;Eはyを含んでもよい

    3.λ計算

    λx.E

    4-1.(添え字付き)媒介変数による論理式、定数を割り当てる

    t_0=0∧t_1=1∧t_2=2∧...
    t_0=0∨t_0=1∧t_1=1∨t_0=2∧t_1=2∧∧t_2=2∨...

    4-2.抽象的な意味、すなわち引数と戻り値を媒介するそれぞれの変数に具体的な意味を媒介する変数、あるいは式を割り当てる

    u=x→v=y
    u=x→v=E

    5.ゲーデル数化 名前 全域性の表現 高階関数

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  • Mikadukim

    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。

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  • Nayuta Ito

    巨大数に対する理解

    テトレーションレベル・・鼻で笑う 矢印表記レベル・・あと100段階は余裕だ チェーン表記レベル・・何かを感じ始める 多変数アッカーマンレベル・・笑みが消える 高次元配列レベル・・鼓動が高ぶる テトレーション配列レベル・・終わりが近い 計算可能レベル・・限界への挑戦 計算不可能レベル・・限界を超えた 全文を読む >
  • Nayuta Ito


    連鎖E表記
    |Section 1=

    }}

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  • KurohaKafka

    とりあえず次の形による表現と計算をバシク行列系と呼んでおく。

    \(G\frown B\frown N\rightarrow^βG\frown B\frown f(B)\frown f(f(B))\frown\cdots\frown f^n(B))\)

    Gは良い部分
    Bは悪い部分
    Nは右端の列

    具体的な定義は関数 f の定義による。

    最初から定義を決めて計算するか、計算しながら行列の状態によって定義を決めるかで二手に分かれる。原始数列は前者であり、2行以上のバシク行列は後者となる。任意の定義可能な自然数から自然数への写像はバシク行列系の形で表現することができる、すなわち、関数の定義に関する問題を行列から行列への写像の問題と捉えることができる(自然数を表す記号の解釈や基本となる関数の問題が、場合によっては別途ついてくるものとして)。


    1行

    \(∀a∀b∀c∀c'∀n∀α∀β∀γ[n

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  • KurohaKafka

    計算と証明

    2016年8月16日 by KurohaKafka

    独自研究よりの内容のメモ。

    超数学の視点から、ある理論で全域性を証明できることを以て計算可能性の証明としてもいいが、そういうのはやめておく。その理論の無矛盾性の証明がなければ数学的な正確さに缺けるというのもある。


    証明とは、公理と呼ばれる前提条件から推論規則を有限回適用して、正しいということを示したい論理式を導き出すことを言う。

    矛盾した公理からは任意の論理式が証明できてしまうため、本当に正しい証明を得るためにはその前提条件が無矛盾でなければならない。しかし無矛盾であることの証明自体にも同じことが言えてしまう。そのため、本当に正しい証明は、たとえ存在するとしてもそれがなんであるかを知ることができない、ということになってしまう。

    そこで、逆に無条件で正しいとする前提条件を作り、そこから矛盾が導かれる場合は推論規則なり方法論なりが間違っているとする立場について考える。

    たとえば、「1」を入力されたら「真」という記号を、「0」を入力されたら「偽」という記号を返して停止する機械があるとする。この機械は「真」と「偽」を同時に出力することはないと議論する者は無条件で信じるため、あるいはそのような現象が起こる要因、もしくはその現象そのものの存在を認めないため矛盾(の形)が導かれてしまうことはない。

    端的にいえば無矛盾性と実在性(モデルの存在)は等価であると考える。


    type as proposition の立場から、モダスポーネンスが関数の適用に当たる。

    ゲーデル数を利用して妥当性を形式的に確認することができるために不完全性定理が成り立ってしまう。


    強化学習やディープラーニングなどは、専門的なことはさておき、原理からみてプログラミングをするプログラムということになる(実際はそこまで大層なものではないと ……




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  • Alemagno12

    Since Bashicu Matrix System is so strong, I divide the analysis in parts.

    This first part will cover analysis of Primitive Sequence System in FGH (Fast Growing Hierarchy)

    This is NOT meant to be accurate.


    If ordinal α is the FGH ordinal, it's a shorthand for fα(n).



    Bashicu Matrix System FGH Ordinal
    (0)[n] 2
    (0)(0)[n] 3
    (0)(0)(0)[n] 4
    (0)(1)[n] ω
    (0)(1)(0)[n] ω+1
    (0)(1)(0)(1)[n] ω2
    (0)(1)(0)(1)(0)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)[n] ω2
    (0)(1)(1)(0)(1)(1)[n] ω22
    (0)(1)(1)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)(1)(1)[n] ω4
    (0)(1)(2)[n] ωω

    Under Construction

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  • Nayuta Ito

    需要があるかどうかは分かりませんが、もしかしたら「寿司虚空編的なもの」を作る上での参考資料になるかもしれないので。


    マシモスケールは13個あるので、それらの区切り目を小さい方から順に


    (まだ私はψ関数を知らないのでM_6以降の計算ができない。多分マシモスケールの小数点以下は全て0か9だろう。)

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  • Hex347

    ラヨ数に関するメモ

    2016年6月26日 by Hex347

    メモ。正しいかどうかは分からないので注意してください。


    ユーザーブログ:Kyodaisuu/偽ラヨ数という物があることを初めて知った。最初はなぜラヨ数と違いがあるのか分からなかったが、偽ラヨ数、ラヨ数でいう「グーゴル個以内の記号で表現できる正の整数」の分布は連続的ではなく隙間があると考えると納得できた。


    自分は、ラヨ数でいう一階集合理論(FOST)は単にZFC集合論の事だと思っていたが、本当は一階述語理論によって定義された、述語関数「\( = \)」「\( \in \)」を含む理論の事であった。

    それを聞いて、「空集合などが含まれていると保障されていないといけないのでは?」と思ったが、答えがラヨ数の記事に書いてあった。説明2の節に「FOSTはを領域(domain)とするの体系である。」とある。体系と書いてあることから、ZFC集合論のようなただ一つの理論に限定されたものではないことが分かる。また、「フォン・ノイマン宇宙を領域とする」と書かれていることから、FOSTは少なくとも、フォン・ノイマン宇宙に含まれる必要がある集合の存在が保障されていることになる。


    ユーザーブログ:Hex347/アッカーマン関数の簡潔な表記でだらだら書いていたハイパー演算子の拡張(今は削除済)が、自分で納得できるものになったのでメモしておく。配列表記などで既に実現されたアイデアの気もするが気にしないでおく。

    ハイパー演算子のペア数列的表現。ある数xを取り、括弧を使ってスタック的な記法で表す。
    スタックがない場合の値の取り出し(=零変数版) [a]=a
    ここから括弧の連続を...で表す。
    一変数版 ...()[a]=...[a+x]
    二変数版 ...(1)[a]=...[a+x] ...(y)[1]=...[x] .. ……






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  • Mikadukim

    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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  • BashicuHyudora

    広義原始数列

    2016年5月28日 by BashicuHyudora
    • 原始数列
    初項\(S_{0}\)は\(0\)、\(S_{i}\)は整数、\(S_{i+1}-S_{i}≦1\)かつ\(S_{0}-S_{i}≦0\)
    • 広義原始数列
    \(S_{i}\)は整数、\(S_{0}-S_{i}≦0\)
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  • BashicuHyudora

    トリオ数列

    2016年4月28日 by BashicuHyudora
    A=9:dim B[∞],C[∞],D[∞],E[∞],F[∞] for G=0 to 9 for H=0 to A B[H]=H:C[H]=H:D[H]=H next E[1]=1:F[1]=1 for I=A to 0 step -1 A=A*A for J=0 to I if B[I-J] 全文を読む >
  • KurohaKafka

    ψ関数はDeedlit氏の定義を参考にしています。

    C は Main Ordinal Notation System の定義を採用。

    要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2+ψ_{Ω_3}(Ω_ω\cdotΩ_2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)&=&ψ_Ω(ε_{Ω_ω+1})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2})\\ ……

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  • KurohaKafka

    Sorry for my bad English.


    If a value at the first line of N is n+1, then go to left from the right end until you find a sequence T_0 that value at first line is n-1, not be found, S_0=T_0. In T_0T_1...S_{n-1}, S'_0 is a right-hand sequence which is the biggest sequence by lexicographic order and that first line has n. Worse part denotes S'_0S'_1...S_{n-1}.

    In worse part, put a restriction on each sequence that first line has a bigger value than n+1 and that value not being 0 doesn't continue as N; in the same line, we don't add a value of Δ to the sequence U that value is not bigger than N's one or each sequences subsequent to the right and that value of first line is bigger than U's one at first line.


    \(\)


    1行

    \(\forall n \forall a \forall s' ……




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  • Junjosuu

    Rayo 氏の Higher Infinite や Computability に関する講義が edx で 2015 年の 8 月にあったようです.

    https://www.edx.org/course/paradox-infinity-mitx-24-118x

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  • KurohaKafka

    行列 \(G\frown B\frown N\) をβ-簡約して

    \(G\frown B_0\frown B_1\frown\cdots\frown B_n\)

    が得られたとする。このとき、

    \(B_k\frown N_k

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  • Hex347
    この記事は執筆中です。

    この関数は計算不可能な関数にみられる共通点に着目したアイデアにより作られました。まず、非常に大雑把に言ってしまえば、計算不可能な関数は次のように表現できると思っています。

    • ビジービーバー関数は「x文字以下のプログラムで表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • クサイ関数は「x文字以下の、神託コンビネータ\(Ω\)を追加したSKIコンビネータ計算(=プログラム)で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。
    • ラヨ数を生成する関数は「x文字以下の、一階集合理論(FOST)の言語で表現できる自然数」の内で最も小さい物を返します。

    このように書くと、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点が見られます。〇〇の表現力が高いほど、この形式の関数の増加速度は速くなると考えられます。つまり、この推測が正しければ、〇〇の表現力を一階集合理論(FOST)よりも高めると、ラヨ数を生成する関数よりも増加速度が速い関数を作れると考えられます。この方法で作られた関数がビッグフットを生成する関数だと認識しています。

    Hex関数は、上の「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」という共通点に関する認識が正しいことを前提にした関数です。つまり、これが正しくなければ崩壊する「取らぬ狸の皮算用」的な関数です。ただ、作ってしまったので、このまま正しいとして進めていきます。

    また、この関数は、「理論とは、論理式に関する記号と公理規則と推論規則しか定義されていない一階述語論理に、対象記号と関数記号と述語記号を付け加えたものである。」という認識に依存しています。


    まず、「x文字以下の〇〇で表現できる自然数」の〇〇に何を入れるかですが、「一階述語論理において、自然数を表現できる理論全て」を入 ……


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  • Hex347

    この記事は執筆中です。

    アッカーマン関数は理解しづらいなと思っていました。しかし、考えを巡らせていたところ、アッカーマン関数を簡潔な表記で表す方法を見つけましたのでここにメモします。


    アッカーマン関数は非負の整数に対して次のようにして定義されます。


    このくらいにしておきます。さて、2の壁がなくなったとき、大量の1が出来ました。1の壁は積み重なった0の壁を作り、2の壁は積み重なった1の壁を作り、nの壁は積み重なったn-1の壁を作るというのが、もう一つの規則性です。

    このリストのような表記法で計算するというのは、「アッカーマン関数」「スタック」と検索すれば出てくる手法です。

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  • KurohaKafka

    Wikipedia にでも書かれてある部分は Wikipedia にまかせます。|- は のモデルとなっている。


    一階述語論理と同じ言語を使うが、量化子の使用に制限のある RCA_0 のモデルでは、すべての2変数アッカーマンの全域性が恒に成り立つが、証明することはできない。


    Γ は充足的である ⇔ Γ の各有限部分集合 Γ_0 は充足的である

    コンパクト性定理が成り立たないとき、任意の有限部分集合に充足する設定があっても、それらは必ず充足できない Γ の論理式を、それぞれ無数にもつ。

    コンパクト性定理が成り立つとき、Γ の各有限部分がモデルをもてば Γ 自身もモデルをもつ。たとえば、ラヨ関数が対角化する一階の集合論(一階の有限の集合論を極大化したもの)は、フォン・ノイマン宇宙をドメインとするモデルをもつ。


    証明

    ⇒ は明らかなので、

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  • Hex347

    新しい関数の提案

    2016年2月26日 by Hex347
    恥ずかしいことに、この記事には大きな間違いが含まれています。

    少なくともラヨ数より大きい数を作る方法を思いつきました。なので、ここに書き留めておきたいと思います。


    ラヨ関数は一階述語論理の上に構築されたZFC集合論を基礎として作られています。しかし、集合論はそのほかにも選択公理を認めない集合論、巨大基数が存在するという公理を付け加えた集合論、連続体仮説を否定するか肯定するかのどちらかの公理をZFC集合論に付け加えた集合論など様々なものがあります。 このことから、一階述語論理で表せる論理そのものを対角化した、「一階述語論理の上でx文字以内で構築できる論理で表すことが出来る数を返す関数f(x)」は明らかにラヨ関数よりも強いと考えられます。

    ただし、論理はさまざまな種類があるので、それによって作られる物にはさまざまなものがあります。それらの中には数とはとても呼べないようなものも含まれています。これは難しい問題ですが、ペアノの公理を満たすものだけを数と定義すれば、うまく数と呼べないものを除けるのではないのでしょうか。

    これを考慮した定義を言葉で表すのは難しいので、架空的な計算過程を書くことで定義とします。

    1. 一階述語論理を基礎として、その論理を定める物(公理や推論規則など)がx文字以内で構築できる論理全体のリストOを求める。
    2. Oのうち、ペアノの公理を満たす構造を定義できない論理を除いたリストQを求める。
    3. Qを構成する論理すべてに次の操作をする。
      1. この論理を使って定義できるペアノの公理を満たす構造全体のリストNを求める。
      2. Nを構成する構造すべてに次の操作をする。
        1. この構造である物のうち、この論理を使ってx文字以内で定義できる物全体のリストRを求める。
        2. リストRを構成する物のうち、「これより小さい物Aとこ ……

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  • KurohaKafka

    不完全性定理

    2016年2月19日 by KurohaKafka

    ある言語で記述可能な論証体系における任意の証明が妥当であるかどうかの判断を、その理論による形式的な証明におきかえることができる場合にのみ成り立つ。


    無限に長い証明によって、任意の理論は可算なモデルにおける有限の長さの証明において無矛盾であることを証明することはできる。


    妥当であることの判断をその理論による証明に置き換えられないような証明の方法によって、その論証体系があずかるその理論の無矛盾性を自分で証明できることが考えうる。

    1階述語論理は完全性定理の意味において完全であるため、すくなくとも1階述語論理よりも抽象な表現が可能で、モダス・ポーネンスと一般化の組み合わせで代用できないほどに高度な推論規則を備えていなければならない。

    そんな都合のいい言語が存在するかどうか、存在を示すことができたところで実際に定義できるかどうか。

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  • KurohaKafka

    ラヨ関数

    2016年2月16日 by KurohaKafka
    • 0はいかなる数の後者でもないただひとつの自然数
    • 任意の自然数は後者と呼ばれるただひとつの自然数を持つ
    • 異なる自然数は異なる後者を持つ
    • 任意の自然数の部分集合は最小値を持つ

    以上をそれぞれの言語に翻訳すればよい。またラヨ関数を定義するためには以上を非自明な公理としてあれば十分である。


    • その言語で定義できない関数の導入→ふぃっしゅ数バージョン7
    • ラヨ階層を議論対象へ追加、あるいは真理述語の導入→ビッグフット
    • 真理述語の階層を議論対象へ追加→リトルビッゲドン、サスクワッチ(ビッグビッゲドン)
    • 関数記号の導入→FOFT(1階関数論理)
    • 無条件の定義可能性に関する述語の導入→(未定)

    FOST で記述できない程十分複雑な関数 f を FOST に追加することでラヨ関数を定義できるようになる、更には f をいかなる言語でも定義できない関数とすることですごいことになる。FGH で f[ω_1] が役に立つようになる。

    ここでいくつかの新しい巨大関数の定義が考えられる。

    1. f をあらかじめ何らかの関数に固定したうえで、n 文字で記述される論理式でユニークに定義されるいかなる a_0 の値よりも大きい最小の自然数
    2. それぞれの論理式において、a_0 の値が最大になるように f が設定される、そのようなfが存在しない場合はその論理式はなにも命名しないとした上で、後はラヨ関数と同様に定義される関数

    \(f^\text{DEF}_1\) を厳密に定義不可能(well indefinable)な関数とする、すくなくとも \(f[ω_1]\) の複雑さを持っていなければならず、ここではひとまずこのくらいの複雑さを持った関数とする。FOST+ \(f^\text{DEF}_1\) を対角化した関数はビッゲドンよりも強い? \(f^ ……


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  • KurohaKafka

    数列

    2016年2月14日 by KurohaKafka

    半年か1年ほど前軽く触れて以来忘れていた未解決問題。

    n種の記号からなる、いかなるひとつながり部分列も、それより小さい列の繰り返しで表すことができないような数列。

    1

    121

    1213123132123... 無限に続く?



    最大でひとつの頂点からm本の辺が伸びている、頂点にn種のうちひとつのラベルが付いた連結グラフGについて、その部分グラフをG'とする。任意のG'は、自信に直接(あいだに頂点をはさまずに)繋がっているG'と位相同型なグラフをもたないものとする。この条件を満たすGの最大グラフがもつ頂点の数をG(m,n)とする。 m=2のときが数列の問題となる。

    いくつかの特殊な値

    G(0,n)=1 nは任意の自然数 G(1,n)=2 nは1より大きい自然数 G(m,1)=1 mは任意の非負整数

    巨大関数になればいいんだけどね わからん

    ヴァリエーション

    単純グラフに限定するとか

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  • KurohaKafka

    Z 2

    2016年2月14日 by KurohaKafka

    \(\mathcal{M}=\{ 0,S,+,\cdot,

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  • KurohaKafka


    Dは多次元空間の座標系で、その要素はすべて非負整数。 e_iはDのi番目の要素


    次数が小さくなっていくことを利用して再帰に利用するなりエンコードとして使うなり。

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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン1とバージョン2で使われるSS変換を, 自分が見やすいと思う書き方で表示してみます. 書き方を変えただけなので新しい内容は何もないです, 念のため.  間違っていたら指摘していただけると助かります.


    • 0以上の整数を「数」, 数全体から数全体への写像を「関数」, 関数全体から関数全体への写像を「変換」と呼ぶことにする. S変換は変換の一例である.
    • 変換 \(S\) に対して, 新たな変換 \( S^* \)を次で定義する.

    \[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x). \]


    「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」から「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」への写像 SS を以下のように定義し, SS変換と呼ぶ.


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, S^{f(m)}f,\, S^{f(m)}) \).


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \).


    SSをバージョンiのSS変換とする(i=1,2). 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を, \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) は S変換 とするとき, \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をバージョンiのふぃっしゅ数, 第2成分をバージョンiのふぃっしゅ関数と定義する.

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  • Kyodaisuu

    『巨大数論』の2版を作り始めました。初版を発行してから、この巨大数研究 Wiki 等で色々とやってきてアップデートされた知見を盛り込んでいきたいと考えています。まずは、ベータ版を発行して、少しずつ内容を更新していきます。こちらにベータ版をアップしました。

    ベータ版では、初版からの更新箇所を青字で記しています。細かい修正は除きます。

    随時アップデートして、たまに更新情報などをここにコメントで書き込もうと思います。

    誤字脱字、内容に関する疑義や質問等は、著者へ連絡していただけるとありがたいです。

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  • Dummy index
    • \( \text{base} \approx \exp(1/e) \)で通過するのに時間がかかるあたりで速度むらがないこと、という要請を立てて、base=1.5, 1.45, 1.445の3パターンでテトレーションの補間式を作った
    • \( {}^xa \gg a \)の場合に\( {}^{x+1}a = a^{{}^xa} \approx b^{{}^xa} \)である(≫や≈の意味とか後述)、という件を発展させて、\( {}^xa \approx {}^yb \)なら\( {}^{x+c}a \approx {}^{y+c}b \)という要請を立てて、底を振れるようにした
    • \( \text{base} = e \)で某所 と答え合わせをしたら…

    普通の(高さが整数の)テトレーションにより、つなげたい点をいくつかピックアップできる。さて、これをいきなり多項式補間しても振動が激しくなり気持ち悪い。問題の性質からy=a^xの曲線とy=xの間のギャップに比例して値の移動速度が決まるとして\( y=x={}^ta \)と書いて、一番近くなった点を中心に二次まで考慮する(中略)とそこを中心としてtanで近似するのが良さそう。(中略)

    以下gnuplot表記

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  • Dummy index

    近似式案

    工学系の人間としては複雑な正解より簡単な近似式がほしいのです。

    • 面倒なパラメータはなるべく少なく
    • 区間境界で微係数が一致するだけではなくなるべく広範囲にわたってゆるやかに近似できる関数がよい
    • つまり気持ちは全域正解を目指す
    • 一定の距離の関係(例えば\(f(x+1)=f(x)+1\))だけが与えられたら、いくらでもバリエーションができてしまう(例えば\(f(x)=x\)に対して\(g(x)=x+\sin(2 \pi x)\))
    • であるから必要な関数だけを自然な形で含んでいる近似式が正解に近いはず(願望)

    境界条件は

    \(f(-1)=0, f(0)=1, \tfrac{df}{dx}(0)=\tfrac{df}{dx}(-1)\log(a)\)

    ここでaは底である。 

    系A(一次微係数のつじつまをexpの当てはめで、p(a)部分は恣意的)

    \[p(a,x)=(x+1)(x+0.5)x\log(a)^{0.62}/5\]

    \[ q(a,x)= \begin{cases} x+1+p(a,x) & \text{if}\ a=e, \\ \frac{\exp((x+1+p(a,x)) \log(\log(a)))-1}{\log(a)-1} & \text{otherwise}. \end{cases} \]

    \[ ^xa \approx \text{teta}(a,x)= \begin{cases} \log(\text{teta}(a,x+1))/\log(a) & \text{if}\ x \le -1, \\ q(a,x) & \text{if}\ -1 < x \le 0, \\ \exp(\text{teta}(a,x-1) \log(a)) & \text{otherwise}. ……

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  • 巨大数はじめました



    【0】 はじめに

    『プロジェクト・オメガ』とは…、

    簡単に言うと、ε₀以上の順序数を、ωで表記しよう、ということです。

    ωとBEAFで表記することで、それぞれの順序数の位置関係が見えてくることでしょう。
    (テトレーションやチェーン表記もBEAFで表記できます)
    『極限順序数の一覧』も、併せてご覧ください。

    ε₀は、『イプシロン・ゼロ』『イプシロン・ヌル』『イプシロンノート』などの読み方がありますが、
    ここでは、『0番目のイプシロン』という読み方も、状況により使います。
    また、『ε(0)』という表記も使うこともあります。
    『ε(n)』は、『n番目のイプシロン』ということになります。

    (何かありましたら、コメントにてご連絡ください)


    【1】 ε₀、そしてその先へ…。

    ε₀は、α=ω↑αが成立する最小の順序数である。
    つまり、ε₀=ω↑ε₀ が成立する。

    ε₀=ω↑↑ω とすると、
    ε₀=ω↑ε₀ は、
    ω↑↑ω=ω↑↑(1+ω) と書くこともできる。

    では、ω↑↑(ω+1) は、どうするか?
    このまま、ω↑ε₀ と書くと、 ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) の区別がつかない。
    しかし、
    ω↑ε₀ = ω↑↑(1+ω) = ω↑↑(ω+1)
    とするわけにもいかない。
    ( ∵ 1+ω ≠ ω+1 )
    では、どうしたものか?



    【2】 ε(0)からε(1)まで

    ここで、 ε₀+1 を出発点とすることにする。
    そして、 ω↑(ε₀+1) ≒ ω↑↑(ω+1) という近似式を使う。

    これにより、ω↑↑(1+ω) と ω↑↑(ω+1) を区別することができるようになった。

    ω↑↑ω ≒ ε₀+1 であり、
    ω↑↑(1+ω) ≒ (ω↑ε₀)+1 = ε₀+1 であり、
    ω↑↑(ω+1) ≒ ω↑(ε₀+1) である。

    このとき、
    ω↑ω↑(ε ……
















































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  • BashicuHyudora

    2014

    原始数列、ペア数列、トリオ数列→バシク行列

    2015

    原始数列→小一次数列、大一次数列 

    ペア数列、大一次数列→三角数列

    2016

    三角数列→弱平方充填列

    2017

    小一次数列→第二小一次数列、零次数列数

    大きさ

    零次数列

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