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  • BashicuHyudora

    \begin{array}{ll} (0,0,0)\\ \phi_\Omega(0)\\ \\ (0,0,0)(1,0,0)\\ \phi_\Omega(1)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)\\ \phi_\Omega^\omega(0)=\\ \phi_\Omega(\Omega)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(1,0,0)\\ \phi_\Omega(\phi_\Omega(\Omega)+1)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)\\ \phi_\Omega^\omega(\phi_\Omega(\Omega)+1)=\\ \phi_\Omega(\Omega+1)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,1,0)\\ (\lambda x.\phi_\Omega(\Omega+x))^\omega\phi_\Omega(\Omega)=\\ \phi_\Omega(\Omega\cdot2)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,1,0)(3,0,0)\\ \phi_\Omega(\Omega\cdot\omega)=\\ \phi_\Omega(\phi_{\phi_{\Omega_2}(\Omega+1)}(\Omega+1))\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,2,0)\\ \phi_\Omega(\phi_{\phi_{\Omega_2}(\Omega+1)}^\omega(\Omega+1))=\\ \phi_\Omega(\phi_{\phi_{\Omega_2}(\Omega+1)}(\phi_{\Omega_2}(\Omega+1)))\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,2,0)(2 ……

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  • 海老天

    メモ

    2017年11月8日 by 海老天

    \(B(m,n) = A(\underbrace{m,m,\dots,m}_{n個})\)


    \(A(a_1,a_2,\dots,a_k) = A(\underbrace{A(a_1,a_2,\dots,a_k-1),\dots,A(a_1,a_2,\dots,a_k-1)}_{(k-1)個},a_k-1)\)

    \(A(a_1,a_2,\dots,a_k,0) = A(a_1,a_2,\dots,a_k)\)

    \(A(x) = x^{x}\)

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  • Hassium108

    fghの剰余

    2017年10月26日 by Hassium108

    twitterで出した問題[1]について調べてみると結構面白かったので、計算結果を残す。

    ※\(n\)が小さいとき例外的に成り立たないことがあるかもしれないが、とりあえず無視する。

    \(f_{\omega}(20n+)≡ (mod 10)\)





    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡1 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡1 (mod 3)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡3 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+14)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+15)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+16)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+17)≡4 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+18)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+19)≡2 (mod 5)\)




    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡4 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡4 (mod 6)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡8 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡6 (mod 1 ……































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  • じぇいそん

    帰化拡張法ver.2

    2017年10月20日 by じぇいそん

    帰化拡張法というタワーとチェーン表記の拡張法を定義したものの、ver.2を作成しました。一応ver.1のver.2と関係ある部分も載せておきます。

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  • BashicuHyudora

    自作表記

    2017年10月15日 by BashicuHyudora

    巨大数表記

    X:適当な列 S&n:Sがn個 a,b,c:非負整数
    a,b,X=a+b,0,X a,a,b,X=a,0,b+1,X a&(c+1),b,X=a,0&c,b+1,X
    a&a=f(a)=f(a)&1=f(a)&0,1 H_{ω^ω}(a) f(a)+b=f(a)&b,1 H_{ω^ω+b}(a) f(a)+b=f(a)&f(a)=f^2(a) H_{ω^ω*2}(a) f^(b+1)(a) H_{ω^ω*2^b}(a) f^x(x)=[0]f^x(x)=[1]f(x) H_{ω^(ω+1)}(x) f^x([1]f(x)) H_{ω^(ω+2)}(x) f^x,x([1]f(x)) H_{ω^(ω*2)}(x) f^f(x)([1]f(x)) H_{ω^ω^ω}(x) f^[1]f(x)([1]f(x)) =1f([1]f(x)) =[1]f([1]f(x)) H_{ω^ω^(ω+1)}(x) [1]f^3(x) H_{ω^ω^ω^(ω+1)}(x) [2]f(x) H_{ε_0}(a) [x]f(x) =1[0]f(x) =[1][0]f(x) H_{φ_ω(0)}(x) [x]&[x]f(x)=f([x])f(x) H_{ψ(Ω^Ω^ω)}(x) ([x])f&x(x)=[1]([0])f(x) H_{ψ(Ω_ω)}(x) 全文を読む >
  • Rpakr

    急増加関数の拡張

    2017年9月23日 by Rpakr

    急増加関数を、順序数に拡張した関数を定義しました。 \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は、\(f^\beta_\alpha(\gamma)\)に対応します。 引数\(\gamma\)または回数\(\beta\)が\(\omega\)以上のとき、\(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は\(\omega\)以上になります。 \(\beta\)も\(\gamma\)も自然数のときは普通のFGHと同じです。


    記法

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)

    規則

    複数の規則が適用可能な時、最も上にある規則を優先する。

    \(f(\alpha,0,\gamma)=\gamma\)

    \(f(0,1,\gamma)=\gamma+1\)

    \(f(\alpha+1,1,\gamma)=f(\alpha,\gamma,\gamma)\)

    \(f(\alpha,1,n)=f(\alpha[n],1,n)\)

    \(f(\alpha,1,\gamma)[n]=f(\alpha[n],1,\gamma)\)

    \(f(\alpha,\beta+1,\gamma)=f(\alpha,1,f(\alpha,\beta,\gamma))\)

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)[n]=f(\alpha,\beta[n],\gamma)\)


    \(f(0,0,\omega)=\omega\)

    \(f(0,1,\omega)=\omega+1\)

    \(f(0,2,\omega)=f(0,1,f(0,1,\omega))=f(0,1,\omega+1)=\omega+1+1=\omega+2\)

    \(f(0,n,\omega)=\omega+n\)

    \(f(1,1,\omega)=f(0,\ ……



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  • Hassium108

    配列システム

    2017年9月21日 by Hassium108

    第k配列システムに対して\(A_k(n)=nL_k[1,0,0,…(0がn個)…,0]\)とし、第k配列数を\(A^{10}_k(10)\)とする。


       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L_1"\))

      ・配列構造

       例:\(3L_1[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL_1[\#,a]=(n+a)L_1[\#,0]\)

       (2) \(nL_1[Z]=n\)

       (3) \(nL_1[\#,a+1,0,Z]=nL_1[\#,a,n,Z]\)


       \(nL_1[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)

       \(A^{10}_1(10)\approx f_{\omega+1}(10)\)


        結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。


       ・NFO型(F=\("L_2"\))

       ・配列構造+結合構造

        例:\(2L_2[1,0,5][2,1][1,4][3]\)


       ・\(Z\):0個以上の0

       ・\(\#\):0個以上の非負整数

       ・\(□\):1個以上の配列

       ・\(n\):変数

       ・右端の配列から計算を行う。

        (1) \(nL_2□[Z]=(n+1)L_2□\)

        (2) \(nL_[Z]=n+1\)

        (3) \([\#,a+1]=[\#,a][#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

        (4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)


        第1配列システム\(\approx nL_2[1,0]\)

        \(nL_2[1,0,…0]\approx f_{\o ……










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  • KurohaKafka

    順序数の整理

    2017年9月11日 by KurohaKafka

    C(C(Ω_2*2,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(0))

    C(C(Ω_2*2+1,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ω)) C(C(Ω_2*2+C(Ω_2+C(Ω_2*2,0),0),0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(0))) C(C(Ω_2*2+C(Ω_2+C(Ω_2*2,0),0)+1,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(0)*ω)) C(C(Ω_2*2+C(Ω_2*2,C(Ω_2+C(Ω_2*2,0),0)),0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(1))) 全文を読む >
  • Kyodaisuu

    ロバート・ムナフォは、6までの自然数はクラス0の数、10^6までの数はクラス1の数、10^10^6までの数はクラス2の数、というように、自然数を使って自然数をクラス分けした、そのオリジナルな定義を急成長階層とすると、上記の定義は急成長階層における関数の集合に属する関数の例を1つずつ取り出すような関数を定義している、と考えられる。

    さて、このようにして急成長階層で関数が階層分けされるのであるから、たとえばグラハム数は「\(\omega+1\)の階層に属するグラハム関数によって定義される巨大数である」と表現すれば、順序数を使ってグラハム数の大きさを評価できる。しかし、この表記法は若干まどろっこしいので、もっと直接的に「グラハム数の大きさは階層\(\omega+1\)である」というように表現したい。そこで、急増加関数を使って、数の大きさを直接的に順序数で階層分けすることを考える。


    順序数\(\alpha\)に対して、\(\mathcal{E}^{\alpha}\) に属する数を

    \[ \alpha < \beta \Rightarrow \mathcal{E}^\alpha < \mathcal{E}^\beta \]

    であるように定義をしたいが、これは原理的に不可能である。そこで、目的を

    ある数\(n\)がある順序数\(\alpha = C(n)\)のクラスに一意に定まり、\( C(m) < C(n) \Rightarrow m < n \)

    とする。


    極限順序数 \(\gamma\) 以下のすべての極限順序数 \(\beta\) に対して、基本列 \(\beta[n]\) が一意に定められているとする。すると、\(\gamma\) 以下のすべての順序数 \(\alpha\) に対し ……




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  • BashicuHyudora

    検証

    2017年8月18日 by BashicuHyudora

    検証スペース

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  • Kyodaisuu

    ユーザー:Kyodaisuu/F3の展開を見て、ジョセフさんがふぃっしゅ数ver.3の展開プログラムを作っていただいたので、実行してみました。\(X0 = ss(2)^{63}f(3)\) が展開されます。実行結果を貼ります。[ ] の中は ss(n) 変換で、[ ] の中の [ ] は s(n) 変換です。

    \( s(1)^3 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f(3)\) は

    [[1,1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示され、その次は \( [s(1)^2 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f]^3(3) \) ですが、そこで

    Xn = [[1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示されます。この Xn= というのは、\(F^3(3)\) の計算で一番内側の \(Xn = F(3)\) を計算しています。

    計算はまだ続いていますが、ここでプログラムを終了しました。

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  • Googleaarex

    このブログ記事では、3行から始まる芭蕉行列システムを分析しています。



    記法 レベル
    (0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})+1\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})\omega\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^{\psi(\Omega_{\omega})}\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1)... \(\psi(\Omega_{\omega}+1)[n]\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+1)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\Omega)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\varepsilon_{\Omega+1})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0)(3,3,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\psi_1(\varepsilon_{\Omega_2+1}))\)
    (0,0, ……













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  • Nayuta Ito

    Comakky数の拡張

    2017年7月23日 by Nayuta Ito

    個人的にComakky数を拡張してみることにしました。C型をもとにしています。


    区切り文字としてコンマとコロンの2種類を用いる。本来のC型とは異なり、コンマの後にコロンを置いてもよい。これはコロンを改行とする2次元配列を意図している。

    X_nは0個以上の自然数、Y_nは0個以上の1、Z_nはコロンでつながった2次元配列の一部を表す。


    をα型Comakky数とする。


    多次元配列を意図する。



    テトレーション配列を意図する。

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  • Mikadukim
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  • Mikadukim

    一般化急増加関数

    2017年7月16日 by Mikadukim
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  • Hassium108

    順序数列ゲーム

    2017年7月14日 by Hassium108
    • プレイヤーは前のプレイヤーが言った順序数より小さい順序数を言う
    • 0を言ったら終了

    というルールのゲームは、必ず有限回で終了し、各ターンにてプレイヤーが言える順序数にをうまく制限すればターン数の上限が生まれる。


    プレイヤーは下の3つの関数を組み合わせて表せる順序数を言うことができる。

    ただし、kターン目で使用可能な関数の個数は合計k+n個までで、変数は1~k+nまでの自然数と\({\omega}\)である。

    \(A({\alpha},{\beta})={\alpha+{\beta}}\)

    \(B({\alpha},{\beta})={\alpha×{\beta}}\)

    \(C({\alpha},{\beta})={\alpha^{\beta}}\)

    例(n=1)

    \(C({\omega},C({\omega},{\omega}))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)・・・1ターン目なので、1+1個の関数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},C(3,3)))={\omega^{\omega^{27}}}\)・・・2ターン目なので、2+1個の関数と2+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},B(4,B(3,2))))={\omega^{\omega^{24}}}\)・・・3ターン目なので、3+1個の関数と3+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},B(C({\omega},A(B(5,4),3),5)))={\omega^{\omega^{23}×5}}\)・・・4ターン目なので、4+1個の関数と4+1以下の自然数を使える

    nに対するターン数の上限を\(g(n)\)とすると\(g(n)\approx f_{\ep ……


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  • BashicuHyudora

    https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/ss-77236654

    訂正

    p18 4.各列、仮にΔを求めるなら一度に2以上移らせない、5.悪い部分の1番前である 6.Δを足しても2,3,4の条件を満たせるなら、足す

    p24 m次数列数(n)→m次数列数

    2版

    https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065

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  • Hassium108

    FGHと超限順序数

    2017年6月13日 by Hassium108

    「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。


    \(f_0({\beta})={\beta+1}\)

    \(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)

    \(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)

    \(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)


    \(f_0({\omega})={\omega+1}\)

    \(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)

    \(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)

    \(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)

    \(f_2({\omega})={\omega^2}\)

    \(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)

    \(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)

    \(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega ……



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  • Koteitan

    巨大数専用マストドン Googoldon を作りました。

    Googoldon

    Mathjaxが使えて、半角の$$でくくると数式も書けます。 グローバルなサイトにしたいので、Googology Wikiでも宣伝しています。 でも、日本語OKです。日本語でも英語でもロシア語でも中国語でも何語でもOK!としたいです。 議論をするもよし、質問をしてもしいし、日記でもよいし、独り言やメモでもよい、というゆるい感じで進めようと思います。

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  • Hassium108

    brainfωck

    2017年6月3日 by Hassium108

    「brainfuckでn文字のコードでメモリ上に残すことができる最大の自然数」を\(BF(n)\)とする(メモリの個数も大きさも無限大とする)。brainfuckはチューリング完全(いかなる計算可能関数も表現できる)なので、\(BF(n)\)は計算不可能関数であり、\(f_(n)\)程度の強さである。


    n BF(n)の下限 コード
    1 1 +
    2 2 ++
    3 3 +++
    4 4 ++++
    5 5 +++++
    6 6 ++++++
    7 7 +++++++
    8 8 ++++++++
    9 9 +++++++++
    10 10 ++++++++++
    11 11 +++++++++++
    12 12 ++++++++++++
    13 16 ++++[->++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>+>+[-]+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+>+[-]>>]
    28 9331 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    29 19608 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    30 55987 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    31 137257 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    32 335923 +>+>+>+>+>+>+>+[-]>>]


    44 113037178808 ++++++++++++++[[>]+[-]>>[+++++++>]


    47 \(2^{127}-1\) +++[->+>>+[[->+-]
    ……























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  • BashicuHyudora

    バシク超行列

    2017年5月29日 by BashicuHyudora
    A=99:dim B[∞],C[∞,∞] for D=0 to 99 for E=1 to A C[2,E]=1 next for F=2 to 1 step -1 A=pow(A,A) for G=0 to F for H=1 to E if C[F-G,H] 全文を読む >
  • KurohaKafka

    ブーフホルツあまり関係ないけどまぁいいだろう。

    バシク行列の2次元の表現を、1次元の数列と入れ子構造、すなわち数列でラベルがつけられたヒドラツリーで表現する。

    バシク行列をそのままツリーに置き換えるやり方

    1行目の値でツリーをつくる。

    2行目以降の値はそれぞれの1行目の値が担う頂点に数列のラベルとして付け加える。

    2行でωを使わないブーフホルツのヒドラと同じ強さになる。

    (0,0)(1,1)=+(0(1))

    (0,0)(1,1)(2,1)=+(0(1(1)))

    (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)=+(0(1(1))(1))

    (0,0,0)(1,1,1)=+(0,0(1,1))

    多次元空間上のツリー

    1行目の値で2次元上に広がるツリーを作る。

    n行目の値で、1行目の値が担う頂点をその値だけn+1番目の次元の方向に上げる。

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  • Hassium108

    物置

    2017年5月15日 by Hassium108

    編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。


    計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

    そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

    • NFO型

      例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

    • FON型

      例:FGH、SGH、ハーディー階層

    • ON型

      例:原始数列システム、バシク行列システム

    • FNO型

      例:ハイパーE表記


    文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

    ※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。

    • 空構造

       "\([]\)"はA型である

    • 代入構造

       数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

    • 係数構造

       A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

    • 結合構造

       A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

       A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

    • ネスト構造

       A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある

       A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

    • 配列構造

       数はC型である

       C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

       C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ

    • 有限レベル構造

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

    • 拡張レベル構造

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

       A型文字列\(a\)とA ……



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  • Nayuta Ito

    オメガ1将棋

    2017年4月15日 by Nayuta Ito

    Omega One Chessの具体例を見ているときに、チェスの各駒の記号と棋譜がわかりづらいと思ったので、日本人にわかりやすい将棋で(ほぼ)同値な状況を再現することにした。


    • クイーンがない(適宜角行または飛車で置き換える。どちらかで再現不可能の時は「奔」(奔王)でクイーンを表す)
    • マスの数え初めの場所が違う(そのため、基本的にチェス盤を上下反転させた状態で表記する)

    チェスの黒番を先手、白番を後手とする。また、先手の駒を太字で、後手の駒を細字で記す。さらに、盤面は9×9の升目を超えて無限に続いているものとする。


    1 
    一 歩














    ▲3N飛 △2三飛 ▲3四玉 △4三竜 ▲3五玉 △2五飛 ▲3六玉 △4五竜 ▲3七玉 △2七飛 ▲3八玉 △4七竜 ・・・(Nの数に応じていくらでも続けることができる)

    よって、この盤面はωである。

    (詰将棋に詳しい方、これでうまくいっているでしょうか?)

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  • BashicuHyudora

    ψ関数

    2017年4月1日 by BashicuHyudora

    \begin{array}{ll} (0,0,0)=\\ \phi(0)\\ \\ (0,0,0)(1,0,0)=\\ \phi(1)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)=\\ \Psi_\Omega(0)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,0,0)=\\ \Psi_\Omega(\omega)\\ \\ (0,0,0)(1,1,0)(2,2,0)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\Omega))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\phi(\Omega+1)))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Omega))))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Omega)+1)))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(4,1,0)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Omega)+\Psi_\Omega(\phi(\Omega+\Omega)+\Omega))))\\ \\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)=\\ \Psi_\Omega(\Psi_\Omega(\phi(\phi(\Omega ……

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  • BashicuHyudora

    数列の組合せ

    2017年3月29日 by BashicuHyudora

    自然数を1から順に並べた無限に長い数列を用意する。x番目に割り当てられた数字をf(x)と表せば、f(x)=xとなる。ここで新たな関数を作るために、数列の要素を欠いて前に詰めることを考える。例えば、一番目から順に一つ飛ばしに数を消す、はf(x)=x+xとなる。では、組合せを全て表現できる言語をなにかしら設定し、x文字で1番目に割り当てられる最大の数を並べた数列を作ったとき、この関数の増加速度はどのくらいになるか。

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  • BashicuHyudora
    X:1個以上の自然数 Y:0個以上の自然数 a,b,c:自然数
    a[1]b=a^b a[X,1]b+1=a[X](a[X,1]b) a[Y,c+1]b+1=a[Y,c](a[Y,c,c+1]b) a[X]1=a
    a[1,1...c個...,1,1]bは、矢印表記a(↑^c)bと一致する。 f(x)=x[x]xとしたとき、関数fは多重帰納になる。 グラハム数 全文を読む >
  • KurohaKafka

    昔バシク行列の強さと計算可能性を計ろうとして失敗したシステム。


    情報とは、0と1の数列や物体の配列など、手段や媒体は何でもいいが、可算無限の意味を表すことができる表現である。

    任意の意味AとBにつき、AをBへ移す写像fが存在する。

    任意の意味Aにつき、Aを含むクラスが存在する。

    定義域Aの要素を値域Bの要素へ移す写像fはAとBどちらにも含まれない。

    任意の写像fにつきfについて閉じているクラスが存在する。

    以上のすべての意味を記述できる言語はいかなる関数も記述できるが、そのような言語は存在しない。

    (関数型言語はすべてを関数として表現する。関数にあちこち写される情報のあり方やデータ構造を重視するのがオブジェクト指向、たぶん)

    用意するもの

    環境 \(Γ\);

    すべての自然数とその型 \(0:M(0),1:M(0),2:M(0),\cdots\)

    ここではすべての自然数からなる集合をM(0)とする。

    後者関数とその型 \(m(1)::=λn.f(nfx):N→N\)

    多相関数 \(λx.nx:*→*\)

    ここで自然数 n がすでに多相的な扱いをされている。

    再帰 \(f(f)\)

    型推論

    \(\displaystyle \frac{Γ|-f:∀α.α→α\quadΓ|-x:A}{Γ|-f(x):A}\)

    m(n)変換

    \(m(n)\in M(n)\)

    \(M(n+1)::=M(n)→M(n)\)

    αが極限順序数のとき、

    \(M(α)::=\cup_{n0 として、

    \(m(α+n+1)::=λm.nm:M(α+n)→M(α+n)\)

    \(m(ω+2)m(ω+1)m(ω)(x)=f_{ε_0}(x)\)

    以上で m(ω^ω) つまり f[φ(ω,0)] まで計算可能

    m(n) 変換では多相化の範囲が有界であるため、λx.n ……


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  • Koteitan

    Wojowu の BIG FOOT を解説した Nathan Ho による "First-order Oodle Theory"  の日本語対訳です。一番の肝となる ordinal \(\text{Ord}\) の定義の方法が載っている "Sets?" と題された項のところだけ訳してみました。もしも間違いがあれば訂正しますのでコメントで書いてください。

    No.原文日本語1Sets?集合は?2A question arises: how to define sets inside this structure?疑問がひとつ生じます:どうやってこの構造の中で集合を定義するの?3Turns out, it's impossible.結果を言うと、それは無理なんです。4Firstly, because "sets" don't even have definition, secondly, oodleverse could as well work out as a universe of sets.まず、「集合」は定義すら持っていないし、もっと言うと、ooldverse のほうがより集合の宇宙としてうまく働くことができます。5However, if we had some quite large oodinal, which we'll denote \(\text{Ord}\), we could define sets as oodles which have rank \(

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  • BashicuHyudora

    \begin{array}{ll} (0,0,0)&=&1\\ (0,0,0)(0,0,0)&=&2\\ (0,0,0)(1,0,0)&=&\omega\\ (0,0,0)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(0)\\ (0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(1)\\ (0,0,0)(1,1,0)(2,0,0)&=&\psi_\Omega(ω)\\ (0,0,0)(1,1,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega+\Omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega))\\ (0,0,0)(1,1,1)(1,1,1)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot2)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,0,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\Omega)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,2,0)&=&\psi_\Omega(\Omega_\omega\cdot\Omega+\psi_{\Omega_2}(\Omega_\omega\cdot\Omega_2))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&\psi_\Om ……

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  • Kyodaisuu

    「日本語の文章の文頭に英単語があるときに、その単語は小文字ではじめますか、大文字ではじめますか?」という Twitter アンケートの結果は「大文字ではじめる」が32%で「小文字がはじめる」が27%(4択、詳細は本文)と、「大文字ではじめる」の方が若干多かった。文頭を大文字化するという英語の規則は、日本語にもそれなりに取り入れられつつある。


    英語をはじめとするラテン文字を使用する多くの言語では、文章の最初の単語の先頭を大文字にする (capitalization) というルールがある。この規則は日本語にも適用されるのであろうか。

    このことを考えたきっかけは、巨大数論に書いた

    Billion が 1 兆をあらわすロングスケールは、かつてイギリスで使われていましたが、現在はイギリスでもショートスケールが基本です。

    という文章に対して、Billion から billion への修正意見をいただいたことである。文頭なので大文字化するものだと考えていたが、それは英語のルールであって日本語にはそのようなルールはないと言われれば、なるほどと思う。

    まずはネットで検索をしてみたところ、

    • 日本語論文を書く際の英単語の扱いについて (教えて! goo)
    • 日本語は語を借用しているのであって、文頭を大文字で書くという規則を借用しているのではありません (Twitter)

    といったように「小文字のままにするべき」という意見が見つかったが、いずれも個人的な意見であり、出版物の記述を根拠とするようなオーソライズされた記述は見つからなかった。文頭の単語の先頭を大文字化するべきであるという根拠も、してはいけないという根拠もみつからない。そもそもそのようなケースが少なく、そのような場面が生じても、気にする人は文頭の英単語 ……



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  • KurohaKafka

    入力を読み取るコンピュータそのものの仕組み、コンピュータに与えられる特定のプログラム、この両方からチューリング完全を解釈する。


    厳密で形式的に定義すると・・・

    計算可能とは、定義域内の0と1の有限の数列で表現可能な任意の入力に対して、1ステップずつ、あらかじめ定めた、字母集合となる有限の集合から選ばれる文字によって、有限の文字数で記述可能な規則=プログラムに則りながら、入力と同じく0と1の有限の数列で表現可能な部分的な結果を導き出し、最終的に有限時間内に全体の結果を導き出す(そして終了状態に入る)ことをいう。定義域が有限であれば、あらかじめすべての入力とそれに対応する出力を用意しておけばいいだけなのでただそれだけで計算可能である。

    反対に計算不可能とは、プログラムの長さ、または計算時間のいづれかがどうしても無限に長くなってしまうことをいう。


    メモリの座標、値、状態、遷移関数

    メタな視点からみて、関数を計算するためには、定義域と値域の要素すべてをそのプログラムを記述する言語で、それぞれ区別がつくように表さなければならない。

    例 自然数をあらわす原始的な方法

    まず、どんなプログラムにどんなコードでもかまいませんが、0にあたるコードを入力します。それで出力されたコードが1になります。0と同じコードになってしまったり計算が終了しなかったりする場合は、別のコードを0として入力しなおすなりプログラムを書きなおすなりします。
    1のコードを入力して出力されたコードが2のコードとなります。0または1とかぶってしまう場合や計算が終了しない場合は0のときと同じように対応します。
    2のコードを入力して出力されたコードが3となります。以下同様。

    例の例 チャーチ数

    プログラム λx.(λg.(λy.g(xgy)))
    λ ……


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  • Kyodaisuu

    巨大数たんbotのツイートに、

    トランプ52枚を並べてできる最大の素数は 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101011だよ! 素数大富豪ではジョーカー2枚が入るから最大の素数はもう少し大きくなるよ!

    とあったので、確認してみました。素数判定プログラムによるとたしかに素数です。これよりも大きな組み合わせについて、一通り素因数分解した結果をメモしておきます。

    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101101 = 17710737023899 * 5646229665249245290337308952103505611698120270615374999
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110110101 = 1165147 * 74944220861453457037 * 1145186721662029759051989585123492239238859
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101111010101 = 181 * 282907 * 1952868075006798801313217475001050777987956257714253658374803
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111110101010111 = 101 * 379 * 7206 ……
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  • KurohaKafka

    loader.c の解説

    2016年11月2日 by KurohaKafka

    プログラムA

    c - r || ( L ( u) || L ( r) - f || (x /= 2) % 2 && ( u = S (4, d, 4, r ), t = A (t, d) ), f / 2 & (x /= 2) % 2 && ( c = P ( d, c ), t = S(4,13,-4, t ), u = S(4,13,-4, u) ) ),

    プログラムB

    c && (x /= 2) % 2 && ( t = P ( ~u & 2 | (x /= 2) % 2 && ( u = 1 2 ? f - v ? t - (f > v) * c : y : P ( f, P ( S (v, y, c, L ( x) ), S (v+2, t = S(4,13,-4, y ), c, Z (x) )))  : A (S (v, y, c, L ( x) ), S (v, y, c, Z (x) ) );} } A (y, x) { return L ( y) - 1  ? 5 Z (x );}
    S (v, y, c, t) { int f = ……
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  • KurohaKafka

    \(\begin{eqnarray*} (0(2))=(0(1(0)))&=&ε_0\\(0(1(0)))(0(1(0)))&=&ε_0\cdot2\\(0(1(0))(0(1(0))))&=&ε^2_0\\(0(1(0))(1(0)))&=&ε_1\\(0(1(0)(0)))&=&ε_ω\\(0(1(0(1(0)))))&=&ε_{ε_0}\\(0(1(1(0))))&=&ζ_0=ψ(Ω)\\(0(1(1(0)))(1(1(0))))&=&ψ(Ω\cdot2)\\(0(1(1(0))(0(1(1(0))))))&=&ψ(Ω\cdotψ(Ω))\\(0(1(1(0))(1(0))))&=&ψ(Ω^2)\\(0(1(1(1(0)))))&=&ψ(Ω^Ω)\\(0(2(0)))=(0(3))&=&ψ(ε_{Ω+1})\\(0(4))&=&ψ(ε_{Ω_2+1})\\(0(ω))&=&ψ(Ω_ω)\\(0(ω)(ω))&=&ψ(Ω_ω\cdot2)\\(0(ω(ω))&=&ψ(Ω^2_ω)\\(0(ω(ω(ω\cdots))))&=&ψ(ε_{Ω_ω+1}) \end{eqnarray*}\)

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  • KurohaKafka

    万能でないチューリングマシンは任意の計算可能なシステムの物差しとなります、なかなか分かりづらいものさしですが。扱える状態や記号が多ければ多いほどより強力なシステムと同じ強さをもつようになります。

    2-記号に固定し、その非万能チューリングマシンの強さを証明論で評価すれば可算順序数の、ZFC+巨大基数公理で評価すれば巨大基数のビジービーバー関数なるものが出来上がります。

    非万能チューリングマシンで検索しても目当ての記事が出てこないのでここで自分なりに何とかします。別の名前で研究されてるのやも知らんが。

    1-状態2-記号

    停止するプログラムはどれも対称形になったり停止する位置が2マスずれたりするだけで全部同じ。

    • 型レベルでの自然数の定義;マシンが型を本格的に扱えるわけではない。
    • 加法;入力された一つの足し算を一度だけ。1+1=2 とかするだけ。
    • (最大値の設定;コンパイラの助けを必要とする。)

    S,SS(SS),S(SS(SS))(S(SS(SS))),...

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  • KurohaKafka

    自然数は次の5条件を満たす。

    1. 自然数 0 が存在する。
    2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
    3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
    4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
    5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

    5 は数学的帰納法

    これらの条件を述語論理で表し形式的に扱えるようにする。述語論理による表現を解釈することで構造が生まれる。定数記号、関数記号、述語記号の解釈からなる構造を L-構造とよぶ。(純粋に形式的な表現を言語と言いそれに意味を与える解釈を構造という。)

    ペアノ算術の言語

    \(\mathcal{M}=(0,s,

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  • KurohaKafka

    関数の表現の整理

    2016年10月19日 by KurohaKafka

    集合と同様に外延的な定義と内包的な定義がある。また関数と集合は等価である。

    外延的な定義

    定義域内のそれぞれの要素が写る先を一つずつすべて定義する。この方法で無限の定義域を持つ関数を定義することは有限の存在にはできない。

    内包的な定義

    普遍的な規則で定義域内の要素が写る先を定義する。定義域はその規則の議論領域内に収まらなければならない。規則を表すのに最低限必要な表現力が強力であればあるほど、より強い関数を定義できるようになる。


    1.形式的に名前を付けるだけ。個々の意味までは掘り下げない。

    f_0,f_1,f_2,...

    2-1.陽関数

    y=E;Eはyを含まない演算やらなんやらによる表現

    2-2.陰関数

    E=0;Eはyを含んでもよい

    3.λ計算

    λx.E

    4-1.(添え字付き)媒介変数による論理式、定数を割り当てる

    t_0=0∧t_1=1∧t_2=2∧...
    t_0=0∨t_0=1∧t_1=1∨t_0=2∧t_1=2∧∧t_2=2∨...

    4-2.抽象的な意味、すなわち引数と戻り値を媒介するそれぞれの変数に具体的な意味を媒介する変数、あるいは式を割り当てる

    u=x→v=y
    u=x→v=E

    5.ゲーデル数化 名前 全域性の表現 高階関数

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  • Mikadukim

    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。


    この証明はSS変換の定義を勘違いした上で行ったものなので、本来の意味でのふぃっしゅ数バージョン1の評価にはなっていません。すいません。

    SS変換の本来の定義:

    \(\ SS(m,f,T) = (T^{f(m)}(m,f), T^{f(m)}) \quad \) ただしTは(関数, 数)の組から(関数, 数)を返す写像.

    SS変換の, 自分がこうだと勘違いしていた定義:

    \(\ SS(m,f,T) = ((T^{f(m)}f)(m), T^{f(m)}f, T^{f(m)}) \quad \) ただしTは関数から関数を返す写像(いわゆる"変換").

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  • Nayuta Ito

    巨大数に対する理解

    テトレーションレベル・・鼻で笑う 矢印表記レベル・・あと100段階は余裕だ チェーン表記レベル・・何かを感じ始める 多変数アッカーマンレベル・・笑みが消える 高次元配列レベル・・鼓動が高ぶる テトレーション配列レベル・・終わりが近い 計算可能レベル・・限界への挑戦 計算不可能レベル・・限界を超えた 全文を読む >
  • Nayuta Ito


    連鎖E表記
    |Section 1=

    }}

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  • KurohaKafka

    計算と証明

    2016年8月16日 by KurohaKafka

    独自研究よりの内容のメモ。


    証明とは、公理と呼ばれる前提条件から推論規則を有限回適用して、正しいということを示したい論理式を導き出すことを言う。

    標準的な論理では、矛盾した公理からは任意の論理式が証明できてしまうため、本当に正しい証明を得るためにはその前提条件が無矛盾でなければならない。しかし無矛盾であることの証明自体にも同じことが言えてしまう。そのため、本当に正しい証明は、たとえ存在するとしてもそれがなんであるかを知ることができない、ということになってしまう。

    そこで、逆に無条件で正しいとする前提条件を作り、そこから矛盾が導かれる場合は推論規則なり方法論なりが間違っているとする立場について考える。


    これまで人間がやっていた証明を機械で自動的に扱うことはできないか、「証明する」という行為や証明そのものについて、メタな視点からなんらかのメタな定理を得られないか、という研究が20世紀初頭から興り始めたとか、詳しいことはgoogle先生に聞いてください。

    type as proposition の立場から、モダスポーネンスが関数の適用に当たる。

    ゲーデル数を利用して妥当性を形式的に確認することができるために不完全性定理が成り立ってしまう。

    論理が健全であることを示すのに、その任意の形式的証明が論理的帰結に反しないことが挙げられるが、形式主義的には論理が健全であることが先に定義される。健全でないと主張する者に対しては証明の解釈や読み方が間違っていると延々と指摘し続ければ否定しようがない、ただし自分自身その論理が理解できなくなってしまうというリスクが伴う。要するにゴリ押し。


    チューリング完全よりも弱い言語で目的のプログラムを出力するだけなら、そしてチューリング完全よりも弱い言語でいい限り、プログ ……




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  • Alemagno12

    Since Bashicu Matrix System is so strong, I divide the analysis in parts.

    This first part will cover analysis of Primitive Sequence System in FGH (Fast Growing Hierarchy)

    This is NOT meant to be accurate.


    If ordinal α is the FGH ordinal, it's a shorthand for fα(n).



    Bashicu Matrix System FGH Ordinal
    (0)[n] 2
    (0)(0)[n] 3
    (0)(0)(0)[n] 4
    (0)(1)[n] ω
    (0)(1)(0)[n] ω+1
    (0)(1)(0)(1)[n] ω2
    (0)(1)(0)(1)(0)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)[n] ω2
    (0)(1)(1)(0)(1)(1)[n] ω22
    (0)(1)(1)(1)[n] ω3
    (0)(1)(1)(1)(1)[n] ω4
    (0)(1)(2)[n] ωω

    Under Construction

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  • Nayuta Ito

    需要があるかどうかは分かりませんが、もしかしたら「寿司虚空編的なもの」を作る上での参考資料になるかもしれないので。


    マシモスケールは13個あるので、それらの区切り目を小さい方から順に


    (まだ私はψ関数を知らないのでM_6以降の計算ができない。多分マシモスケールの小数点以下は全て0か9だろう。)

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  • Hex347

    ラヨ数に関するメモ

    2016年6月26日 by Hex347

    メモ。正しいかどうかは分からないので注意してください。


    ユーザーブログ:Kyodaisuu/偽ラヨ数という物があることを初めて知った。最初はなぜラヨ数と違いがあるのか分からなかったが、偽ラヨ数、ラヨ数でいう「グーゴル個以内の記号で表現できる正の整数」の分布は連続的ではなく隙間があると考えると納得できた。


    自分は、ラヨ数でいう一階集合理論(FOST)は単にZFC集合論の事だと思っていたが、本当は一階述語理論によって定義された、述語関数「\( = \)」「\( \in \)」を含む理論の事であった。

    それを聞いて、「空集合などが含まれていると保障されていないといけないのでは?」と思ったが、答えがラヨ数の記事に書いてあった。説明2の節に「FOSTはを領域(domain)とするの体系である。」とある。体系と書いてあることから、ZFC集合論のようなただ一つの理論に限定されたものではないことが分かる。また、「フォン・ノイマン宇宙を領域とする」と書かれていることから、FOSTは少なくとも、フォン・ノイマン宇宙に含まれる必要がある集合の存在が保障されていることになる。


    ユーザーブログ:Hex347/アッカーマン関数の簡潔な表記でだらだら書いていたハイパー演算子の拡張(今は削除済)が、自分で納得できるものになったのでメモしておく。配列表記などで既に実現されたアイデアの気もするが気にしないでおく。

    ハイパー演算子のペア数列的表現。ある数xを取り、括弧を使ってスタック的な記法で表す。
    スタックがない場合の値の取り出し(=零変数版) [a]=a
    ここから括弧の連続を...で表す。
    一変数版 ...()[a]=...[a+x]
    二変数版 ...(1)[a]=...[a+x] ...(y)[1]=...[x] .. ……






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  • Mikadukim

    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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  • BashicuHyudora

    広義原始数列

    2016年5月28日 by BashicuHyudora
    • 原始数列
    初項\(S_{0}\)は\(0\)、\(S_{i}\)は整数、\(S_{i+1}-S_{i}≦1\)かつ\(S_{0}-S_{i}≦0\)
    • 広義原始数列
    \(S_{i}\)は整数、\(S_{0}-S_{i}≦0\)
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  • KurohaKafka

    定義はBM2によります。

    ψ関数はDeedlit氏の定義を若干変えて採用しています。 Ψ関数の左端の0は省略してます。

    C は Main Ordinal Notation System の定義を採用しています。

    B は以前の解釈による C

    σ=C(Ω_2\cdot2,0) a^+=C(Ω_2,a)

    要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2+ψ_{Ω_3}(Ω_ω\cdotΩ_2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\\(0,0,0)(1,1,1 ……

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  • KurohaKafka

    Sorry for my bad English.


    If a value at the first line of N is n+1, then go to left from the right end until you find a sequence T_0 that value at first line is n-1, not be found, S_0=T_0. In T_0T_1...S_{n-1}, S'_0 is a right-hand sequence which is the biggest sequence by lexicographic order and that first line has n. Worse part denotes S'_0S'_1...S_{n-1}.

    In worse part, put a restriction on each sequence that first line has a bigger value than n+1 and that value not being 0 doesn't continue as N; in the same line, we don't add a value of Δ to the sequence U that value is not bigger than N's one or each sequences subsequent to the right and that value of first line is bigger than U's one at first line.


    \(\)


    1行

    \(\forall n \forall a \forall s' ……




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