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  • Kyodaisuu

    順序数講座の2回目です。前回は、講座の進め方について話しました。巨大数論をテキストとして、順序数についてなるべく平易に解説をするという趣旨でした。それでは早速「第5章 順序数」から読み始めます。

    115ページは前書きで、何のために順序数を導入するのかということが書かれています。FGHのような順序数階層とかで使われるよ、ということですね。そして「5.1 順序数」で、順序数を定義します。その最初にこんなことが書いてあります(p.116)。

    集合論の創始者であるドイツの数学者、 (Georg Cantor, 1845-1918) は、自然数を拡張した順序数 (ordinal number) という概念を考えました。順番に並べられたものに対して、順序数で「番号」を振ることができます。ここで、その「順番に並べられたもの」が有限であれば「番号」は自然数で足りますが、無限にあるときにも番号を振ることができるようにしたものが順序数です。

    ここには何が書かれているかというと、順序数とは

    1. 自然数を拡張した概念だよ
    2. 順番に並べたものに番号を振るよ
    3. 無限にあってもかまわず番号を振るよ

    ということです。そこでまずは「自然数」「順番に並べたものに番号を振る」ということについて考えてみます。

    自然数という言葉は学校で習うと思いますが、自然数ってなんでしょうか?「1,2,3,...といった数」ですね。そして、自然数に「0」と「マイナスの数(-1,-2,-3,...)」を加えたものが「整数」である、といった感じで、自然数から先については詳しい説明がありますが、そもそも「1,2,3,...といった数がなんであるか」と聞かれると、あまりうまく説明できないのではないでしょうか。さて、まず小学校で最初に「数」を習うときに、どの ……

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  • Hassium108

    S+C+U+N+fLで表されるシステムのバリエーション


    • 項は列でもある
    • 非負整数は列である
    • 列\(S\)と非負整数\(a\)に対し\([S]_a\)は項である
    • 項\(X\)と列\(S\)に対し\(XS\)は列である

    関数記号\(H_k\)、自然数\(n\)、列\(S\)に対し\(nH_kS\)を第\(k\)準ヒドラの正規形とする。


    \(T_k(n)=nH_k[[...[0]_n...]_1]_0\)

    第\(k\)準ヒドラ数\(=T_k^{10}(10)\)


    • \(a,b:\)非負整数
    • \(■:\)1個以上の項
    • \(□:\)0個以上の項

    rule1: \(nH_1a=n+a\)

    rule2: \(nH_1■a=(n+a)H_1■\)

    rule3: \(■0=■\)

    rule4: \([0]_0=n\)

    rule5: \([□a+1]_b=\underbrace{[□a]_b[□a]_b...[□a]_b}_n\)

    rule6: \([0]_{a+1}=f^n(0):f(x)=[x]_a\)


    \([[0]_1]_0={\varepsilon_0}\)
    \([[0]_11]_0={\varepsilon_0×{\omega}}\)
    \([[0]_1[0]_1]_0={\varepsilon_0^2}\)
    \([[1]_1]_0={\varepsilon_0^{\omega}}\)
    \([[[0]_1]_1]_0={\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\)
    \([[[0]_2]_1]_0={\varepsilon_1}\)
    \(T_1(n)\approx f_{\varepsilon_{\omega}}(n)\)

    小拡張第3配列システム


    • \(a,b:\)非負整数
    • \(m,a_1,a_2,...a_m:\)自 ……






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  • Kyodaisuu

    そんなわけで、順序数講座をはじめてみます。初回は、講座の目的というか、どんな感じで進めるかを書きます。

    巨大数論をやっていくと、順序数が一つの関門となります。それで「巨大数論」では、まずは第4章までは順序数を使わずに説明して、5章からおもむろに順序数を導入しています。これは、最初は「順序数という概念を理解しないでも読めるように」という配慮でした。とはいえ、昨今は東方巨大数もあって、

    なんかFGHとかいうわけのわからないものと順序数というωとかεのようなギリシア文字を使ったなにか変なものを使うと、巨大数を解析できるらしいけど、それがなんなのかよくわからない

    といったような人も増えて来ています。

    そうしたときに、とりあえず「順序数なんてわからなくたって、ωを記号だと思えばFGHは理解できるし、なんとかなる」と進めていくのも一つの方法ですが、やはり順序数とはなにかがわかると、FGHについても理解が進みます。とはいえ、順序数を理解するためには、いわゆる数学基礎論の難しい話を理解しないと「きちんと」理解することができないので、どうしても敬遠しがちです。「巨大数論」では、第5章と7章に順序数を理解するために必要なことを書いたつもりですが、集合論の記号が出て来てしまうと、なかなか読み進めにくいという面もあるようです。

    私自身が数学の専門家ではないので、あまり数学的に厳密な書き方には慣れていないのですが、「巨大数論」では私なりに数学的に正確な記述を目指して書きました。一方で、数学的に正確な記述がわかりやすいかというと、どうもそれだけではわかりにくい、という面もあるようです。つまり、ある式の定義がわかったとしても、その式に込められている「気持ち」のようなものがわからないと、理解できた気持ちにはなら ……

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  • Kyodaisuu

    3変数アッカーマン関数とチェーン表記の間には、次のような関係がある。

    x=1, y>1 または x>1, y+z>0 のとき

    \[A(x,y,z) < \underbrace{3 \rightarrow3 \rightarrow \cdots \rightarrow 3}_{x+1個の3} \rightarrow z+2 \rightarrow y+1 < A(x,y,z+1)\]

    証明はアッカーマンチェーン定理を参照。

    したがって、たとえば

    • A(1,2,1) < 3→3→3→3 < A(1,2,2)
    • A(2,2,1) < 3→3→3→3→3 < A(2,2,2)
    • A(3,2,1) < 3→3→3→3→3→3 < A(3,2,2)

    となる。

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  • Koteitan

    Tranovsky's C Notation のツリー表示による図解です。

    • Edwin Shade, "A Complete Analysis of_Taranovsky's Notation" (Googology Wiki)
    • Boboris, 'Analysis of Taranovsky's Ordinal Notation with "standard OCFs."' (Googology Wiki)

    を参考にしました。

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  • Koteitan

    書いては見ましたが

    今考えると、停止性の証明可能性の観点では一番下の定義は蛇足で、上2つあたりがいいです。数の増加を考えるとどれが良いのかはわかりません。

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  • Nayuta Ito

    test

    2018年3月29日 by Nayuta Ito

    これはサンドボックスです。

    日本語の文字を含むTeXを出力できる環境がここしかない(英語版でもできない)のでこちらにも日本語検証用のサンドボックスを作りました。

    \( \text{123}^\text{あいう} \)

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  • BashicuHyudora
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  • Koteitan

    ペア数列のヒドラ表記は ユーザーブログ:Koteitan/バシク行列のヒドラ表記 で解説しましたが、このポストではトリオ数列以上のバシク行列はどう表現されるか、展開はどう表現されるかを解説します。


    このポストで説明している表記法は、ユーザーブログ:KurohaKafka/バシク行列のブーフホルツのヒドラを応用した表現 (KurohaKafka, 2017.5.24) の「多次元空間上のツリー」をビジュアライズしたものです。

    このポストで説明している展開方法は、バシク行列システムの解説 2版 (Bashicu, 2017.6.25--2017.7.17, SlideShare) にある説明、つまり、BM2 をビジュアライズしようとしたものだったのですが、実際には SlideShare のものとは少し異なる展開方法になってしまいました。この新しい展開方法をもつシステムはBM2.1としてこちらに掲載しました。BM2は、BM1 が (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,0)(1,1)(2,1)(3,1) で停止しなくなる問題を修正されたものですが、こちらのBM2.1でも同様の展開ができ、かつこちらの方がBM1に近く、ヒドラの動きから見ても本質的な修正になるのではないかと考えています。


    (注意)[2]の怒る親の選定方法がバシクさんのSlideShareと少し異なります。また、図8のΔの足し方も少し異なります。


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  • Koteitan

    ペア数列までのバシク行列のヒドラ表記の仕方の解説です。 一次資料は下記。

    • ユーザーブログ:KurohaKafka/バシク行列のブーフホルツのヒドラを応用した表現 (KurohaKafka, 2017.5.24)
    • バシク行列システムの解説(第2版)(Bashicu, 2017.6.25--2017.7.17, SlideShare)
    • W. Buchholz, "An independence result for "

    下記はε0~ζ0のペア数列のヒドラ表記の例です。



    次にバシク行列のヒドラの書き方を説明します。

    ペア数列をヒドラ表記に変換する方法を一気に説明するとこれになります。 実際は以下の手順で書いていくと書きやすいです。まずは1行目の数字を高さにして空の丸を書いていきます。 次に2行目を見て丸の中にラベルを書いていきます。 次に枝を付けます。注目する子ノードに対して、「1階層低くかつ一番右にあるノード」を親ノードとして、子ノードと親ノードを枝でつなぎます。これを全部のノードに対して行うと完成です。


    ここからはペア数列の展開の方法を説明します。ラベル0の子が刈られると親は怒ってn倍に分裂します。 1以上ののラベルの子が刈られるときは、刈られた子から親へ親へと辿りながら、刈られた子よりも小さなラベルを持つノードを探します。見つかったら、それがコピーされる親(bad root)になります。親が子の場所に遺族ごと階層方向にn+1倍にコピーされます。遺族というのは親より右にあるすべてのノードです。(点線で囲った部分)


    ペア数列とブーフホルツのヒドラの展開の違いです。

    伸び量
    ペア数列はn+1倍に伸びますが、ブーフホルツのヒドラは毎回2倍になり、nに依存しません。
    親のコピー先のラベル
    ブーフホルツの ……





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  • Kyodaisuu

    ペア数列解析の訳

    2018年2月25日 by Kyodaisuu

    ペア数列数のトークページに書かれていることを、ざっくりと訳しました。


    このシステムをかなり時間をかけて解析したところ、ここまでは記事と同様の結果を得た。

    私が得た基本的な結果:

    |A| を数列 A の順序数とする。

    定理1. (0,0) は数列を加法(連結)に分解する。たとえば
    |(0,0) A (0,0) B (0,0) C| = |(0,0) A| + |(0,0) B| + |(0,0) C|

    証明:

    (0,0) は計算ルールをストップさせて数列を分割させる働きを持っている。すなわち「悪い列」を探す規則は、(0,0)を飛び越えることはない。したがって、(0,0) によって分離された部分数列は、順番に評価され、最終的な順序数は分離された数列ごとに評価された順序数の和となる。


    数列 A のそれぞれの項について、1つ目の数を b 減らして2つ目の数を c 減らすことを [A - (b,c)] と書く。たとえば [(1,1)(2,1)(3,1) - (1,1)] = (0,0)(1,0)(2,0) である。

    定理 2. (0,0) が含まれない数列の部分では、(1,0) は以下を満たす。
    |(0,0) A (1,0) B| = |(0,0)A| * ω^|[(1,0) B - (1,0)]|

    証明:

    指数 |[(1,0)B - (1,0)]| についての帰納法による。

    後続順序数のとき:定理1により |(0,0) B| + 1 = |(0,0) B (0,0)| である。よって

    |(0,0) A| * ω^|(0,0) B (0,0)| = |(0,0) A| * ω^(|(0,0) B| + 1)

    = |(0,0) A| * ω^|(0,0) B| * ω

    = |(0,0) A (1,0) [B + ……





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  • Koteitan

    原始数列数から対応する順序数を簡単に求める方法の図解です。

    原始数列数

    Primitive sequence analyzer (by Kyodaisuu )

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  • Hassium108

    順序数表記

    2018年2月20日 by Hassium108

    自作の順序数表記の構想メモ。定義は多分一生完成しない。

    ※関数記号に特に意味はありません。使われていないものを適当に選んでいます。


    ψ関数を拡張した順序数崩壊関数。

    \({\rho^{\omega}_n}(0)={\rho^{n+1}_n}({\Omega_{n+1}})\)

    \({\rho_1}({\Omega_2×{\alpha}})→{\Omega_{1+\alpha}}\)

    \({\rho}_0(0)={\psi}_0(0)\)
    \({\rho}_0({\Omega})={\psi}_0({\Omega})\)
    \({\rho}_0({\rho}_1(0))={\psi}_0({\psi}_1(0))\)
    \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2))\)
    \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)+1))={\psi}_0({\psi}_1({\Omega}_2+1))\)
    \({\rho}_0({\rho}_1({\rho}_1({\Omega}_2)^}})))={\rho_0({\rho}_1({\rho}_1({\rho}_2(0))))}\)

    数列を利用した順序数崩壊関数。\({\rho}\)関数の旧バージョンの簡略化。

    \({\tau_0}()=0\)

    \({\tau_0}(\#,0)={\tau_0}(\#)+1\)

    \({\tau_0}(\#,{\alpha+1})={\tau_0}(\#,{\alpha},{\alpha},{\alpha},...)\)

    \({\tau_0}(\#,{\alpha})[n]={\tau_0}(\#,{\ ……



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  • Kyodaisuu

    原始数列の順序数を表示するプログラムを作成した。

    • Primitive sequence analyzer 原始数列解析

    ボックスに原始数列を入れて送信ボタンを押すと、対応する順序数が表示される。

    原始数列の入力方法は、たとえば (0,1,2,3) を入れるためには、

    0123

    と、数字をそのまま並べれば良い。

    2桁以上の数を入れるためには、セパレーターとしてスペースまたはカンマを使う。セパレーターを使うと、数字の並びはすべて1つの数として認識される。

    たとえば、

    0123412333

    と入力すると、(0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 3, 3) の順序数が

    \[\omega^{\omega^{\omega^\omega}+\omega^{\omega^3}}\]

    のように表示される。

    なお、原始数列について詳しくは『巨大数論 第2版』の160〜167ページを参照。


    数列は次のように標準化される。

    • 0で始める
    • 1つずつ数が増える
    • 順序数の足し算で、\(\alpha < \beta\) のときに \(\alpha + \beta\) の形のときに \(\alpha\) を取る

    たとえば、(1,3,5,7) は (0,1,2,3) として、(0,1,0,1,2) は (0,1,2) とする。


    ソースコードはMITライセンスで公開されている。

    Python 2 のプログラムであり、通常モードではコマンドラインプログラムとしてターミナルで動かすことができる。環境変数 SCRIPT_NAME が設定されているときには、CGI プログラムとして動作する。

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  • じぇいそん

    拡張矢印表記

    2018年2月8日 by じぇいそん

    矢印表記とチェーン表記を組み合わせて拡張した関数を作りました。強さはFGHでω^ω^(ω^4)*2です。

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  • Kyodaisuu

    Hassiumさんの巨大数問題10

    大グラハム数を11で割った余りを求めよ。

    を考えるついでに、グラハム数を自然数Nで割った余りを計算するプログラムを作りました。

    - グラハム数 mod N の計算

    オンライン版はサーバーに負荷をかけたくないので N = 10^5 までにしています。

    TokusiN さんによるグラハム数1,000,000桁表〈最終巻〉では N=10^10^6 が計算されています。そのように大きな N の値を計算するためには、もっと効率的なアルゴリズムを使う必要があると思います。

    N = 11 として計算すると

    3^n mod 11 = [1, 3, 9, 5, 4] (cycle length = 5) 3^3^n mod 11 = [3, 5, 4, 9] (cycle length = 4) 3^3^3^n mod 11 = [5, 9] (cycle length = 2) 3^3^3^3^n mod 11 = [9] (cycle length = 1)
    G mod 11 = 9

    のように表示されます。Hassiumさんの解答と比べると、同じ結果となっています。

    3^n mod 11 = [1, 3, 9, 5, 4] (cycle length = 5)

    というのは、3^n mod 11 を n=0 から計算すると、このような長さ5のループとなることを示しています。

    N = 109 を計算すると

    3^n mod 109 = [1, 3, 9, 27, 81, 25, 75, 7,..., 105, 97, 73] (cycle length = 27) 3^3^n mod 109 = [3, 27, 63, 1] => 1 Rotation is 3^3 ……
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  • 海老天

    メモ

    2017年11月8日 by 海老天

    \(B(m,n) = A(\underbrace{m,m,\dots,m}_{n個})\)


    \(A(a_1,a_2,\dots,a_k) = A(\underbrace{A(a_1,a_2,\dots,a_k-1),\dots,A(a_1,a_2,\dots,a_k-1)}_{(k-1)個},a_k-1)\)

    \(A(a_1,a_2,\dots,a_k,0) = A(a_1,a_2,\dots,a_k)\)

    \(A(x) = x^{x}\)

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  • Hassium108

    fghの剰余

    2017年10月26日 by Hassium108

    twitterで出した問題[1]について調べてみると結構面白かったので、計算結果を残す。

    ※\(n\)が小さいとき例外的に成り立たないことがあるかもしれないが、とりあえず無視する。

    \(f_{\omega}(20n+)≡ (mod 10)\)





    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡1 (mod 3)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡1 (mod 3)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡3 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+14)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+15)≡0 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+16)≡1 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+17)≡4 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+18)≡2 (mod 5)\)
    \(f_{\omega}(20n+19)≡2 (mod 5)\)




    \(f_{\omega}(6n+3)≡0 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+4)≡4 (mod 6)\)
    \(f_{\omega}(6n+5)≡4 (mod 6)\)




    \(f_{\omega}(20n+10)≡0 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+11)≡8 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+12)≡2 (mod 10)\)
    \(f_{\omega}(20n+13)≡6 (mod 1 ……































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  • じぇいそん

    帰化拡張法ver.2

    2017年10月20日 by じぇいそん

    帰化拡張法というタワーとチェーン表記の拡張法を定義したものの、ver.2を作成しました。一応ver.1のver.2と関係ある部分も載せておきます。

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  • Rpakr

    急増加関数の拡張

    2017年9月23日 by Rpakr

    急増加関数を、順序数に拡張した関数を定義しました。 \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は、\(f^\beta_\alpha(\gamma)\)に対応します。 引数\(\gamma\)または回数\(\beta\)が\(\omega\)以上のとき、\(f(\alpha,\beta,\gamma)\)は\(\omega\)以上になります。 \(\beta\)も\(\gamma\)も自然数のときは普通のFGHと同じです。


    記法

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)\)

    規則

    複数の規則が適用可能な時、最も上にある規則を優先する。

    \(f(\alpha,0,\gamma)=\gamma\)

    \(f(0,1,\gamma)=\gamma+1\)

    \(f(\alpha+1,1,\gamma)=f(\alpha,\gamma,\gamma)\)

    \(f(\alpha,1,n)=f(\alpha[n],1,n)\)

    \(f(\alpha,1,\gamma)[n]=f(\alpha[n],1,\gamma)\)

    \(f(\alpha,\beta+1,\gamma)=f(\alpha,1,f(\alpha,\beta,\gamma))\)

    \(f(\alpha,\beta,\gamma)[n]=f(\alpha,\beta[n],\gamma)\)


    \(f(0,0,\omega)=\omega\)

    \(f(0,1,\omega)=\omega+1\)

    \(f(0,2,\omega)=f(0,1,f(0,1,\omega))=f(0,1,\omega+1)=\omega+1+1=\omega+2\)

    \(f(0,n,\omega)=\omega+n\)

    \(f(1,1,\omega)=f(0,\ ……



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  • Hassium108

    配列システム

    2017年9月21日 by Hassium108

    第k配列システムに対して\(A_k(n)=nL_k[1,0,0,…(0がn個)…,0]\)とし、第k配列数を\(A^{10}_k(10)\)とする。


       最も単純な構造の配列。


      ・NFO型(F=\("L_1"\))

      ・配列構造

       例:\(3L_1[2,3,0]\)


      ・\(Z\):0個以上の0

      ・\(\#\):0個以上の非負整数

       (1) \(nL_1[\#,a]=(n+a)L_1[\#,0]\)

       (2) \(nL_1[Z]=n\)

       (3) \(nL_1[\#,a+1,0,Z]=nL_1[\#,a,n,Z]\)


       \(nL_1[1,0,0,…0]\approx f_{\omega}(n) \)

       \(A^{10}_1(10)\approx f_{\omega+1}(10)\)


        結合構造を導入することにより、多変数アッカーマン関数やBEAFの構造を表現。


       ・NFO型(F=\("L_2"\))

       ・配列構造+結合構造

        例:\(2L_2[1,0,5][2,1][1,4][3]\)


       ・\(Z\):0個以上の0

       ・\(\#\):0個以上の非負整数

       ・\(□\):1個以上の配列

       ・\(n\):変数

       ・右端の配列から計算を行う。

        (1) \(nL_2□[Z]=(n+1)L_2□\)

        (2) \(nL_[Z]=n+1\)

        (3) \([\#,a+1]=[\#,a][#,a]…([\#,a]がn個)…[\#,a]\)

        (4) \([\#,a+1,0,Z]=[\#,a,n,Z]\)


        第1配列システム\(\approx nL_2[1,0]\)

        \(nL_2[1,0,…0]\approx f_{\o ……










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  • KurohaKafka

    順序数の整理

    2017年9月11日 by KurohaKafka

    全体的に推測

    σ=C(Ω_2*2,0)

    C(σ,0)=ψ_Ω(ψ_I(0))

    C(σ+C(Ω_2+σ+1,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ω)) C(σ+C(Ω_2+σ+C(Ω_2+σ,0),0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(0))) C(σ*2,0)=ψ_Ω(ψ_I(I))

    σ^++が現れたところからσ^+の意味がC(Ω_2+σ^++,0)に移される。

    C(Ω_2,σ)が現れたところからσの意味がC(Ω_2+C(Ω_2,σ))に移される。

    以下同様(と推測)

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  • Kyodaisuu

    ロバート・ムナフォは、6までの自然数はクラス0の数、10^6までの数はクラス1の数、10^10^6までの数はクラス2の数、というように、自然数を使って自然数をクラス分けした、そのオリジナルな定義を急成長階層とすると、上記の定義は急成長階層における関数の集合に属する関数の例を1つずつ取り出すような関数を定義している、と考えられる。

    さて、このようにして急成長階層で関数が階層分けされるのであるから、たとえばグラハム数は「\(\omega+1\)の階層に属するグラハム関数によって定義される巨大数である」と表現すれば、順序数を使ってグラハム数の大きさを評価できる。しかし、この表記法は若干まどろっこしいので、もっと直接的に「グラハム数の大きさは階層\(\omega+1\)である」というように表現したい。そこで、急増加関数を使って、数の大きさを直接的に順序数で階層分けすることを考える。


    順序数\(\alpha\)に対して、\(\mathcal{E}^{\alpha}\) に属する数を

    \[ \alpha < \beta \Rightarrow \mathcal{E}^\alpha < \mathcal{E}^\beta \]

    であるように定義をしたいが、これは原理的に不可能である。そこで、目的を

    ある数\(n\)がある順序数\(\alpha = C(n)\)のクラスに一意に定まり、\( C(m) < C(n) \Rightarrow m < n \)

    とする。


    極限順序数 \(\gamma\) 以下のすべての極限順序数 \(\beta\) に対して、基本列 \(\beta[n]\) が一意に定められているとする。すると、\(\gamma\) 以下のすべての順序数 \(\alpha\) に対し ……




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  • Kyodaisuu

    ユーザー:Kyodaisuu/F3の展開を見て、ジョセフさんがふぃっしゅ数ver.3の展開プログラムを作っていただいたので、実行してみました。\(X0 = ss(2)^{63}f(3)\) が展開されます。実行結果を貼ります。[ ] の中は ss(n) 変換で、[ ] の中の [ ] は s(n) 変換です。

    \( s(1)^3 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f(3)\) は

    [[1,1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示され、その次は \( [s(1)^2 s(2)^2 ss(1)^2 ss(2)^{62} f]^3(3) \) ですが、そこで

    Xn = [[1,1,2,2],1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2] (3)

    と表示されます。この Xn= というのは、\(F^3(3)\) の計算で一番内側の \(Xn = F(3)\) を計算しています。

    計算はまだ続いていますが、ここでプログラムを終了しました。

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  • Googleaarex

    このブログ記事では、3行から始まる芭蕉行列システムを分析しています。



    記法 レベル
    (0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})+1\)
    (0,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(1,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0) \(\psi(\Omega_{\omega})\omega\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^2\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1) \(\psi(\Omega_{\omega})^{\psi(\Omega_{\omega})}\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,0,0)(2,1,1)(2,0,0)(3,1,1)... \(\psi(\Omega_{\omega}+1)[n]\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+1)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,1,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\Omega)\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\varepsilon_{\Omega+1})\)
    (0,0,0)(1,1,1)(1,1,0)(2,2,0)(3,3,0) \(\psi(\Omega_{\omega}+\psi_1(\varepsilon_{\Omega_2+1}))\)
    (0,0, ……













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  • Nayuta Ito

    Comakky数の拡張

    2017年7月23日 by Nayuta Ito

    個人的にComakky数を拡張してみることにしました。C型をもとにしています。


    区切り文字としてコンマとコロンの2種類を用いる。本来のC型とは異なり、コンマの後にコロンを置いてもよい。これはコロンを改行とする2次元配列を意図している。

    X_nは0個以上の自然数、Y_nは0個以上の1、Z_nはコロンでつながった2次元配列の一部を表す。


    をα型Comakky数とする。


    多次元配列を意図する。



    テトレーション配列を意図する。

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  • Mikadukim
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  • Mikadukim

    一般化急増加関数

    2017年7月16日 by Mikadukim
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  • Hassium108

    順序数列ゲーム

    2017年7月14日 by Hassium108
    • プレイヤーは前のプレイヤーが言った順序数より小さい順序数を言う
    • 0を言ったら終了

    というルールのゲームは、必ず有限回で終了し、各ターンにてプレイヤーが言える順序数にをうまく制限すればターン数の上限が生まれる。


    プレイヤーは下の3つの関数を組み合わせて表せる順序数を言うことができる。

    ただし、kターン目で使用可能な関数の個数は合計k+n個までで、変数は1~k+nまでの自然数と\({\omega}\)である。

    \(A({\alpha},{\beta})={\alpha+{\beta}}\)

    \(B({\alpha},{\beta})={\alpha×{\beta}}\)

    \(C({\alpha},{\beta})={\alpha^{\beta}}\)

    例(n=1)

    \(C({\omega},C({\omega},{\omega}))={\omega^{\omega^{\omega}}}\)・・・1ターン目なので、1+1個の関数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},C(3,3)))={\omega^{\omega^{27}}}\)・・・2ターン目なので、2+1個の関数と2+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},C({\omega},B(4,B(3,2))))={\omega^{\omega^{24}}}\)・・・3ターン目なので、3+1個の関数と3+1以下の自然数を使える

    \(C({\omega},B(C({\omega},A(B(5,4),3),5)))={\omega^{\omega^{23}×5}}\)・・・4ターン目なので、4+1個の関数と4+1以下の自然数を使える

    nに対するターン数の上限を\(g(n)\)とすると\(g(n)\approx f_{\ep ……


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  • BashicuHyudora

    https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/ss-77236654

    訂正

    p18 4.各列、仮にΔを求めるなら一度に2以上移らせない、5.悪い部分の1番前である 6.Δを足しても2,3,4の条件を満たせるなら、足す

    p24 m次数列数(n)→m次数列数

    2版

    https://www.slideshare.net/BashicuHyudora/2-77942065

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  • Hassium108

    FGHと超限順序数

    2017年6月13日 by Hassium108

    「巨大関数に超限順序数を突っ込んで巨大な順序数を作る」というのは簡単かつ効率的なやり方のように思えるが、BEAFがそうであるようにうまくいかないことが多い。このブログ記事ではFGHに超限順序数を入れたシステムについて考える。


    \(f_0({\beta})={\beta+1}\)

    \(f_{\alpha+1}({\beta})=f^{\beta}_{\alpha}({\beta})\)

    \(f^{\gamma+1}_{\alpha}({\beta})=f_{\alpha}(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta}))\)

    \(f^{\gamma}_{\alpha}({\beta})[n]=f^{\gamma[n]}_{\alpha}({\beta})\)


    \(f_0({\omega})={\omega+1}\)

    \(f_1({\omega})=f^{\omega}_0({\omega})={\omega×2}\)

    \(f^{\omega}_0(f_1({\omega}))={\omega×3}\)

    \(f_1(f_1({\omega}))=f^{\omega×2}_0({\omega×2})={\omega×4}\)

    \(f_2({\omega})={\omega^2}\)

    \(f_1(f_2({\omega}))={\omega^2×2}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2({\omega}))={\omega^3}\)

    \(f_2(f_2({\omega}))={\omega^{\omega}}\)

    \(f^{\omega}_1(f_2(f_2({\omega})))={\omega^{\omega+1}}\)

    \(f^{\omega^2}_1(f_2(f_2({\omega ……



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  • Koteitan

    巨大数専用マストドン Googoldon を作りました。

    Googoldon

    Mathjaxが使えて、半角の$$でくくると数式も書けます。 グローバルなサイトにしたいので、Googology Wikiでも宣伝しています。 でも、日本語OKです。日本語でも英語でもロシア語でも中国語でも何語でもOK!としたいです。 議論をするもよし、質問をしてもしいし、日記でもよいし、独り言やメモでもよい、というゆるい感じで進めようと思います。

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  • Hassium108

    brainfωck

    2017年6月3日 by Hassium108

    「brainfuckでn文字のコードでメモリ上に残すことができる最大の自然数」を\(BF(n)\)とする(メモリの個数も大きさも無限大とする)。brainfuckはチューリング完全(いかなる計算可能関数も表現できる)なので、\(BF(n)\)は計算不可能関数であり、\(f_(n)\)程度の強さである。


    n BF(n)の下限 コード
    1 1 +
    2 2 ++
    3 3 +++
    4 4 ++++
    5 5 +++++
    6 6 ++++++
    7 7 +++++++
    8 8 ++++++++
    9 9 +++++++++
    10 10 ++++++++++
    11 11 +++++++++++
    12 12 ++++++++++++
    13 16 ++++[->++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>+>+[-]+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+[-]+>+>+>+[-]>>]
    28 9331 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    29 19608 +>+>+>+>+>+[-]>>]
    30 55987 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    31 137257 +>+>+>+>+>+>+[-]>>]
    32 335923 +>+>+>+>+>+>+>+[-]>>]


    44 113037178808 ++++++++++++++[[>]+[-]>>[+++++++>]


    47 \(2^{127}-1\) +++[->+>>+[[->+-]
    ……























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  • KurohaKafka

    ブーフホルツあまり関係ないけどまぁいいだろう。

    バシク行列の2次元の表現を、1次元の数列と入れ子構造、すなわち数列でラベルがつけられたヒドラツリーで表現する。

    バシク行列をそのままツリーに置き換えるやり方

    1行目の値でツリーをつくる。

    2行目以降の値はそれぞれの1行目の値が担う頂点に数列のラベルとして付け加える。

    2行でωを使わないブーフホルツのヒドラと同じ強さになる。

    (0,0)(1,1)=+(0(1))

    (0,0)(1,1)(2,1)=+(0(1(1)))

    (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)=+(0(1(1))(1))

    (0,0,0)(1,1,1)=+(0,0(1,1))

    多次元空間上のツリー

    1行目の値で2次元上に広がるツリーを作る。

    n行目の値で、1行目の値が担う頂点をその値だけn+1番目の次元の方向に上げる。

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  • Hassium108

    物置

    2017年5月15日 by Hassium108

    編集の練習をしたり頭の中身をぶちまけたりするところです。


    計算方法で定義された巨大関数には「変数」「関数記号」「順序数」の3つで表記するものが多い。

    そこで、それぞれに「N」「F」「O」という文字を当て、関数の表記を分類する。

    • NFO型

      例:超階乗配列表記、ドル関数、R関数

    • FON型

      例:FGH、SGH、ハーディー階層

    • ON型

      例:原始数列システム、バシク行列システム

    • FNO型

      例:ハイパーE表記


    文字列をA型、B型、C型の3種類に分け、括弧(今回は角括弧に統一)による順序数表記の構造を公理のような形で定義する。

    ※あくまでも「よく使われる構造の例」であり、これらの組み合わせで表せないものもある。

    • 空構造(E)

       "\([]\)"はA型である

    • 代入構造(S)

       数\(n\)に対して"\([n]\)"はA型である

    • 係数構造(C)

       A型文字列\(a\)と数\(n\)に対して"\(an\)"はB型である

    • 結合構造(U)

       A型文字列\(a_1\)と\(a_2\)に対して\(a_1a_2\)はA型である

       A型文字列\(a\)とB型文字列\(b\)に対して"\(ab\)"はB型である

    • ネスト構造(N)

       A型文字列とB型文字列はC型文字列でもある

       A型文字列\(a\)に対して"\([a]\)"はA型である

    • 配列構造(A)

       数はC型である

       C型文字列\(c_1\)と\(c_2\)に対して"\(c_1,c_2\)"はC型である

       C型文字列\(c\)に対して"\([c]\)"はA型で、配列と呼ぶ

    • 有限レベル構造(fL)

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a_n\)"はA型である

    • 拡張レベル構造(eL)

       数\(n\)とA型文字列\(a\)に対して、"\(a ……



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  • Nayuta Ito

    オメガ1将棋

    2017年4月15日 by Nayuta Ito

    Omega One Chessの具体例を見ているときに、チェスの各駒の記号と棋譜がわかりづらいと思ったので、日本人にわかりやすい将棋で(ほぼ)同値な状況を再現することにした。


    • クイーンがない(適宜角行または飛車で置き換える。どちらかで再現不可能の時は「奔」(奔王)でクイーンを表す)
    • マスの数え初めの場所が違う(そのため、基本的にチェス盤を上下反転させた状態で表記する)

    チェスの黒番を先手、白番を後手とする。また、先手の駒を太字で、後手の駒を細字で記す。さらに、盤面は9×9の升目を超えて無限に続いているものとする。


    1 
    一 歩














    ▲3N飛 △2三飛 ▲3四玉 △4三竜 ▲3五玉 △2五飛 ▲3六玉 △4五竜 ▲3七玉 △2七飛 ▲3八玉 △4七竜 ・・・(Nの数に応じていくらでも続けることができる)

    よって、この盤面はωである。

    (詰将棋に詳しい方、これでうまくいっているでしょうか?)

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  • KurohaKafka

    昔バシク行列の強さと計算可能性を計ろうとして失敗したシステム。


    情報とは、0と1の数列や物体の配列など、手段や媒体は何でもいいが、可算無限の意味を表すことができる表現である。

    任意の意味AとBにつき、AをBへ移す写像fが存在する。

    任意の意味Aにつき、Aを含むクラスが存在する。

    定義域Aの要素を値域Bの要素へ移す写像fはAとBどちらにも含まれない。

    任意の写像fにつきfについて閉じているクラスが存在する。

    以上のすべての意味を記述できる言語はいかなる関数も記述できるが、そのような言語は存在しない。

    (関数型言語はすべてを関数として表現する。関数にあちこち写される情報のあり方やデータ構造を重視するのがオブジェクト指向、たぶん)

    用意するもの

    環境 \(Γ\);

    すべての自然数とその型 \(0:M(0),1:M(0),2:M(0),\cdots\)

    ここではすべての自然数からなる集合をM(0)とする。

    後者関数とその型 \(m(1)::=λn.f(nfx):N→N\)

    多相関数 \(λx.nx:*→*\)

    ここで自然数 n がすでに多相的な扱いをされている。

    再帰 \(f(f)\)

    型推論

    \(\displaystyle \frac{Γ|-f:∀α.α→α\quadΓ|-x:A}{Γ|-f(x):A}\)

    m(n)変換

    \(m(n)\in M(n)\)

    \(M(n+1)::=M(n)→M(n)\)

    αが極限順序数のとき、

    \(M(α)::=\cup_{n0 として、

    \(m(α+n+1)::=λm.nm:M(α+n)→M(α+n)\)

    \(m(ω+2)m(ω+1)m(ω)(x)=f_{ε_0}(x)\)

    以上で m(ω^ω) つまり f[φ(ω,0)] まで計算可能

    m(n) 変換では多相化の範囲が有界であるため、λx.n ……


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  • Koteitan

    Wojowu の BIG FOOT を解説した Nathan Ho による "First-order Oodle Theory"  の日本語対訳です。一番の肝となる ordinal \(\text{Ord}\) の定義の方法が載っている "Sets?" と題された項のところだけ訳してみました。もしも間違いがあれば訂正しますのでコメントで書いてください。

    No.原文日本語1Sets?集合は?2A question arises: how to define sets inside this structure?疑問がひとつ生じます:どうやってこの構造の中で集合を定義するの?3Turns out, it's impossible.結果を言うと、それは無理なんです。4Firstly, because "sets" don't even have definition, secondly, oodleverse could as well work out as a universe of sets.まず、「集合」は定義すら持っていないし、もっと言うと、ooldverse のほうがより集合の宇宙としてうまく働くことができます。5However, if we had some quite large oodinal, which we'll denote \(\text{Ord}\), we could define sets as oodles which have rank \(

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  • Kyodaisuu

    「日本語の文章の文頭に英単語があるときに、その単語は小文字ではじめますか、大文字ではじめますか?」という Twitter アンケートの結果は「大文字ではじめる」が32%で「小文字がはじめる」が27%(4択、詳細は本文)と、「大文字ではじめる」の方が若干多かった。文頭を大文字化するという英語の規則は、日本語にもそれなりに取り入れられつつある。


    英語をはじめとするラテン文字を使用する多くの言語では、文章の最初の単語の先頭を大文字にする (capitalization) というルールがある。この規則は日本語にも適用されるのであろうか。

    このことを考えたきっかけは、巨大数論に書いた

    Billion が 1 兆をあらわすロングスケールは、かつてイギリスで使われていましたが、現在はイギリスでもショートスケールが基本です。

    という文章に対して、Billion から billion への修正意見をいただいたことである。文頭なので大文字化するものだと考えていたが、それは英語のルールであって日本語にはそのようなルールはないと言われれば、なるほどと思う。

    まずはネットで検索をしてみたところ、

    • 日本語論文を書く際の英単語の扱いについて (教えて! goo)
    • 日本語は語を借用しているのであって、文頭を大文字で書くという規則を借用しているのではありません (Twitter)

    といったように「小文字のままにするべき」という意見が見つかったが、いずれも個人的な意見であり、出版物の記述を根拠とするようなオーソライズされた記述は見つからなかった。文頭の単語の先頭を大文字化するべきであるという根拠も、してはいけないという根拠もみつからない。そもそもそのようなケースが少なく、そのような場面が生じても、気にする人は文頭の英単語 ……



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  • KurohaKafka

    えらく簡単な計算は、 「a_1を入力されたらb_1を返す、a_2を入力されたらb_2を返す、a_3を入力されたら・・・」 という関数=プログラムがあって、実際にa_iを入力されたらb_iを返す、というような感じになる。

    あらかじめ「これを入力されたらこれを返す」というように、それぞれの入力に対するそれぞれの答えをすべて用意しておく方法ですべての計算が1ステップで終了する。外延的。

    有限種の入力に対する答えを計算するだけなら全部外延的にやっていけばいい。

    無限種の入力に対しては、無限に長いプログラムが許されるならそりゃ同じく全部外延的にやっていけばいい。

    でもそれは現実的でないので、内包的に有限のプログラムによる計算で、無数に想定される入力に対しどこまでやれるか、という問題になる。

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  • Kyodaisuu

    巨大数たんbotのツイートに、

    トランプ52枚を並べてできる最大の素数は 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101011だよ! 素数大富豪ではジョーカー2枚が入るから最大の素数はもう少し大きくなるよ!

    とあったので、確認してみました。素数判定プログラムによるとたしかに素数です。これよりも大きな組み合わせについて、一通り素因数分解した結果をメモしておきます。

    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110101101 = 17710737023899 * 5646229665249245290337308952103505611698120270615374999
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101110110101 = 1165147 * 74944220861453457037 * 1145186721662029759051989585123492239238859
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111101111010101 = 181 * 282907 * 1952868075006798801313217475001050777987956257714253658374803
    • 99998888777766665555444433332222131313131212121211111111110101010111 = 101 * 379 * 7206 ……
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  • KurohaKafka

    loader.c の解説

    2016年11月2日 by KurohaKafka

    プログラムA

    c - r || ( L ( u) || L ( r) - f || (x /= 2) % 2 && ( u = S (4, d, 4, r ), t = A (t, d) ), f / 2 & (x /= 2) % 2 && ( c = P ( d, c ), t = S(4,13,-4, t ), u = S(4,13,-4, u) ) ),

    プログラムB

    c && (x /= 2) % 2 && ( t = P ( ~u & 2 | (x /= 2) % 2 && ( u = 1 2 ? f - v ? t - (f > v) * c : y : P ( f, P ( S (v, y, c, L ( x) ), S (v+2, t = S(4,13,-4, y ), c, Z (x) )))  : A (S (v, y, c, L ( x) ), S (v, y, c, Z (x) ) );} } A (y, x) { return L ( y) - 1  ? 5 Z (x );}
    S (v, y, c, t) { int f = ……
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  • KurohaKafka

    \(\begin{eqnarray*} (0(2))=(0(1(0)))&=&ε_0\\(0(1(0)))(0(1(0)))&=&ε_0\cdot2\\(0(1(0))(0(1(0))))&=&ε^2_0\\(0(1(0))(1(0)))&=&ε_1\\(0(1(0)(0)))&=&ε_ω\\(0(1(0(1(0)))))&=&ε_{ε_0}\\(0(1(1(0))))&=&ζ_0=ψ(Ω)\\(0(1(1(0)))(1(1(0))))&=&ψ(Ω\cdot2)\\(0(1(1(0))(0(1(1(0))))))&=&ψ(Ω\cdotψ(Ω))\\(0(1(1(0))(1(0))))&=&ψ(Ω^2)\\(0(1(1(1(0)))))&=&ψ(Ω^Ω)\\(0(2(0)))=(0(3))&=&ψ(ε_{Ω+1})\\(0(4))&=&ψ(ε_{Ω_2+1})\\(0(ω))&=&ψ(Ω_ω)\\(0(ω)(ω))&=&ψ(Ω_ω\cdot2)\\(0(ω(ω))&=&ψ(Ω^2_ω)\\(0(ω(ω(ω\cdots))))&=&ψ(ε_{Ω_ω+1}) \end{eqnarray*}\)

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  • KurohaKafka

    万能でないチューリングマシンは任意の計算可能なシステムの物差しとなります、なかなか分かりづらいものさしですが。扱える状態や記号が多ければ多いほどより強力なシステムと同じ強さをもつようになります。

    2-記号に固定し、その非万能チューリングマシンの強さを証明論で評価すれば可算順序数の、ZFC+巨大基数公理で評価すれば巨大基数のビジービーバー関数なるものが出来上がります。

    非万能チューリングマシンで検索しても目当ての記事が出てこないのでここで自分なりに何とかします。別の名前で研究されてるのやも知らんが。

    1-状態2-記号

    停止するプログラムはどれも対称形になったり停止する位置が2マスずれたりするだけで全部同じ。

    • 型レベルでの自然数の定義;マシンが型を本格的に扱えるわけではない。
    • 加法;入力された一つの足し算を一度だけ。1+1=2 とかするだけ。
    • (最大値の設定;コンパイラの助けを必要とする。)

    S,SS(SS),S(SS(SS))(S(SS(SS))),...

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  • KurohaKafka

    自然数は次の5条件を満たす。

    1. 自然数 0 が存在する。
    2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
    3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
    4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
    5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

    5 は数学的帰納法

    これらの条件を述語論理で表し形式的に扱えるようにする。述語論理による表現を解釈することで構造が生まれる。定数記号、関数記号、述語記号の解釈からなる構造を L-構造とよぶ。(純粋に形式的な表現を言語と言いそれに意味を与える解釈を構造という。)

    ペアノ算術の言語

    \(\mathcal{M}=(0,s,

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  • KurohaKafka

    関数の表現の整理

    2016年10月19日 by KurohaKafka

    集合と同様に外延的な定義と内包的な定義がある。また関数と集合は等価である。

    外延的な定義

    定義域内のそれぞれの要素が写る先を一つずつすべて定義する。この方法で無限の定義域を持つ関数を定義することは有限の存在にはできない。

    内包的な定義

    普遍的な規則で定義域内の要素が写る先を定義する。定義域はその規則の議論領域内に収まらなければならない。規則を表すのに最低限必要な表現力が強力であればあるほど、より強い関数を定義できるようになる。


    1.形式的に名前を付けるだけ。個々の意味までは掘り下げない。

    f_0,f_1,f_2,...

    2-1.陽関数

    y=E;Eはyを含まない演算やらなんやらによる表現

    2-2.陰関数

    E=0;Eはyを含んでもよい

    3.λ計算

    λx.E

    4-1.(添え字付き)媒介変数による論理式、定数を割り当てる

    t_0=0∧t_1=1∧t_2=2∧...
    t_0=0∨t_0=1∧t_1=1∨t_0=2∧t_1=2∧∧t_2=2∨...

    4-2.抽象的な意味、すなわち引数と戻り値を媒介するそれぞれの変数に具体的な意味を媒介する変数、あるいは式を割り当てる

    u=x→v=y
    u=x→v=E

    5.ゲーデル数化 名前 全域性の表現 高階関数

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  • Mikadukim

    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。


    この証明はSS変換の定義を勘違いした上で行ったものなので、本来の意味でのふぃっしゅ数バージョン1の評価にはなっていません。すいません。

    SS変換の本来の定義:

    \(\ SS(m,f,T) = (T^{f(m)}(m,f), T^{f(m)}) \quad \) ただしTは(関数, 数)の組から(関数, 数)を返す写像.

    SS変換の, 自分がこうだと勘違いしていた定義:

    \(\ SS(m,f,T) = ((T^{f(m)}f)(m), T^{f(m)}f, T^{f(m)}) \quad \) ただしTは関数から関数を返す写像(いわゆる"変換").

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  • Nayuta Ito

    巨大数に対する理解

    テトレーションレベル・・鼻で笑う 矢印表記レベル・・あと100段階は余裕だ チェーン表記レベル・・何かを感じ始める 多変数アッカーマンレベル・・笑みが消える 高次元配列レベル・・鼓動が高ぶる テトレーション配列レベル・・終わりが近い 計算可能レベル・・限界への挑戦 計算不可能レベル・・限界を超えた 全文を読む >
  • Nayuta Ito


    連鎖E表記
    |Section 1=

    }}

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  • KurohaKafka

    定義はBashicuHyudora氏のものによる

    \begin{eqnarray*}(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω・Ω)\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\end{eqnarray*}

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