φ素数 (Phi-prime) とは、黄金数 (\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)) の十進数展開と同じ数字の並びを持つ素数のことである[1]。つまり任意の自然数\(n\)に対し、\(\lfloor\phi\times10^{n-1}\rfloor\)が素数であるような数、または黄金数の\(n\)桁目までの数字を並べてできる素数のことである。定数素数の1つ。
φ素数の一覧[]
φ素数は\(n\leqq500000\)の探索範囲で5個知られている[1]。最大の素数は\(\lfloor\phi\times10^{97240}\rfloor\)である[2][3]。
\(n\) | \(\lfloor\phi\times10^{n-1}\rfloor\) | 値または近似値 |
---|---|---|
\(7\) | \(\lfloor\phi\times10^{6}\rfloor\) | \(1618033\) |
\(13\) | \(\lfloor\phi\times10^{12}\rfloor\) | \(1618033988749\) |
\(255\) | \(\lfloor\phi\times10^{254}\rfloor\) | \(\underbrace{16180\cdots31361}_{255}\) |
\(280\) | \(\lfloor\phi\times10^{279}\rfloor\) | \(\underbrace{16180\cdots05887}_{280}\) |
\(97241\) | \(\lfloor\phi\times10^{97240}\rfloor\) | \(\underbrace{16180\cdots50607}_{97241}\) |
その他の黄金数に関連する素数[]
定数素数の形式ではなく、これ自体に特定の名称はないものの、黄金数に関連した素数は他にもある[1]。
黄金数の冪乗の素数[]
黄金数の冪乗が素数となるもの、つまり床関数で\(\lfloor\phi^{n}\rfloor\)、または天井関数で\(\lceil\phi^{n}\rceil\)と表される素数はいくつかある。
床関数の\(\lfloor\phi^{n}\rfloor\)で表される素数は、\(n\leqq250000\)の探索範囲で52個知られている。最大の素数は\(\lfloor\phi^{202667}\rfloor\approx7.90836\times10^{42354}\)である[4][5]。
\(n\) | \(\lfloor\phi^{n}\rfloor\) | 値または近似値 |
---|---|---|
\(2\) | \(\lfloor\phi^{2}\rfloor\) | \(2\) |
\(5\) | \(\lfloor\phi^{5}\rfloor\) | \(11\) |
\(6\) | \(\lfloor\phi^{6}\rfloor\) | \(17\) |
\(7\) | \(\lfloor\phi^{7}\rfloor\) | \(29\) |
\(11\) | \(\lfloor\phi^{11}\rfloor\) | \(199\) |
\(13\) | \(\lfloor\phi^{13}\rfloor\) | \(521\) |
\(17\) | \(\lfloor\phi^{17}\rfloor\) | \(3571\) |
\(19\) | \(\lfloor\phi^{19}\rfloor\) | \(9349\) |
\(24\) | \(\lfloor\phi^{24}\rfloor\) | \(103681\) |
\(31\) | \(\lfloor\phi^{31}\rfloor\) | \(3010349\) |
\(37\) | \(\lfloor\phi^{37}\rfloor\) | \(54018521\) |
\(41\) | \(\lfloor\phi^{41}\rfloor\) | \(370248541\) |
\(47\) | \(\lfloor\phi^{47}\rfloor\) | \(6643838879\) |
\(48\) | \(\lfloor\phi^{48}\rfloor\) | \(10749957121\) |
\(53\) | \(\lfloor\phi^{53}\rfloor\) | \(119218851371\) |
\(61\) | \(\lfloor\phi^{61}\rfloor\) | \(5600748293801\) |
\(71\) | \(\lfloor\phi^{71}\rfloor\) | \(688846502588399\) |
\(79\) | \(\lfloor\phi^{79}\rfloor\) | \(32361122672259149\) |
\(96\) | \(\lfloor\phi^{96}\rfloor\) | \(115561578124838522881\) |
\(113\) | \(\lfloor\phi^{113}\rfloor\) | \(412670427844921037470771\) |
\(313\) | \(\lfloor\phi^{313}\rfloor\) | \(2.58900\times10^{65}\) |
\(353\) | \(\lfloor\phi^{353}\rfloor\) | \(5.92430\times10^{73}\) |
\(503\) | \(\lfloor\phi^{503}\rfloor\) | \(1.32064\times10^{105}\) |
\(613\) | \(\lfloor\phi^{613}\rfloor\) | \(1.28654\times10^{128}\) |
\(617\) | \(\lfloor\phi^{617}\rfloor\) | \(8.81808\times10^{128}\) |
\(863\) | \(\lfloor\phi^{863}\rfloor\) | \(2.27161\times10^{180}\) |
\(1097\) | \(\lfloor\phi^{1097}\rfloor\) | \(1.81736\times10^{229}\) |
\(1361\) | \(\lfloor\phi^{1361}\rfloor\) | \(2.70507\times10^{284}\) |
\(4787\) | \(\lfloor\phi^{4787}\rfloor\) | \(2.65359\times10^{1000}\) |
\(4793\) | \(\lfloor\phi^{4793}\rfloor\) | \(4.76168\times10^{1001}\) |
\(5851\) | \(\lfloor\phi^{5851}\rfloor\) | \(6.11904\times10^{1222}\) |
\(7741\) | \(\lfloor\phi^{7741}\rfloor\) | \(5.93367\times10^{1617}\) |
\(8467\) | \(\lfloor\phi^{8467}\rfloor\) | \(3.15029\times10^{1769}\) |
\(10691\) | \(\lfloor\phi^{10691}\rfloor\) | \(1.93581\times10^{2234}\) |
\(12251\) | \(\lfloor\phi^{12251}\rfloor\) | \(2.03040\times10^{2560}\) |
\(13963\) | \(\lfloor\phi^{13963}\rfloor\) | \(1.24286\times10^{2918}\) |
\(14449\) | \(\lfloor\phi^{14449}\rfloor\) | \(4.59636\times10^{3019}\) |
\(19469\) | \(\lfloor\phi^{19469}\rfloor\) | \(6.03070\times10^{4068}\) |
\(35449\) | \(\lfloor\phi^{35449}\rfloor\) | \(2.52848\times10^{7408}\) |
\(36779\) | \(\lfloor\phi^{36779}\rfloor\) | \(2.27207\times10^{7686}\) |
\(44507\) | \(\lfloor\phi^{44507}\rfloor\) | \(2.58765\times10^{9301}\) |
\(51169\) | \(\lfloor\phi^{51169}\rfloor\) | \(4.88162\times10^{10693}\) |
\(56003\) | \(\lfloor\phi^{56003}\rfloor\) | \(8.60631\times10^{11703}\) |
\(81671\) | \(\lfloor\phi^{81671}\rfloor\) | \(1.69655\times10^{17068}\) |
\(89849\) | \(\lfloor\phi^{89849}\rfloor\) | \(2.14037\times10^{18777}\) |
\(94823\) | \(\lfloor\phi^{94823}\rfloor\) | \(6.83930\times10^{19816}\) |
\(140057\) | \(\lfloor\phi^{140057}\rfloor\) | \(1.52030\times10^{29270}\) |
\(148091\) | \(\lfloor\phi^{148091}\rfloor\) | \(1.73010\times10^{30113}\) |
\(159521\) | \(\lfloor\phi^{159521}\rfloor\) | \(8.26724\times10^{33337}\) |
\(183089\) | \(\lfloor\phi^{183089}\rfloor\) | \(2.17804\times10^{38263}\) |
\(193201\) | \(\lfloor\phi^{193201}\rfloor\) | \(4.17911\times10^{40376}\) |
\(202667\) | \(\lfloor\phi^{202667}\rfloor\) | \(7.90836\times10^{42354}\) |
天井関数の\(\lceil\phi^{n}\rceil\)で表される素数は、\(n\leqq250000\)の探索範囲で6個知られている。最大の素数は\(\lceil\phi^{16}\rceil=2207\)と、他と比べるとかなり小さい[6][7]。
\(n\) | \(\lceil\phi^{n}\rceil\) | 値または近似値 |
---|---|---|
\(1\) | \(\lceil\phi^{1}\rceil\) | \(2\) |
\(2\) | \(\lceil\phi^{2}\rceil\) | \(3\) |
\(3\) | \(\lceil\phi^{3}\rceil\) | \(5\) |
\(4\) | \(\lceil\phi^{4}\rceil\) | \(7\) |
\(8\) | \(\lceil\phi^{8}\rceil\) | \(47\) |
\(16\) | \(\lceil\phi^{16}\rceil\) | \(2207\) |
その他の黄金数に関連した素数[]
Prime Curiosには、黄金数に関連したいくつかのユニークな素数が掲載されている。
黄金数の十進数展開を逆順にした素数として\(\underbrace{74847\cdots08161}_{104}\)[8]と\(\underbrace{15509\cdots08161}_{1343}\)[9]、素数であるか第三者検証がされていないものとして\(\underbrace{15168\cdots08161}_{942}\)[10]と\(\underbrace{51844\cdots08161}_{4191}\)[11]が掲載されている。
黄金数を途中で反転させてできる回文素数は、\(\underbrace{16180\cdots08161}_{71}\)[12]と\(\underbrace{16180\cdots08161}_{921}\)[13]が掲載されている。
その他[]
ブログ『A googol is a tiny dot』には、\(\lfloor\phi\times10^{99}\rfloor=\underbrace{16180\cdots91137}_{100}\)に対してファイゴル (Phigol) という名称を付けているが、ジョークでの命名であると予想される[14]。ファイゴルは合成数である[3][15]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Eric W. Weisstein. "Phi-Prime". Wolfram MathWorld.
- ↑ "A064117: Primes formed by the initial digits of the decimal expansion of the golden ratio phi = (1+sqrt(5))/2". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ 3.0 3.1 "A064119: Numbers k such that the first k digits of the Golden Ratio form a prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A059791: Numbers n such that floor(phi^n) is prime, where phi = golden ratio". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A:118839 Primes corresponding to the indices of A059791". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A118841: Numbers n such that ceiling(phi^n) is prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "A118842: Primes of the form ceiling(phi^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ Gupta. "74847...08161 (104-digits)". Prime Curios!
- ↑ Gupta. "15509...08161 (1343-digits)". Prime Curios!
- ↑ Gupta. "15168...08161 (942-digits)". Prime Curios!
- ↑ Gupta. "51844...08161 (4191-digits)". Prime Curios!
- ↑ Gupta. "16180...08161 (71-digits)". Prime Curios!
- ↑ Gupta. "16180...08161 (921-digits)". Prime Curios!
- ↑ googology101. (Mar 19, 2009) "More large numbers?". A googol is a tiny dot.
- ↑ "\(\lfloor\phi\times10^{99}\rfloor\)は素数ですか?" WolframAlpha.