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φ素数 (Phi-prime) とは、黄金数 (\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)) の十進数展開と同じ数字の並びを持つ素数のことである[1]。つまり任意の自然数\(n\)に対し、\(\lfloor\phi\times10^{n-1}\rfloor\)が素数であるような数、または黄金数の\(n\)桁目までの数字を並べてできる素数のことである。定数素数の1つ。

φ素数の一覧[]

φ素数は\(n\leqq500000\)の探索範囲で5個知られている[1]。最大の素数は\(\lfloor\phi\times10^{97240}\rfloor\)である[2][3]

φ素数の一覧
\(n\) \(\lfloor\phi\times10^{n-1}\rfloor\) 値または近似値
\(7\) \(\lfloor\phi\times10^{6}\rfloor\) \(1618033\)
\(13\) \(\lfloor\phi\times10^{12}\rfloor\) \(1618033988749\)
\(255\) \(\lfloor\phi\times10^{254}\rfloor\) \(\underbrace{16180\cdots31361}_{255}\)
\(280\) \(\lfloor\phi\times10^{279}\rfloor\) \(\underbrace{16180\cdots05887}_{280}\)
\(97241\) \(\lfloor\phi\times10^{97240}\rfloor\) \(\underbrace{16180\cdots50607}_{97241}\)

その他の黄金数に関連する素数[]

定数素数の形式ではなく、これ自体に特定の名称はないものの、黄金数に関連した素数は他にもある[1]

黄金数の冪乗の素数[]

黄金数の冪乗が素数となるもの、つまり床関数で\(\lfloor\phi^{n}\rfloor\)、または天井関数で\(\lceil\phi^{n}\rceil\)と表される素数はいくつかある。

床関数の\(\lfloor\phi^{n}\rfloor\)で表される素数は、\(n\leqq250000\)の探索範囲で52個知られている。最大の素数は\(\lfloor\phi^{202667}\rfloor\approx7.90836\times10^{42354}\)である[4][5]

\(n\) \(\lfloor\phi^{n}\rfloor\) 値または近似値
\(2\) \(\lfloor\phi^{2}\rfloor\) \(2\)
\(5\) \(\lfloor\phi^{5}\rfloor\) \(11\)
\(6\) \(\lfloor\phi^{6}\rfloor\) \(17\)
\(7\) \(\lfloor\phi^{7}\rfloor\) \(29\)
\(11\) \(\lfloor\phi^{11}\rfloor\) \(199\)
\(13\) \(\lfloor\phi^{13}\rfloor\) \(521\)
\(17\) \(\lfloor\phi^{17}\rfloor\) \(3571\)
\(19\) \(\lfloor\phi^{19}\rfloor\) \(9349\)
\(24\) \(\lfloor\phi^{24}\rfloor\) \(103681\)
\(31\) \(\lfloor\phi^{31}\rfloor\) \(3010349\)
\(37\) \(\lfloor\phi^{37}\rfloor\) \(54018521\)
\(41\) \(\lfloor\phi^{41}\rfloor\) \(370248541\)
\(47\) \(\lfloor\phi^{47}\rfloor\) \(6643838879\)
\(48\) \(\lfloor\phi^{48}\rfloor\) \(10749957121\)
\(53\) \(\lfloor\phi^{53}\rfloor\) \(119218851371\)
\(61\) \(\lfloor\phi^{61}\rfloor\) \(5600748293801\)
\(71\) \(\lfloor\phi^{71}\rfloor\) \(688846502588399\)
\(79\) \(\lfloor\phi^{79}\rfloor\) \(32361122672259149\)
\(96\) \(\lfloor\phi^{96}\rfloor\) \(115561578124838522881\)
\(113\) \(\lfloor\phi^{113}\rfloor\) \(412670427844921037470771\)
\(313\) \(\lfloor\phi^{313}\rfloor\) \(2.58900\times10^{65}\)
\(353\) \(\lfloor\phi^{353}\rfloor\) \(5.92430\times10^{73}\)
\(503\) \(\lfloor\phi^{503}\rfloor\) \(1.32064\times10^{105}\)
\(613\) \(\lfloor\phi^{613}\rfloor\) \(1.28654\times10^{128}\)
\(617\) \(\lfloor\phi^{617}\rfloor\) \(8.81808\times10^{128}\)
\(863\) \(\lfloor\phi^{863}\rfloor\) \(2.27161\times10^{180}\)
\(1097\) \(\lfloor\phi^{1097}\rfloor\) \(1.81736\times10^{229}\)
\(1361\) \(\lfloor\phi^{1361}\rfloor\) \(2.70507\times10^{284}\)
\(4787\) \(\lfloor\phi^{4787}\rfloor\) \(2.65359\times10^{1000}\)
\(4793\) \(\lfloor\phi^{4793}\rfloor\) \(4.76168\times10^{1001}\)
\(5851\) \(\lfloor\phi^{5851}\rfloor\) \(6.11904\times10^{1222}\)
\(7741\) \(\lfloor\phi^{7741}\rfloor\) \(5.93367\times10^{1617}\)
\(8467\) \(\lfloor\phi^{8467}\rfloor\) \(3.15029\times10^{1769}\)
\(10691\) \(\lfloor\phi^{10691}\rfloor\) \(1.93581\times10^{2234}\)
\(12251\) \(\lfloor\phi^{12251}\rfloor\) \(2.03040\times10^{2560}\)
\(13963\) \(\lfloor\phi^{13963}\rfloor\) \(1.24286\times10^{2918}\)
\(14449\) \(\lfloor\phi^{14449}\rfloor\) \(4.59636\times10^{3019}\)
\(19469\) \(\lfloor\phi^{19469}\rfloor\) \(6.03070\times10^{4068}\)
\(35449\) \(\lfloor\phi^{35449}\rfloor\) \(2.52848\times10^{7408}\)
\(36779\) \(\lfloor\phi^{36779}\rfloor\) \(2.27207\times10^{7686}\)
\(44507\) \(\lfloor\phi^{44507}\rfloor\) \(2.58765\times10^{9301}\)
\(51169\) \(\lfloor\phi^{51169}\rfloor\) \(4.88162\times10^{10693}\)
\(56003\) \(\lfloor\phi^{56003}\rfloor\) \(8.60631\times10^{11703}\)
\(81671\) \(\lfloor\phi^{81671}\rfloor\) \(1.69655\times10^{17068}\)
\(89849\) \(\lfloor\phi^{89849}\rfloor\) \(2.14037\times10^{18777}\)
\(94823\) \(\lfloor\phi^{94823}\rfloor\) \(6.83930\times10^{19816}\)
\(140057\) \(\lfloor\phi^{140057}\rfloor\) \(1.52030\times10^{29270}\)
\(148091\) \(\lfloor\phi^{148091}\rfloor\) \(1.73010\times10^{30113}\)
\(159521\) \(\lfloor\phi^{159521}\rfloor\) \(8.26724\times10^{33337}\)
\(183089\) \(\lfloor\phi^{183089}\rfloor\) \(2.17804\times10^{38263}\)
\(193201\) \(\lfloor\phi^{193201}\rfloor\) \(4.17911\times10^{40376}\)
\(202667\) \(\lfloor\phi^{202667}\rfloor\) \(7.90836\times10^{42354}\)

天井関数の\(\lceil\phi^{n}\rceil\)で表される素数は、\(n\leqq250000\)の探索範囲で6個知られている。最大の素数は\(\lceil\phi^{16}\rceil=2207\)と、他と比べるとかなり小さい[6][7]

\(n\) \(\lceil\phi^{n}\rceil\) 値または近似値
\(1\) \(\lceil\phi^{1}\rceil\) \(2\)
\(2\) \(\lceil\phi^{2}\rceil\) \(3\)
\(3\) \(\lceil\phi^{3}\rceil\) \(5\)
\(4\) \(\lceil\phi^{4}\rceil\) \(7\)
\(8\) \(\lceil\phi^{8}\rceil\) \(47\)
\(16\) \(\lceil\phi^{16}\rceil\) \(2207\)

その他の黄金数に関連した素数[]

Prime Curiosには、黄金数に関連したいくつかのユニークな素数が掲載されている。

黄金数の十進数展開を逆順にした素数として\(\underbrace{74847\cdots08161}_{104}\)[8]と\(\underbrace{15509\cdots08161}_{1343}\)[9]、素数であるか第三者検証がされていないものとして\(\underbrace{15168\cdots08161}_{942}\)[10]と\(\underbrace{51844\cdots08161}_{4191}\)[11]が掲載されている。

黄金数を途中で反転させてできる回文素数は、\(\underbrace{16180\cdots08161}_{71}\)[12]と\(\underbrace{16180\cdots08161}_{921}\)[13]が掲載されている。

その他[]

ブログ『A googol is a tiny dot』には、\(\lfloor\phi\times10^{99}\rfloor=\underbrace{16180\cdots91137}_{100}\)に対してファイゴル (Phigol) という名称を付けているが、ジョークでの命名であると予想される[14]。ファイゴルは合成数である[3][15]

出典[]

  1. 1.0 1.1 1.2 Eric W. Weisstein. "Phi-Prime". Wolfram MathWorld.
  2. "A064117: Primes formed by the initial digits of the decimal expansion of the golden ratio phi = (1+sqrt(5))/2". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  3. 3.0 3.1 "A064119: Numbers k such that the first k digits of the Golden Ratio form a prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  4. "A059791: Numbers n such that floor(phi^n) is prime, where phi = golden ratio". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  5. "A:118839 Primes corresponding to the indices of A059791". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  6. "A118841: Numbers n such that ceiling(phi^n) is prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  7. "A118842: Primes of the form ceiling(phi^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  8. Gupta. "74847...08161 (104-digits)". Prime Curios!
  9. Gupta. "15509...08161 (1343-digits)". Prime Curios!
  10. Gupta. "15168...08161 (942-digits)". Prime Curios!
  11. Gupta. "51844...08161 (4191-digits)". Prime Curios!
  12. Gupta. "16180...08161 (71-digits)". Prime Curios!
  13. Gupta. "16180...08161 (921-digits)". Prime Curios!
  14. googology101. (Mar 19, 2009) "More large numbers?". A googol is a tiny dot.
  15. "\(\lfloor\phi\times10^{99}\rfloor\)は素数ですか?" WolframAlpha.

関連項目[]

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