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バード数

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バード数は、Chris Birdによって定義されたバードの古い拡張配列表記を用いた巨大数である[1]。さらに古いバードの矢印回転表記の定義については、すでにホームページから削除されている。

矢印回転表記を用いた定義 編集

バードの矢印回転表記を用いたバード数の定義は、すでに Chris Bird のホームページからは削除されていて、巨大数論[2]に記載されている。矢印回転表記は、チェーン表記を元に拡張したものであるため、配列表記と等しいバードの配列表記の方がはるかに強いことを、バード自身が証明した(バードの証明)。すなわち、バードはこの証明によって、矢印回転表記による巨大数の拡張から方針を転換したものと考えられる。

なお、日本では、このバードの証明とは独立して、SS変換多変数アッカーマン関数s(n)変換がチェーン表記よりも強いことが検証されていた。

バードの古い配列表記編集

ネスト配列までは、バードの古い配列表記は新しい配列表記とほとんど同じである。

After that, Bird develops a notation using the negation sign. The old seperator \([1\neg2]\) is the same as [1\2] and [1/2]. The old seperator \([1\neg3]\) is the same as [1\3] and [1/3]. In general, the old seperator \([1\neg\text{A}]\) is the same as [1\A] and [1/A] for some array A. It turns out that the old seperator \([1\neg1\neg2]\) has the same level as [1\1\2] and the old seperator [[2]] that diagonalizes over negation signs like [2] diagonalizes over commas is the same as the new seperator \([1[2\neg2]2]\).

In general, the seperator [[...[[A]]...]] with n brackets is the same as the new seperator \([1[A\neg n]2]\). The < > notation is the angle bracket notation for these arrays.

バード数 編集

バードの古い配列表記を用いて、このように定義する。

\(N = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\{3<<<<<<<3>>>>>>>3\}}\}\)

\(\text{X}(0) = N\)

\(\text{X}(n) = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}_{\text{X}(n-1)}\}\)

バード数 = \(\underbrace{\text{X}(\text{X}(...\text{X}(\text{X}(N))...))}_{\text{X}(N)}\)

他の記法による近似編集

記法 近似
BEAF \(\{7,\{7,\{7,\{7,7(X,X(1)2)2\}(X,X(1)2)2\},2(X,X(1)2)2\},3(X,X(1)2)2\}\)[3]
超階乗配列表記 \(7![1([1])2]![1([1])2]![2([1])2]![3([1])2]\)
急増加関数 \(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+2}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})+1}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega^{\omega})}(7))))\)
ハーディー階層 \(H_{\vartheta(\Omega^{\omega})(\omega^2+\omega+2)}(7)\)
緩成長階層 \(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega}+1)}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\Omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(f_{\vartheta(\Omega_2^{\omega})}(7))))\)

出典 編集

  1. Chris Bird's Array Notations for Super Huge Numbers
  2. 巨大数論
  3. プライムを b として \(\{a,b (A) 2\} = A \&\ a\) という特殊な表記を用いる。

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