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バッハマン・ハワード順序数

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\(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})\) ("バッハマン・ハワード順序数" Bachmann-Howard ordinal と呼ばれる)は、方程式\(\vartheta(\Omega^\alpha) = \alpha\)を満たす最初の数である。さまざまな階層での例を挙げると:

バードの配列表記の早いバージョンで表せる数は \(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})\) までであった。

緩成長階層の一つの定義として、\(g_{\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})}(n) \approx f_{\varepsilon_0}(n)\)がある。

ここで、\(\varepsilon_{\Omega+1}\) は \(\Omega = \epsilon_\Omega\) の次のエプシロン数(\(\alpha=\omega^\alpha\)を満たす順序数)で、

\[\Omega, \Omega^{\Omega}, \Omega^{\Omega^{\Omega}}, ...\]

を基本列に持つ。

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