ネスト階乗表記

ネスト階乗表記とは、Aarex Tiaokhiaoによって開発された階乗の拡張された表記法である。それは次のように定義される:

n!^m = ((...(((n!)!)!...)!)!　(n!のm乗ではない)

例えば、3!³ = ((3!)!)! = (6!)! = 720! となる。

拡張ネスト階乗表記

Aarexは n![2]=n!ⁿ と定義した。彼はnのmultorial(n![2]と等しい)も定義した。

次に、n!²[2] = (n![2])![2]とし、さらにn!³[2] = ((n![2])![2])![2]というように、n!^m[2] = (n!^m-1[2])![2] = ((…((n![2])![2])…![2])![2])と続けた。

またn!ⁿ[2]=n![3]、n!ⁿ[3]=n![4]…とした。

一般化すると、

1. n![1] = n!
2. n!^m[l] = (n!^m-1[l])![l]
3. n![m] = n!ⁿ[m-1]

となる。

例えば、7![3]=7!⁷[2]=((((((7![2])![2])![2])![2])![2])![2])![2]となる。

多変数ネスト階乗表記

次のように定義される：

1. n![...x,1]=n![...,x]
2. n![1,1,...1,1,m,...]=n
3. n![m,...]=n!ⁿ[m-1,...](1.と2.が当てはまらない場合)
4. n!^m[l,...]=(n!^m-1[l,...])![l,...]

つまり、3![2,2]=3!³[1,2]=(3!²[1,2])![1,2]=((3!¹[1,2])![1,2])![1,2]=((3!¹[1,2])![1,2])![1,2]=((3![2,1])![1,2])![1,2]となる。

平面ネスト階乗表記

平面ネスト階乗表記は次のように定義される：

1. n![1;1...1;1;m,…] = n![1;1...1;1,1...1,1,2;m-1,…] (下線部に1がn-1個)
2. n![1;1...1;1;1,1,...1,1,m,...]=n

多変数ネスト階乗表記の1.と3.と4.は同じである。

また、行と行の境界は;で表す。