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サスクワッチ (Sasquatch) は集合論の言語を拡張した巨大数である。Googology Wiki のユーザーEmlightened によって、2017年3月27日に定義された[1]ビッグビッゲドン (Big Bigeddon) とも言い、リトルビッゲドンよりも大きい。

名前の由来 編集

アメリカ・インディアンの間に伝わる「毛深い巨人」の伝説について、カナダ西海岸部のインディアン部族はサスクワッチと呼んでいる。UMA(未確認動物)としてのビッグフットと同一視されることもある。

定義 編集

リトルビッゲドンの定義よりは簡潔に記す。等号が定義されている言語 \((\in, \bar\in, <)\) の2項述語 \(\in\), \(\bar\in\), \(<\) と、単項関数 \(F\) と \(R\) を以下のように定義する。

式のコード化 編集

式と項のゲーデル数化を次のようにする。1つ目の数が0-3は式で4-7は項である。

\begin{eqnarray*} \ulcorner t_1 \in t_2 \urcorner &=& \langle 0, \llcorner t_1 \lrcorner, \llcorner t_2 \lrcorner \rangle \\ \ulcorner \varphi \wedge \psi \urcorner &=& \langle 1, \ulcorner \varphi \urcorner, \ulcorner \psi \urcorner \rangle \\ \ulcorner \lnot\varphi \urcorner &=& \langle 2, \ulcorner \varphi \urcorner \rangle \\ \ulcorner \forall x_i\varphi \urcorner &=& \langle 3, \llcorner x_i \lrcorner, \ulcorner \varphi \urcorner \rangle \\ \llcorner x_i \lrcorner &=& \langle 4, i \rangle \\ \llcorner a \lrcorner &=& \langle 5, a \rangle \\ \llcorner R(t) \lrcorner &=& \langle 6, \llcorner t \lrcorner \rangle \\ \llcorner F(t') \lrcorner &=& \langle 7, \llcorner t' \lrcorner \rangle \end{eqnarray*}

ここで \(t'\) は自由変数を含まず、 \(\llcorner a \lrcorner\) は集合 \(a\) をあらわす。

\(<\) と \(\bar \in\) 編集

\(V\) において全順序関係 \(<\) を定める。As there is no guarantee that this is, in general, definable, let it be the standard wellorder of \(HOD\) in the standard class forcing extension \(V[G]\) where \(V=HOD\).

Let \(\llcorner a\lrcorner \bar \in \llcorner b\lrcorner \leftrightarrow a\in b\) for all sets \(a\), \(b\), and adjunction be the binary function \((a,b)\mapsto a\cup\{b\}\).

R関数 編集

\((\bar\in,R,F)\vDash t\) が順序数のとき、\(R(t)\) を次のように帰納的に定義する。

  1. \(R(0) = \emptyset\)
  2. \(R(\alpha) = (\text{closure of }R(\beta)\cup\{R(\beta)\}\cup C\text{ under adjunction and }F)^\bar\in\) where \(C=(5\times V)^\in\)\(\beta\) is the \(\bar\in\)-maximal element of \(\alpha\) if it exists, and \(R(\lambda) = \cup^\bar\in\{R(\theta):\theta\bar\in\lambda\}\) if it does not.

それ以外のときは、\(R(t)=\emptyset\) である。

Note that we don't explicitly define \(R\) in \(V\), just for \(\bar\in\). This makes no difference as only the \(\bar\in\) behaviour of \(R\) matters, and we can simply let it's \(\in\) value be \(\llcorner R(\cdot)\lrcorner\) if necessary..

F関数 編集

Define \(F(\ulcorner \phi \urcorner)\) (for unary \(\phi\), possibly with parameters) to be \(\{a\}\) where \(a\) is the \(<\)-minimal element of \(V\) such that \((\bar\in,R,F)\vDash\phi(a)\) if \(\exists b \varphi(b)\), where \(\varphi\) is obtained by repacing the function \(R\) with a function enumerating the \(\Sigma_n\)-correct cardinals, where \(\phi \in \Sigma_n\) (n minimal, and \(\emptyset\) otherwise.

Emlightened conjectured that, for fixed \(V\) and \(\in\), this produces unique values of \(\bar\in\) and \(<\). (In the case of ambiguity of 'standard' in the definition of the \(HOD\) class ordering, we'll go with the first one that Thomas Jech taught anyone.) この推測が正しいと仮定して(正しくなかったとしても)、サスクワッチを次のように定義する。

サスクワッチ 編集

言語 \(\{\bar\in,Q\}\) (ここで \(Q(a,b) \leftrightarrow R(a)=b\)) で \(\exists ! a (\phi(a)) \wedge \phi(k)\) を満たす階数 (quantifier rank) が \(12\uparrow\uparrow 12\) 以下の1変数式 \(\phi\) が存在するような最大の \(k\) をサスクワッチとする。

出典 編集

  1. Emlightened. Sasquatch

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