- 他のθ関数については、θ関数 をご覧ください。
ヴァイアーマンの \(\vartheta\) 関数（Weiermann's \(\vartheta\) function）またはラティエン・ヴァイアーマンの \(\vartheta\) 関数（Rathjen–Weiermann \(\vartheta\) function）はラティエンとヴァイアーマンによって定義された順序数崩壊関数である[1]。ブーフホルツのψ関数などの順序数崩壊関数と異なり、単調増大関数でない点が特徴的である。実際、 \begin{eqnarray*} \vartheta(\zeta_0) & = & \varepsilon_{\zeta_0+1} \\ \vartheta(\Omega) & = & \zeta_0 \end{eqnarray*} が成り立つので \begin{eqnarray*} \zeta_0 & < & \Omega \\ \vartheta(\zeta_0) & > & \vartheta(\Omega) \end{eqnarray*} となる。
定義[]
\(\vartheta\colon\mathrm{On}\to\mathrm{On}\) と \(C(\alpha,\beta)\) は以下のように同時に帰納的に定義される。 \begin{eqnarray*} C_0(\alpha,\beta) &=& \beta\cup\{0, \Omega\}\\ C_{n+1}(\alpha,\beta) &=& \{\gamma+\delta, \omega^\gamma, \vartheta(\eta) \mid \gamma,\delta,\eta \in C_n(\alpha,\beta); \eta<\alpha\}\\ C(\alpha,\beta) &=& \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)\\ \vartheta(\alpha) &=& \min\{\beta<\Omega \mid C(\alpha,\beta)\cap\Omega\subseteq\beta \wedge \alpha\in C(\alpha,\beta)\} \end{eqnarray*}
\(\vartheta\)関数は、ブーフホルツのψ関数に比べ \(C\) が指数関数に対しても閉じるため、標準形を作る際に、複雑さが若干増す代わりに引数が一つだけになるという利点がある。
ラティエンとヴァイアーマンは\(\vartheta(\alpha)\)がすべての\(\alpha<\varepsilon_{\Omega+1}\)に対して定義されていることを示したが、それより大きい値については論じなかった。
上述の通り、\(\vartheta\)は他の多くの順序数崩壊関数と同様に集合 \(C\) と同時に帰納的に定義される。
- \(C(\alpha,\beta)\) は以下のようにして構築可能な順序数の集合である：
- \(0\)、すべての \(\beta\) より小さい順序数、そして \(\Omega\) は \(C(\alpha,\beta)\)に属する。
- \(C(\alpha,\beta)\) は有限回の加法、と指数関数 \(\xi\mapsto\omega^\xi\)、と\(\kappa\mapsto\vartheta(\kappa)\)(ただしここで考えるのは\(\kappa < \alpha\)のみ)に関して閉じている。
- \(\vartheta(\alpha)\)は「\(C(\alpha,\beta)\cap\Omega\subseteq\beta\)かつ\(\alpha\in C(\alpha,\beta)\)」を満たす順序数\(\beta\)の中で最小のものである。
ラティエンとヴァイアーマンはブーフホルツによるΨ関数[2]と比較しているが、その\(\psi\)関数はブーフホルツのψ関数ではないことに注意すべきである。
特徴[]
\(\vartheta(\alpha)\) の定義に課されている \(\alpha \in C(\alpha,\beta)\) という条件が非常に特徴的であり、これこそが冒頭で述べた非単調性を生じさせる原因である。またこの条件により、ブーフホルツのψ関数などとは異なり \(\Omega\) の可算崩壊 と \(\Omega\) の間の順序数を代入した時の値にも増減が生じる。結果的に得られる利点の１つは、任意の可算順序数 \(\alpha\) に対し \(\alpha \in \vartheta(\alpha)\) が成り立つために部分的に順序の判定が楽になることである。この性質から、バードのθ関数と近いながらも少し違う値を定めることが分かる。詳細はバードのθ関数#近似を参照。
同様の条件はRathjenの \(\chi\) 関数やRathjenの\(\Psi\)関数にも見られ、それらも該当する引数に関して非単調性が生じている。