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\(\vartheta\)関数には、複雑さが増した代わりに引数が一つだけという有利な点があります。 \( \begin{eqnarray*} C_0(\alpha,\beta) &=& \beta\cup\{0, \Omega\}\\ C_{n+1}(\alpha,\beta) &=& \{\gamma+\delta, \omega^\gamma, \vartheta(\eta) | C_n(\alpha,\beta); \eta<\alpha\}\\ C(\alpha,\beta) &=& \bigcup_{n<\omega} C_n(\alpha,\beta)\\ \vartheta(\alpha) &=& \min\{\beta<\Omega | C(\alpha,\beta)\cap\Omega\subseteq\beta \wedge \alpha\in C(\alpha,\beta)\} \end{eqnarray*} \)

RathjenとWeiermannは\(\vartheta(\alpha)\)がすべての\(\alpha<\varepsilon_{\Omega+1}\)に対して定義されていることを示しましたが、それより大きい値については論じませんでした。

\(\vartheta\)は多くの順序数崩壊関数の原型に従い、\(C\)関数への"marriage"で再帰的に定義されています。等式を説明します。

  • \(C(\alpha,\beta)\)は以下のように構築可能な全ての順序数の集合です。
    • 0, すべてのβより小さい順序数, Ω
    • 有限回の加法, \(\kappa\mapsto\omega^\kappa\), \(\kappa\mapsto\vartheta(\kappa)\)(\(\vartheta(\kappa)\)が定義されている場合のみ)
  • \(\vartheta(\alpha)\)は\(\alpha\in C(\alpha,\beta)\)となる最小の\(\beta\)で、\(\beta\)は\(C(\alpha,\beta)\)に含まれるすべての可算な順序数より大きいです。

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