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ふぃっしゅ数バージョン7

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ふぃっしゅ数バージョン7 (F7)は、ふぃっしゅっしゅが2013年に考案した巨大数[1]である。ラヨ数の拡張であり、ふぃっしゅ数の中で最大である。

ふぃっしゅ数バージョン4では、神託機械によってビジービーバー関数をより大きくした。ふぃっしゅ数バージョン7では、ラヨ数の定義で使われるマイクロ言語に神託式を追加する。

関数\(f\)から関数\(RR(f)\)への汎関数RRを、以下のように定義する。

関数fに対して「\("f(a)=b"\); a番目のオブジェクトとb番目のオブジェクトに対して\("f(a)=b"\)が成り立つ」という神託式 (oracle formula) を使用可能な式に加えると、より強いラヨ関数gが得られる。fgに変換する汎関数をRRとする。

したがって、新しいマイクロ言語は

  1. "ab" a番目のオブジェクトはb番目のオブジェクトの要素である
  2. "a=b" a番目のオブジェクトはb番目のオブジェクトと等しい
  3. "(¬e)" 式eの否定
  4. "(ef)" 式eと式fの論理積(and)
  5. "∃a(e)" 式eが真となるようにa番目のオブジェクトを変えることができる
  6. "f(a)=b" a番目のオブジェクトとb番目のオブジェクトに対して\("f(a)=b"\)が成り立つ

となる。ここで、6番目の式が新しく加えた神託式である。

順序数\(\alpha\)に対するラヨ階層 \(R_\alpha (n)\) をこのように定義する。

  • \(R_0(n) = n\)
  • \(R_{\alpha+1} (n) = RR(R_\alpha) (n)\) (\(\alpha\) が後続順序数の時)
  • \(R_\alpha (n) = R_{\alpha_n} (n)\) (\(\alpha\) が極限順序数の時)

したがって、

  • \(R_1(n)\) はラヨ関数と等しい。
  • \(R_2(n)\) は \(R_1(n)\) を神託式として持つマイクロ言語のラヨ関数である。これは、ラヨ関数およびラヨ関数よりも増加速度が小さい関数(計算可能関数、ビジービーバー関数、クサイ関数)を使って定義されるいかなる関数よりも増加速度が大きい。たとえば、 \(R_2(n)\) は \(Rayo^{Rayo(n)}(n)\) よりもはるかに大きく、また \(f_0\) をラヨ関数とした時の急反復階層で \(f_{\omega_\alpha^{CK}}(n)\) よりも大きい。ここで、\(\alpha\) は \(\alpha = \omega_\alpha^{CK}\) となる最初の順序数であり、クサイ関数が急増加関数でこの順序数に到達するとされている。
  • \(R_3(n)\) は \(R_2(n)\) を神託式として組み込んだマイクロ言語のラヨ関数である。したがって、 \(R_2(n)\) よりもはるかに増加速度が大きい。

ふぃっしゅ数バージョン7は、ふぃっしゅ数バージョン6の定義で、 \(m(0,2)\) の定義を \(m(0,2)=RR\) に変えたものである。したがって、

\begin{eqnarray*} m(0,2)m(0,1)(x) &\approx& R_1(x) \\ m(0,2)^2m(0,1)(x) &\approx& R_2(x) \\ m(0,2)^3m(0,1)(x) &\approx& R_3(x) \\ m(0,3)m(0,2)m(0,1)(x) &\approx& R_\omega(x) \\ \end{eqnarray*}

このように、増加速度の見積もりは \(F_6\) と同様で、急増加関数がラヨ階層に変わったものとなる。\(F_7(x)\)の定義と増加速度は、このようになる。ここで、\(\zeta_0\) はヴェブレン階層で \(\phi(2,0)\) である。

\begin{eqnarray*} F_7(x) &:=& m(x,2)m(x,1) (x) \\ &\approx& R_{\zeta_0}(x) \end{eqnarray*}

ふぃっしゅ数バージョン7は、次のように定義され、近似される。

\begin{eqnarray*} F_7 &:=& F_7^{63}(10^{100}) \\ &\approx& R_{\zeta_0}^{63}(10^{100}) \end{eqnarray*}

議論 編集

ふぃっしゅ数バージョン7が Googology wiki に紹介されてから、グーゴロジスト達の間で以下のような議論がされた[2][3]

  • ふぃっしゅ数バージョン7はラヨ数よりもはるかに大きい。
  • ラヨ数のマイクロ言語(FOST)の中で、ラヨ関数を計算する式を立てることは可能であると思われる。ただし、その場合には、ラヨ数よりも大きな数を\(10^{100}\)文字以内のFOSTで表現した時に、その式は矛盾を引き起こすため(\(10^{100}\)文字以内のFOSTで表現出来ない最小の数を\(10^{100}\)文字以内のFOSTで表現したことになる)、その式は1つの数を指定しない。ラヨ数の定義では、1つの数を指定しない式は除外されるので、そのような式は除外される。したがって、FOST自身のラヨ関数を有効にFOSTの中に組み込む事はできない。
  • ラヨ数をさらに強くするためには、マイクロ言語を構成する形式体系をより強くすることが有効である。
  • 形式体系 L が形式体系 M が記述出来ることすべてを記述できて、さらに M が記述出来ないことを記述できるときに、形式体系 L は形式体系 M よりも強い。
  • より強い形式体系は、より強いラヨ関数を作る。
  • FOST をより強くするためには、一階述語論理の述語記号 (predicative) や super-predicative を加えることが有効であると考えられる。

また、ラヨ数とふぃっしゅ数バージョン7の定義について、一階の論理体系におけるモデルを明確に定義する必要があるとの指摘がある[4]

Googology Wiki では、その後議論が続けられ、ふぃっしゅ数バージョン7によるラヨ数の拡張は、たしかにラヨ数を大きく越える数を生み出すものの、FOSTの本質的な拡張とはなっていないとして、FOSTを本質的に拡張することで、さらに大きな巨大数を構築することができるはずであると、研究が重ねられた。その結果、Wojowuにより、FOSTよりも豊かな表現ができる形式体系であるFOOTと、FOOTによって作られる巨大数ビッグフットが定義された。すなわち、ふぃっしゅ数バージョン7に関する議論はビッグフットが生み出されるきっかけとなった。

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. English description of Fish numbers
  3. Fish number 7 discussion continued
  4. 巨大数探索スレッド10 42-53

関連項目 編集

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