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ふぃっしゅ数バージョン4 (F4)は、ふぃっしゅっしゅが2002年に考案した巨大数[1][2]である。急増加関数では \(f_{\omega^\text{CK}_{(\omega^{\omega+1}) 63} + 1}(63)\) 程度の大きさであり、ふぃっしゅ数計算不可能な数の中で最小である。

s'(1)変換は、次のような関数から関数への写像汎関数)である。

関数\(f\)を神託(オラクル)として持つチューリングの神託機械を考え、このマシンによるビジービーバー関数を\(s'(1)f\)とする。すなわち「n-状態 2-記号チューリングマシン+関数\(f\)を与える神託」でセット可能な1の数の最大を\(s'(1)f(n)\)とする。

オーダーnのビージービーバー関数 \(\Sigma_n(x)\) は急増加関数で \(f_{\omega^\text{CK}_n}(x)\) の増加速度であることを使うと、計算可能関数 \(f\) に対して次のように増加速度を見積もることができる。

\begin{eqnarray*} s'(1)f & = & \Sigma_1(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_1}(x) \\ s'(1)^2f & = & \Sigma_2(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_2}(x) \\ s'(1)^3f & = & \Sigma_3(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_3}(x) \\ s'(1)^nf & = & \Sigma_n(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_n}(x) \\ s'(1)^xf & = & \Sigma_x(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_\omega}(x) \end{eqnarray*}

\(n>1\) に対する\(s'(n)\)変換を、s(n)変換と同様に次のように定義する。

\begin{eqnarray*} s'(n)f & = & s'(n-1)^{x}f(x) (\text{for } n>1) \\ \end{eqnarray*}

すなわち、\(s(n)\)変換と同じように、\(s'(n)\)変換は\(s'(n-1)\)変換を対角化する操作であり、次のように計算される。

\begin{eqnarray*} s'(2)f & = & s'(1)^xf(x) \approx f_{\omega^\text{CK}_\omega}(x) \\ s'(1)s'(2)f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega + 1}}(x) \\ s'(2)^2f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega \times 2}}(x) \\ s'(3)f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega^2}}(x) \\ s'(4)f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega^3}}(x) \\ s'(n)f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega^{n-1}}}(x) \\ s'(x)f & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{\omega^\omega}}(x) \\ \end{eqnarray*}

ここから先は、ふぃっしゅ数バージョン3の定義と同じである。

\begin{eqnarray*} ssʹ(1)f & = & sʹ(x)f(x) \\ ssʹ(n)f & = & [ssʹ(n − 1)^{x}]f(x) (\text{for } n>1) \\ F_4(x) & = & ssʹ(2)^{63}f; f(x) = x + 1 \\ F_4 & = & F_4^{63}(3) \end{eqnarray*}

計算もF3と同じである。

\begin{eqnarray*} F_4(x) & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{(\omega^{\omega+1}) 63}}(x) \\ F_4 & \approx & f_{\omega^\text{CK}_{(\omega^{\omega+1}) 63}+ 1}(63) \end{eqnarray*}

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. ふぃっしゅ数バージョン4を考案した時のログ

関連項目 編集

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