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ふぃっしゅ数バージョン3 (F3)は、ふぃっしゅっしゅが2002年に考案した巨大数[1]である。ふぃっしゅ数バージョン2を発展させたものであるが、定義が変わっている。

定義 編集

[1] 関数から関数への写像s(n) (\(n>0\)) (s(n)変換) を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} s(1)f & := & g;\ g(x)=f^x(x) \\ s(n)f & := & g;\ g(x)=[s(n-1)^x]f(x) \quad (n>1) \end{eqnarray*}

[2] 関数から関数への写像ss(n) (\(n>0\))を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} ss(1)f & := & g;\ g(x)=s(x)f(x) \\ ss(n)f & := & g;\ g(x)=[ss(n-1)^x]f(x) \quad (n>1) \\ \end{eqnarray*}

[3] ふぃっしゅ関数 \(F_3(x)\) を以下のように定める。 \begin{eqnarray*} F_3(x):=[ss(2)^{63}]f(x);\ f(x)=x+1 \end{eqnarray*}

[4] ふぃっしゅ数 \(F_3:=F_3^{63}(3)\) とする。

近似 編集

s(n)変換は、\(f(x)=x+1\) とするとき、急増加関数で \(s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x)\) と近似できる。したがって、

\(ss(1)f(x) = s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x)\)

となる。ss(n) は ss(n-1) を対角化するので、

\begin{eqnarray*} ss(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+n-1}}(x) \\ F_3(x) & = & ss(2)^{63}f \approx f_{\omega^{\omega+1}\times63}(x) \\ F_3 & \approx & f_{\omega^{\omega+1}\times63 + 1}(63) \end{eqnarray*}

と近似できる。

ふぃっしゅ数バージョン3は 2列配列表記レベルGodekagoldgahlah \(\approx f_{(\omega^{\omega+1}) 9}(100)\) と同じ程度の大きさである[2]。BEAFでは拡張配列表記を導入することで同じ程度の大きさになる。

表記 近似
BEAF \(\{63,63 (1) 2,63\}\)
連鎖E表記 E63#^#*##63
バードの配列表記 \(\{63,63 [2] 2,63\}\)
超階乗配列表記 \(63![1,[63],1,2]\)
急増加関数 \(f_{(\omega^{\omega+1}) 63+1}(63)\)
ハーディー階層 \(H_{\omega^{(\omega^{\omega+1}) 63+1}}(63)\)
緩成長階層 \(g_{\vartheta((\Omega^{\Omega}) 63+1)}(63)\)

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. ユーザー:Kyodaisuu/F3の展開

関連項目 編集

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