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ふぃっしゅ数バージョン2

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ふぃっしゅ数バージョン2 (F2)は、ふぃっしゅっしゅが2002年に考案した巨大数[1]で、ふぃっしゅ数バージョン1とほぼ同じでSS変換の定義だけが変わっている。

定義 編集

[1] 自然数と関数のペアから、自然数と関数のペアへの写像S(S変換)を以下で定義する。 \begin{eqnarray*} S(m,f(x)) = (g(m),g(x)) \end{eqnarray*} ただし\(g(x)\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n) & = & f(n) \\ B(m+1,0) & = & B(m, 1) \\ B(m+1,n+1) & = & B(m, B(m+1, n)) \\ g(x) & = & B(x,x) \end{eqnarray*}

関数のみに着目して \[Sf(x) = g(x)\] と書くこともできる。

[2] 変換 \(S\) に対して、新たな変換 \( S^* \)を次で定義する。 \[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x) \]

自然数、関数、変換から同様の組を生み出す写像SS(SS変換)を以下で定義する[2]

\[ SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \]

[3] 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) はS変換とするとき、 \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をふぃっしゅ数バージョン2 \(F_2\)、第2成分をふぃっしゅ関数バージョン2 \(F_2(x)\) と定義する。

近似 編集

SS変換を\(a\)回、S変換を\(b\)回したときにできる関数 \(g_{a,b}(n) = B_{a,b}(0,n)\) は、\(A(a,b,0,n)\)のオーダーになることを、帰納的に示す。まず、\(a=0, b=0\)の時は初期の関数について \(B_{0,0}(0,n) = n+1 = A(0,0,0,n)\)が成り立っている。そして、\(B_{a,b}(m,n) = A(a,b,0,n)\) が成り立っているとして、そこにS変換を1回することで、関数\(A(a,b+1,0,n)\)に変換されることを示す。この時のS変換の式は、

\begin{eqnarray*} B_{a,b}(0,n) & = & A(a,b,0,n) \\ B_{a,b}(m+1,0) & = & B_{a,b}(m,1) \\ B_{a,b}(m+1,n+1) & = & B_{a,b}(m,B(m+1, n)) \\ B_{a,b+1}(0, n) & = & B_{a,b}(n, n) \end{eqnarray*}

となり、\(B_{a,b}(m,n) = A(a,b,m,n)\)と書き換えると、最初の式は

\begin{eqnarray*} A(a,b,0,n) & = & A(a,b,0,n) \end{eqnarray*}

の恒等式となり、残りの式は

\begin{eqnarray*} A(a,b,m+1,0) & = & A(a,b,m,1) \\ A(a,b,m+1,n+1) & = & A(a,b,m,A(a,b,m+1,n)) \\ A(a,b+1,0, n) & = & A(a,b,n,n) \end{eqnarray*}

となって、この漸化式は多変数アッカーマン関数と一致する。よって、S変換: \(A(a, b, 0, n) → A(a, b+1, 0, n)\) が示された。

次に、SS変換については、SS変換を\(a\)回した \(B_{a,0}(0, n)\) という関数に対して、SS変換をもう1回する \(B_{a+1,0}(0, n)\) は、S変換を\(n\)回する \(B_{a,n}(0, n)\) と等しいため(実際には\(f(m)\)回繰り返す操作が入っているためもう少し大きいが、ここでは大体の大きさ(オーダー)を計算するため、n回とする)、

\begin{eqnarray*} B_{a+1, 0}(0, n ) & = & B_{a, n}(0, n) \end{eqnarray*}

となり、これはアッカーマン関数の式

\begin{eqnarray*} A(a+1, 0, 0, n ) & = & A(a, n, 0, n) \end{eqnarray*}

と等しいため、帰納的に \(g_{a,b}(n) = B_{a,b}(0,n) = A(a,b,0,n)\) が示された。

SS変換を63回繰り返すことで、\(A(63,0,0,n)\) が得られる。よって、得られる数は\(A(1,0,0,0,63) = A(63,0,0,63)\) のオーダーとなる。これは、急増加関数では \(f_{\omega^3}(63)\) に相当し、他の表記法では以下の様に近似できる。5変数配列表記レベルである。

表記 近似
BEAF \(\{3,3,1,1,64\}\)
ハイパーE表記 \(E100\#\#\#\#63\)
拡張チェーン表記 \(3 \rightarrow_{64} 3 \rightarrow_{64} 2\)
多変数アッカーマン関数 \(A(1,0,0,0,63)\)
s(n)変換 \(s(4)[x+1](63)\)
m(n)変換 \(m(3)^3m(2)m(1)(63)\)
急増加関数 \(f_{\omega^3}(63)\)
ハーディー階層 \(H_{\omega^{\omega^3}}(63)\)
緩成長階層 \(g_{\varphi(63,0,0,0)}(100)\)

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. SS変換の明示的な表記について

関連項目 編集

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