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ふぃっしゅ数バージョン1 (F1) は、ふぃっしゅっしゅが2002年に考案した巨大数[1][2][3]で、ふぃっしゅ数の7つのバージョンの中で最小である(それでもグラハム数の比ではない程巨大な数で、チェーン表記で\(\underbrace{10\rightarrow10\rightarrow\dots10\rightarrow10}_{グラハム数回}\)と書くよりも遥かに大きい)。巨大数漫画「寿司 虚空編[4]の第2話と第3話で、ふぃっしゅ数バージョン1が紹介された。

定義 編集

以下の様に定義される。

[1] 自然数と関数のペアから、自然数と関数のペアへの写像S(S変換)を以下で定義する。 \begin{eqnarray*} S(m,f(x)) = (g(m),g(x)) \end{eqnarray*} ただし\(g(x)\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n) & = & f(n) \\ B(m+1,0) & = & B(m, 1) \\ B(m+1,n+1) & = & B(m, B(m+1, n)) \\ g(x) & = & B(x,x) \end{eqnarray*}

関数のみに着目して \[Sf(x) = g(x)\] と書くこともできる。

[2] 自然数、関数、変換から同様の組を生み出す写像SS(SS変換)を以下で定義する[5]

\[SS(m, f, S) = (S^{f(m)}(m,f), S^{f(m)}) \]

ここで右辺は1項目の自然数、関数と2項目の変換の組である。

[3] 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) はS変換とするとき、 \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をふぃっしゅ数バージョン1。第2成分をふぃっしゅ関数バージョン1と定義する。

プログラム 編集

ふぃっしゅ数を計算するプログラムが書かれている[6]。ただし、現実的には計算不可能である。

近似 編集

まずは、多変数アッカーマン関数による近似をする。S変換と3変数アッカーマン関数を比較すると、3変数アッカーマンA(a,b,c)は、S変換をa回繰り返した程度の大きさになる。

\begin{eqnarray*} A(1,0,1,0) & = & A(1,0,0,1) = A(1,0,1) = A(1,1) = 3 \\ A(1,0,1,1) & = & A(1,0,0,(A(1,0,1,0)) \\ & = & A(1,0,0,3) = A(3,0,3) = A(2,3,3) \\ A(1,0,1,2) & = & A(1,0,0,A(1,0,1,1)) \\ & = & A(1,0,0,A(2,3,3)) \\ & = & (A(2,3,3),0,(2,3,3)) \\ A(1,0,1,3) & = & A(1,0,0,A(1,0,1,2)) \\ & = & A(A(1,0,1,2),0,A(1,0,1,2)) \\ A(1,0,1,n+1) & = & A(1,0,0,A(1,0,1,n)) \\ & = & A(A(1,0,1,n),0,A(1,0,1,n)) \\ \end{eqnarray*}

SS変換の1回目はS変換4回なので、S変換2回程度の A(2,3,3) に相当する A(1,0,1,1) よりは大きく、その回数以上S変換を繰り返したSS変換の2回目は、A(1,0,1,2) よりは大きく、…といったように、SS変換の回数を重ねるごとに、SS変換で生じた回数だけS変換を繰り返すので、SS変換をn回繰り返すと A(1,0,1,n) 程度の大きさになる。そして、SS変換を63回繰り返したふぃっしゅ数バージョン1は、A(1,0,1,63) 程度の大きさになる。実際には、SS変換におけるS変換の繰り返し回数がmではなくて f(m) になっているので、もっと大きくなるように見えるが、mから f(m) へと増やすことは原始帰納なので、2重帰納であるS変換の増加速度から比べると無視出来るほど小さいから、同程度であると見積もることができる。なお、ミカヅキモが \(A(1,0,1,63) < F_1 < A(1,0,1,64)\) を示している[7]

このように、ふぃっしゅ数バージョン1は、多変数アッカーマン関数で \(A(1,0,1,63)\) と同程度(わずかに大きい)である。したがって、急増加関数では \(f_{\omega^2+1}(63)\) 程度の大きさとなる。これは5変数配列表記レベルThrangol \(\approx f_{\omega^2+1}(100)\) 程度である。また、配列表記による近似は、{10,63,1,1,2} < F1 < {10,64,1,1,2}、さらに良い近似は {4,64,1,1,2} < F1 < {5,64,1,1,2} となる[8]。これらの近似を元にして、他の記法による近似を以下のようにまとめることができる。

表記 近似
拡張チェーン表記 \(3 \rightarrow_2 63 \rightarrow_2 2\)
BEAF \(\{4,64,1,1,2\}\)
ハイパーE表記 E63###63##2
超階乗配列表記 \(63![2,1,2]\)
多変数アッカーマン関数 \(A(1,0,1,63)\)
s(n)変換 \(s(1)s(3)[x+1](63)\)
m(n)変換 \(m(2)[m(3)^2m(2)]m(1)(63)\)
急増加関数 \(f_{\omega^2+1}(63)\)
ハーディー階層 \(H_{\omega^{\omega^2+1}}(63)\)
緩成長階層 \(g_{\varphi(1,0,0,0)}(63)\)

動画 編集

(1) 出典: 【ゆっくり解説】 ふぃっしゅ数 (前編) 


(2) 出典: 【ゆっくり解説】 ふぃっしゅ数 (後編) 

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. ふぃっしゅ数バージョン1が考案された2ch数学板のログ
  3. ふぃっしゅ数バージョン1が考案された当初の計算方法を検証しているログ
  4. 裏サンデー 寿司 虚空編
  5. SS変換の明示的な表記について
  6. ふぃっしゅ数バージョン1を計算するRubyプログラム
  7. ユーザーブログ:Mikadukim/ふぃっしゅ数バージョン1を4変数アッカーマン関数で評価する
  8. ふぃっしゅ数の計算 (Togetter まとめ)

関連項目 編集

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