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プサイ関数 (psi function) は W. Buchholz が開発した順序数崩壊関数である。これは、Θ関数のより簡単な代替として開発されたもので、2つのシステムは同等の強さである。

\(\Omega_0 = 1\)、\(\Omega_\alpha = \aleph_\alpha\)(\(\alpha > 0\))とする。\(P\) を\(\omega^\alpha\)の形で表される順序数全体のクラスとする。 \(P(0) = \emptyset\) で、\(P(\alpha) = \{\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) とする。ここで、\(\alpha_i \in P\)、\(\alpha_0 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_n = \alpha\)、\(\alpha_0 \geq \alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n\)である。 (つまり、\(P(\alpha)\)は \(\alpha\)のカントール標準形の全体の集合である)

次に二つの関数を定義する:\(C_v(\alpha)\)、\(\psi_v(\alpha)\)(\(v \leq \omega\))。これらは、超限再帰する事で動作する。全ての\(\xi < \alpha\)に対し\(C_v(\xi)\)と\(C_v(\xi)\)が定義されているとし:

\begin{eqnarray*} C_v^0(\alpha) &=& \Omega_v \\ C_v^{n + 1}(\alpha) &=& C_v^n(\alpha) \cup \{\gamma : P(\gamma) \subseteq C_v^n(\alpha)\} \\ & & \cup \{\psi_u(\xi) : \xi \in \alpha \cap C_v^n(\alpha) \wedge \xi \in C_u(\xi) \wedge u \leq \omega\} \\ C_v(\alpha) &=& C_v^0(\alpha) \cup C_v^1(\alpha) \cup C_v^2(\alpha) \cup \ldots \\ \psi_v(\alpha) &=& \min\{\gamma : \gamma \notin C_v(\alpha)\} \end{eqnarray*}

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