\(\psi_0(\Omega_\omega)\)

ブーフホルツのψ関数を用いて表される \(\psi_0(\Omega_\omega)\) は大きな可算順序数である。二階算術のサブシステムである \(\Pi_1^1\)-\(\text{CA}_0\) の証明論的順序数である。この順序数は巨大数研究においてはブーフホルツ順序数(Buchholz Ordinal)とも呼ばれる。

バシク行列システムを2行に限定したペア数列システムは\(\psi_0(\Omega_\omega)\)までの順序数に対応する。このことから、ペア数列システムの限界関数は急増加関数で \(f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}\) の増加速度に近似される。Chris BirdのU関数も近似的に同じ増加速度である。ブーフホルツのヒドラから \(\omega\) のラベルを除いたものも近似的に同じ増加速度と推測されるが、急増加関数による上からの評価は即座に従う反面下からの評価は非自明であり、証明はされていない。

この順序数は、緩成長階層が急増加関数と等しくなる最初の順序数であるとしばしば説明されることがあるが、それは誤りである。