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Φ関数

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φ関数 (ファイ関数; ヴェブレン関数; ヴェブレン階層) とは2つのバージョン、2項と線形、のある射影関数である。前者の極限は\(\Gamma_0\) (フェファーマン・シュッテの順序数)、また後者の極限は\(\vartheta(\Omega^\omega)\) (小ヴェブレン順序数、より強力なθ関数を使って表される)である。本質的に、線形の物は2項の物の拡張であるので、線形の物で成立する規則は2項の物でも成立する。

定義 編集

次のように定義される:

  • Rule 1. アリティ(引数の個数)は1:
    \(\phi(\alpha) = \omega^\alpha\)
  • Rule 2. 最初の引数が0でアリティ>1:
    \(\phi(0,\#) = \phi(\#)\)
  • Rule 3. アリティは2 \(\alpha=1, \beta=S\):
    \(\phi(1,\beta+1)[1] = \phi(1,\beta)\)
    \(\phi(1,\beta+1)[n] = \phi(1,\beta)^{\phi(1,\beta+1)[n-1]}\)
  • Rule 4. \(\alpha=L,\beta=0\):
    \(\phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,0)[n] = \phi(\#,\alpha[n],0,\cdots,0,0)\)
  • Rule 5. \(\alpha=L,\beta=S\):
    \(\phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,\beta+1)[n] = \phi(\#,\alpha[n],\phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,\beta)+1,\cdots,0,0)\)
  • Rule 6. \(\alpha=S,\beta=0\):
    \(\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,0)[1] = \phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,0)\)
    \(\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,0)[n] = \phi(\#,\alpha,\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,0)[n-1],\cdots,0,0)\)
  • Rule 7. \(\alpha=S,\beta=S\):
    \(\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,\beta+1)[1] = \phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,\beta)+1\)
    \(\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,\beta+1)[n] = \phi(\#,\alpha,\phi(\#,\alpha+1,0,\cdots,0,\beta+1)[n-1],\cdots,0,0)\)
  • Rule 8. \(\beta=L\):
    \(\phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,\beta)[n] = \phi(\#,\alpha,0,\cdots,0,\beta[n])\)

編集

  • S と L は後継順序数と極限順序数をそれぞれ表す。
  • # は引数の変わらない部分を表す。
  • [n] は 隣接する順序数の基本列のn番目の項を表す。
  • 規則中の0と書かれている箇所は空でも良い。

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