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θ関数は拡張性のある射影関数である。[1]上限はバッハマン・ハワード順序数である。これは次のように定義される:

Rule T1. \(\alpha=0\)

\(\theta(0,\beta)[n] = \omega^{\beta}[n]\)

Rule T2. \(\alpha=1, \beta=S\)

\(\theta(1,\beta+1)[1] = \theta(1,\beta)\)

\(\theta(1,\beta+1)[n] = \theta(1,\beta)^{\theta(1,\beta+1)[n-1]}\)

Rule T3. \(\alpha=L, \beta=0\)

\(\theta(\alpha,0)[n] = \theta(\alpha[n],0)\)

Rule T4. \(\alpha=L, \beta=S\)

\(\theta(\alpha,\beta+1)[n] = \theta(\alpha[n],\theta(\alpha,\beta)+1)\)

Rule T5. \(\alpha=S, \beta=0\)

\(\theta(\alpha+1,0)[1] = \theta(\alpha,0)\)

\(\theta(\alpha+1,0)[n] = \theta(\alpha,\theta(\alpha+1,0)[n-1])\)

Rule T6. \(\beta=0\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},0)[1] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},0)\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},0)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},0)[n-1]}}},0)\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha*\Omega}}},0)[1] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},0)\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha*\Omega}}},0)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha*\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha*\Omega}}},0)[n-1]}}},0)\)

Rule T7. \(\beta=S\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},\beta+1)[1] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},\beta)+1\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},\beta+1)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},\beta+1)[n-1]}}},0)\)

\(\theta(\alpha*\Omega,\beta+1)[1] = \theta(\alpha*\Omega,\beta)+1\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},\beta+1)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha+\Omega}}},\beta+1)[n-1]}}},0)\)

Rule T8. \(\alpha=L,\beta=0\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},0)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha[n]}}},0)\)

Rule T9. \(\alpha=L,\beta=S\)

\(\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},\beta+1)[n] = \theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha[n]}}},\theta(\Omega^{\cdots^{\Omega^{\alpha}}},\beta)+1)\)

\(\Omega\)は第一非可算順序数を表す。 S と L は後継関数と極限序数をそれぞれ表す。

  1. は引数の変わらない部分を表す。

[n] は 隣接する順序数の基本列のn番目の項を表す。 規則中のゼロで表される文字列は空である。

出典 編集

  1. Bird, Chris. The Fast-Growing Hierarchy in terms of Bird's Array Notation.

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