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ε₀

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\(\varepsilon_0\)(読み方は"イプシロンゼロ"、"イプシロンヌル"、または"イプシロンノート")は、可算順序数で、関数\(\omega^\alpha \mapsto \alpha\)の最初の零点と定義される。これは、次のようにも定義される:

  • 略式では: \(\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^.}}}}\)
  • 方程式 \(\omega^\alpha = \alpha\)の最初の解。
  • \(\omega \uparrow\uparrow \omega\)
  • ハーディー階層急増加関数に追いつく最初の数。
  • ペアノ算術整礎性が証明可能な順序数の上限(証明論的順序数)。

また、いろいろな階層では:

  • \(f_{\varepsilon_0}(n) \approx X \uparrow\uparrow X \&\ n\) (急増加関数)
  • \(H_{\varepsilon_0}(n) \approx X \uparrow\uparrow X \&\ n\) (ハーディー階層)
  • \(g_{\varepsilon_0}(n) = n \uparrow\uparrow n\) (緩成長階層)

\(f_{\varepsilon_0}(n)\)はグッドスタイン関数GoucherのT関数と同等である。

もっと大きいイプシロン数とヴェブレン階層 編集

関数 \(\alpha \mapsto \varepsilon_\alpha\) は \(\alpha \mapsto \omega^\alpha\)の零点を列挙する。このように、\(\varepsilon_1\)を次の零点、または略式で\(\omega \uparrow\uparrow (\omega 2)\)とする。そして、一般化すると、\(\varepsilon_\alpha = \omega \uparrow\uparrow (\omega (1+\alpha))\)となる。

イプシロン数の限界は\(\alpha \mapsto \varepsilon_\alpha\)の最初の零点、または略式で\(\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{._{._.}}}} = \omega \uparrow\uparrow (\omega + \omega \uparrow\uparrow (\omega + \ldots)) = \omega \uparrow\uparrow\uparrow \omega\)である。この数は\(\zeta_0\)(ゼータゼロ)と呼ばれており、そして\(\zeta_\alpha\) (\(\omega \uparrow\uparrow\uparrow (\omega + \alpha)\))は\(\alpha \mapsto \varepsilon_\alpha\)の零点を列挙できる。

ギリシア文字で無限大を表すものはないので、次のように表される階層ヴェブレン階層を定義する。この関数は全関数の零点を列挙する:

  • \(\phi_0(\alpha) = \omega^\alpha\)
  • \(\phi_\beta(\alpha)\) は全ての\(\gamma < \beta\)に対する\(\alpha\)番目の \(\phi_\gamma\)の零点

最初のヴェブレン階層で表せない数をΓ₀と定義する。

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